高等數(shù)學(xué)思想方法

1、- -高等數(shù)學(xué)思想方法第一章 函數(shù)與極限主要的思想方法：1函數(shù)的思想高等數(shù)學(xué)的核心容是微積分, 而函數(shù)是微積分的主要爭論對象；我們在運(yùn)用微積分解決實際問題時,第一就要從實際問題中抽象出變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系,這是一個通過現(xiàn)象抽象出本質(zhì)特點的思維過程,個思維方法和主要特點；2極限的思想表達(dá)的是科學(xué)的抽象是數(shù)學(xué)的一極限的思想方法是微積分的根底；極限是變量在無限變化過程中的變化趨勢,是一個確定的數(shù)值； 把一些實際問題的確定結(jié)果視為一系列的無限近似數(shù)值的變化趨勢,即函數(shù)或者數(shù)列的極限,這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法；其次章 導(dǎo)數(shù)與微分 主要的思想方法：1微分的思想微分表示自變量有微小變化時函數(shù)的近似變化

2、,一般地,求導(dǎo)的過程就稱為微分 ;導(dǎo)數(shù)那么反映函數(shù)相對于自變量的瞬時變化率；從導(dǎo)數(shù)與微分的概念中可看出,在局部的“ 以直代曲的微分思想得到了充分的表達(dá),本思想；2數(shù)形結(jié)合的思想而這也是微積分的一個根書本中在引入導(dǎo)數(shù)與微分概念時,也爭論了它們的幾何意義, 這明顯更好地幫忙我們懂得這兩個概念； 通過幾何圖形來直觀地懂得概念以及定理的證明. word.zl.- -等等容是高等數(shù)學(xué)中常用的方法,這是抽象思維與現(xiàn)象思維有機(jī)結(jié)合的典型表 達(dá)；3極限的思想 不難發(fā)覺導(dǎo)數(shù)概念的引入與定義深刻地表達(dá)了極限的思想；4規(guī)律思維方法 在本章中,歸納法從特別到一般 ,分類整合法等規(guī)律思維方法 都得到了充分的表達(dá),懂得與

3、把握此類思維方法有助于良好的理性思維的形成；中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三章 主要的思想方法：導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是一種刻畫函數(shù)在某一點處變化率的數(shù)學(xué)模型,它實質(zhì)上反映了函數(shù) 在該點處的局部變化性態(tài)；而中值定理那么是聯(lián)系函數(shù)局部性質(zhì)與整體性質(zhì)的“ 橋梁, 利用中值定理我們就能夠從函數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì),具 體表現(xiàn)為在理論和實際問題中可利用中值定理把握函數(shù)在某區(qū)間一點處的導(dǎo)數(shù) 與函數(shù)在該區(qū)間整體性質(zhì)的關(guān)系；導(dǎo)數(shù)是一種工具, 而中值定理 微分根本定理 那么是微分學(xué)的理論根底,它更加深刻地提示了可導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)；一方面,在中值定理及其推導(dǎo)過程中,不僅用到了演繹,分析,分類等數(shù)理規(guī)律方法 錘煉提升規(guī)律思維才

4、能 ,而且包 含了一些詳細(xì)的數(shù)學(xué)方法,如幫助函數(shù)的構(gòu)造湊導(dǎo)數(shù)法,幾何直觀解題法,常 數(shù)替代法,倒推法,乘積因子法 ,這就要求我們要培育直覺思維,發(fā)散思維等 創(chuàng)新思維； 另一方面, 導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用廣泛,這要求我們要有 應(yīng)用 數(shù)學(xué) 的意識；第四章不定積分word.zl. - -主要的思想方法：積分法是微分法的逆運(yùn)算,即函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求原函數(shù)問題 這個函數(shù) ；不定積分的積分法 : 由一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求1直接積分法：直接或?qū)⒈环e函數(shù)恒等變形后利用根本積分公式和不定 積分的性質(zhì)求積分；2換元積分法 :1.第一類換元法湊微分法 ；2.其次類換元法主要有 三角代換,根代換,倒代換 ；3分部積分法；4

5、幾種特別類型函數(shù)的積分：有理函數(shù)的積分,三角函數(shù)有理式的積 分,簡潔無理函數(shù)的積分；5其它常見的積分方法：拆項法,加減項法,同乘以 或除以 一因式 法,降次法,先湊微分后化為同名函數(shù)法等；第五章 定積分 主要的思想方法 : 定積分的幾何意義是函數(shù)fx在區(qū)間 a,b的圖形與 x 軸所界定區(qū)域的面積；定積分完整地表達(dá)了積分思想一種熟識問題,分析問題, 解決問題的思想方法,定積分的概念借助極限工具,以一種構(gòu)造式的形式嚴(yán)格定義,懂得把握這種通過“ 分割,“ 近似；“ 求和,“ 取極限的數(shù)學(xué)思想對后面重積分,曲線積分與曲面積分的學(xué)習(xí)有重要作用；容,也是爭論科學(xué)技術(shù)問題的數(shù)學(xué)工具；定積分與微分學(xué)不僅是高等

