高二下學期期末考試數學試卷

1、高 二 下 學 期 期 末 考 試數學試題（理科）一、挑選題：（此題共 10 個小題,每小題 5 分,共 60 分）5. 函數y1在點x4處的導x數是 （） A 1B 81C 18161設 D 1 16z1ii為虛數單位,就z22=z6. 已知隨機變量聽從正態(tài)分布（）N2,2,P40 . 84,就（A）1i（B ）1i（C ）P0 1i（D ）A B C D 1i2以下等于1 的積分是（）7. 某校共有7 個車位,現要停放3A1x dx B1x1 dx輛不同的汽車,如要求4 個空位必00須都相鄰,就不同（）C 1 01 dx的停放方法共有（ A） 16種（B）18種D1 10 2dx（C） 2

2、4 種（D） 32種8. 如 冪 函 數fx的 圖 象 經 過 點A 1,1,就它在 A 點處的切線方程3.用數學歸 納法證明：421+1+1+為（）23（ A）4x4y10（B）211n,nN,n1時,4x4y10（C）2xy0n（ D）2xy0在其次步證明從n=k 到 n=k+1 成立9.如 函 數f x x2bxc 的 圖 f 時,左邊增加的項數是（）象的頂點在第四象限,就函數的圖象可能是（）A.k 2 B.k 2110. 設fx是定義在 R上的奇函數,C.k 21 D.k 21f2 2,當x0時,有fx xfx恒 成 立 , 就 不 等 式4. 如f x sincosx, 就fx xf

3、等于（）的解集是（）（A） sin（B）（ A）（2 ,0 ）（ 2 ,）（B） （2 ,cos（ C）（D） 2sinsincos0 ）（ 0 , 2 ）（ C）（, 2 ）（ 2 ,）（ D）（, 2 ）（ 0 , 2 ）17. （此題共 12 分）一批產品共10 件,其中 7 件正品, 311. 某小區(qū)有7 個連在一起的車位,現有3 輛不同型號的車需要停件次品,每次從這批產品中任取一 件,在下述情形下,分別求直至取得放, 假如要求剩余的4 個車位連在一起,那么不同的停放方法正品時所需次數X的概率分布列；（ 1）的種數為（）每次取出的產品不再放回去（2）每A16 種B18 種次取出一件次品

4、后,總是另取一件正 D 32 種12. 設函數f x 是 R 上以 5 為周期品放回到這批產品中. 18（此題共 12 分）的可導偶函數,就曲線yf x 在x5處的切線的斜率為（）已知1 0f x 1xm1n 2 ,m nZ5 51 5綻開式中 x 的系數為11,求：（1）x2的系數的最小值； （2）當 x 系數取最 2小值時,求 f x 綻開式中 x 的奇數次冪項的系數之和；19（此題共 12 分）某班一信息奧賽同學編了以下運算二、填空題： （此題共4 個小題,每小題 4 分,共 16 分）13.如 a2 i ibi , 其中 a 、bR , i 是虛 數 單 位 , 就程序,將數據輸入滿意

5、如下性質: a2b2_；yx2x3的單調增區(qū)間14. 函數為_；15. 定積分2x1dx的值等于1x_；16. 如ABC 內 一 點 O 滿 足OAOBOC0,就AO1 3ABAC；類比以上推理輸入 1 時,輸出結果是 1 ；輸入整4數 n n 2 時,輸出結果 f n 是將前一結果 f n 1 先乘以 3n-5 ,再除以 3n+1. （ 1）求 f 2, f 3, f 4; （2） 試由 （ 1 ） 推 測 f n （ 其 中n N *）的表達式,并給出證明 . 20. （此題共 12 分）過 程 可 得 如 下 命 題 ： 如 四 面 體已知函數fxx3tx；（）求曲ABCD內一點O滿足O

6、AOBOCOD0,就線yfx在點M,ft處的切線方程；AO . 6 個小題,共（） 設a0,假如過點a,b可作三、解答題： （此題共曲線y的三條切線,證明：fx 74 分）abfa；P X2377,m2212a1093021. （此題共 12 分）P X3 3277, 據統計某種汽車的最高車速為120 千1098120米時, 在勻速行駛時每小時的耗油所以 X的概率分布為量 y（升）與行駛速度 y（千米時）X 1 2 3 4 之間有如下 函數關系：P y1x33x8；已知甲、 6 分12800080乙兩地相距100 千米；（I ）如汽車以 2 由題意, X的可能取值為1,2,40 千米時的速度勻

7、速行駛,就從甲3,4,其中地到乙地需耗油多少升？（II ）當汽P X1 7,車以多大的速度勻速行駛時,從甲地10到乙地耗油最少？最少為多少升？P X2386,22. （此題共 14 分）101025已知函數fxaxxlnx 的圖象P X3 32927, 在點xe（ e 為自然對數的底數）101010500P X4 321103. 處的切線斜率為310101010500（1）求實數 a 的值；（2）如 kZ ,所以 X的概率分布為且kfx對任意x1恒成立, 求X 1 2 3 4 P x1k 的最大值； 1 2 分（ 3 ） 當nm4時 , 證 明18解：（1）QC12C111,所n mnmnmm

8、nmn以m2 n11 2分參考答案 理 C24C21m m12 n n1mn24一、挑選題： CCAAD ACBAD CB 4分a xL二、填空題：當m5,n3時有最小值13. 514. 0 ,222 ； 5分3（ 2） 由 （ 1）m5,n3, 所 以15 ln23% 16. f x 1x512 3a 0a x21ABACAD從而a 54三解答題f1253 3a 0a 1La5,17. 解：（ 1）由題意, X 的可能取值為 8 分1, 2,3,4,其中P X17,f 101a 0a 1a2a 3a410, 10 分fk13 k15fkk3 k153 k13 k1所以3 k1 13 k112

9、 1111 3 1 13k1 1a 1a 3a51 2f1f 1303 k1 3 k2 , 即 奇 數 次 冪 項 的 系 數 之 和 為 9分30 1 2 分所以nk1 時,猜想成立；由 （ 1 ）（ 2 ） 知 , 猜 想 ：19. 解 ： 由 題 設 條 件 知f1 = 1fn3 n213n1 （ 其 中1 , 4fn=3 n5fn1 , 3 n1nN*）成立；f2 111; 7428 12分20 解：（1）求函數fx的導f3 141; 281070數：fx 3x21；曲線yfxf4 171. 7013130在點Mt,ft處的切線方程為： 3分yftftxt,即2 猜想：fn3 n213

10、 n1 y3t21x2 t3； 4分（其中（ 2 ） 如 果 有 一 條 切 線 過 點nN*） 5分a,b,就存在t,使以下用數學歸納法證明：b3 t21 a2 t3；（1）當n1時,于是, 如過點a,b可作曲 線f 1 1,3121311 yfx的 三 條 切 線 , 就 方 程442 t33at2ab0有三個相異的,所以此時猜想成實數根；記立； gt2t33at2ab,就 6分（2）假 設nkkN*時 ,gt6t26at6 tta ；當 t 變fk3k13k1成化時,gt,gt的變化情形如下表：2 立0 0 0 那么nk1時,極大微小值值bfa8地需行駛100 小時 . 設耗 x1ab油

11、量為hx升,依題意,由gt的 單 調 性 , 當 極 大 值得ab0或微小值bfa0時,h x 1x33x8 1001280080 x128方程gt0最多有一個實數根；當ab0時,解方程gt0其中,0 x120. 得t0,t3a,即方程gt0只 2 7分有兩個相異的實數根；hxx800 x3803當bfa0時 , 解 方 程640 x2640 x2gt0得ta,ta, 即 方 程0 x120. 2令h x0,得gt0只有兩個相異的實數根；上,假如過a,b可作曲線yfx 綜x80. 因 為 當x0, 80時 ,的三條切線,即gt0有三個相異的 實 數 根 , 就ab,0.0即h x0,hx是減函

12、bfa數；當x80 , 120時,abfa； 12分h x0,hx是增21. （I ）當x40時,汽車從甲地函數,所以當x80時,h x取 得 最 小 值到乙地行駛了h 8011.25. 10025.（小時）,所以當汽車以80 千米時的速度行駛時,從甲地到40需蠔油乙地耗油最少,14033402 5.17最 少 為 11 . 255.升； 12800080（升）； 所以,汽車以 40 千米時 12分的速度勻速行駛,從甲地22. 解：（1）由于fxaxxlnx ,到乙地需耗油17 5.升 4分. 所以fxalnx1 （ II ）當汽車的行駛速度為x千米時時,從甲地到乙 1分由于函數fxaxxln

13、x的0所以方程h x0在 1,上x 01x 02x 03,4圖像在點xe處的切線存 在 唯 一 實 根0 x, 且 滿 足斜率為 3,所以fe3,即x 03,4alne13當1xx0 時,h x 0, 即所以a1 g x 0,當xx0 時,h x 0, 即g x 0, 6分 2 分所 以 函 數g xxxxlnx在（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 知 ,1fxxxlnx ,1,x 0上單調遞減, 在x 0,上單所以kfx對任意x1恒調遞增所以x1g xming x 0 x 01 lnx 0成立,即kxxxlnx對任意x1x 01x 011 7分恒成立 3分令g xxxxlnx,所以1kg x

14、minx 03,4就故整 數k的最 大 值是gxxlnx22, 3 x1 8分 （ 3 ） 證 明1 ： 由 （ 2 ） 知 , 4分g xxxxlnx是 4,上的增1令h xxlnx2x1,函數, 9分就hx11xx10,所以當nm4時,xnnnlnnmmlnm 1m1nm所以函數h x在 1,上單 調遞 10 分增 即 5分n m1 1lnnm n1 1lnm因為h31ln30,h422ln 2整理,得,mnlnnmlnmmnlnmnlnn 即 11 分mnlnnmlnmmnlnmnlnn因為nm,所以即mnlnnmlnmmnlnmnlnn 12分lnnmnlnmmlnmn mlnnn即即lnnmnlnmmlnmn mlnn n lnnmnm mlnm n mnn 即lnnmnm mlnm