6、數(shù)學(xué)的重要“ 分割,“ 近似,“ 求和,“ 取極限所反映出來的積分思想是微積分的核. word.zl.- -心思想；第六章 定積分的應(yīng)用 主要的思想方法：定積分的應(yīng)用實質(zhì)上是運(yùn)用定積分理論來分析與解決一些幾何與物理學(xué)中的問 題；定積分解決實際問題的方法 : 1依據(jù)定積分的定義,利用分割,近似替代,求和,取極限這四個步驟 來推導(dǎo)出所求量的積分表達(dá)式；2“ 元素法：將實際問題幾何,物理轉(zhuǎn)化為定積分,如運(yùn)算平 面區(qū)域的面積,平面曲線的弧長,用截面面積運(yùn)算體積,運(yùn)算旋轉(zhuǎn)體的體積,計 算變力做功等；在本章的學(xué)習(xí)中可以增強(qiáng)我們的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識并且有助于我們提高 我們應(yīng)用定積分解決實際問題的才能；空間解析幾

7、何與向量代數(shù) 第七章 主要的思想方法：空間解析幾何借助于空間坐標(biāo), 建立空間的曲面曲線方程, 利用代數(shù)方法爭論圖 形的幾何性質(zhì)； 向量代數(shù)在高等數(shù)學(xué)中為空間解析幾何效勞,它實質(zhì)是作為一種 爭論空間圖形性質(zhì)的重要工具； 空間解析幾何與向量代數(shù)是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分 的根底,學(xué)習(xí)這局部學(xué)問的主要目的是為爭論多元函數(shù)微積分理論供應(yīng)一個直觀 的空間幾何圖形；借助向量爭論空間圖形的性質(zhì), 建立空間圖形的方程, 這是本章中表達(dá) 的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法, 我們要樹立應(yīng)用向量這一重要的數(shù)學(xué)工具爭論與解. word.zl.- -決問題的意識；此外本章中最根本的數(shù)學(xué)思想是“ 數(shù)形結(jié)合的思想；第八章 多元函數(shù)微分學(xué)

8、主要的思想方法：多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)理論的推廣與開展,因此運(yùn)用類比的思想方法來學(xué)習(xí)這一章容會起到事半功倍的作用；我們要培育類比思想這一創(chuàng)新的思維；第九章 重積分 主要的思想方法：本章中著重爭論的二重積分與三重積分的理論是多元函數(shù)積分學(xué)的重要容；重積 分與定積分一樣, 都是某種特別形式和的極限, 根本思想是 “ 分割,近似,求和,取極限,定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),積分區(qū)域是一個確定的區(qū)間,而二,三重積分的被積函數(shù)是二, 三元函數(shù),積分區(qū)域是一個平面有界閉區(qū)域和一個空 間有界閉區(qū)域,因此重積分是一元函數(shù)定積分的推廣與開展；重積分的運(yùn)算方法中表達(dá)的根本思想是：將重積分化為累次積分, 而化

9、為累次積分的關(guān)鍵是由被積函數(shù)的積分區(qū)域的特性來確定定積分的次序和積分 限；第十章 曲線積分與曲面積分 主要的思想方法：曲線積分與曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成局部,對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分是定積分和二重積分的直接推廣,兩者又均有物理學(xué)背景, 因此它們在解決幾何與物理學(xué)的實際應(yīng)用問題中有重要作用；在運(yùn)算上, 將平面或空間曲線積分化為定積分的運(yùn)算, 將空間曲面積分化為投影區(qū)域上的二重積分的計 算；在理論上,建立了平面閉曲線上對坐標(biāo)的曲線積分與該曲線圍成的閉區(qū)域上. word.zl.- -的二重積分的關(guān)系, 建立了閉曲面上對坐標(biāo)的曲面積分與該閉曲面圍成的空間閉 區(qū)域上的二重積分的關(guān)系；

10、這些就幫忙我們更加深刻地把握高等數(shù)學(xué)的思想方 法；格林公式的思想方法： 格林公式實現(xiàn)了閉區(qū)域上的二重積分與區(qū)域的邊 界曲線上的曲線積分的相互轉(zhuǎn)化,它可視作是定積分中的牛頓-萊布尼茨公式的 一個推廣；高斯公式的思想方法： 高斯公式描述了在空間立體上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系,它可視作是牛頓-萊布尼茨公式和格林公式的推廣,同時它仍是運(yùn)算曲面積分的一個重要手段；留意在曲面不封閉的情形下,應(yīng)先添補(bǔ)曲面構(gòu)成封閉曲面,再利用高斯公式,這是運(yùn)算曲面積分的常用方法；第十一章 無窮級數(shù) 主要的思想方法：無窮級數(shù)是一種爭論與表示函數(shù)及數(shù)值運(yùn)算的特地工具與重要方 法,是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成局部；

11、在本章中,收斂與發(fā)散及其重要理論是建立在極限的根底之上的,函數(shù)綻開成冪級數(shù)的主要依據(jù)是微分學(xué)中的泰勒定理,冪級數(shù)的運(yùn)算中要用到求導(dǎo)數(shù)與定積分的運(yùn)算, 由此可見,無窮級數(shù)與微積分的其它容之間有特別嚴(yán)密的 聯(lián)系；第十二章 常微分方程 主要的思想方法：常微分方程是指含有一元未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程,它是爭論函數(shù)的重要 工具；. word.zl.- -建立常微分方程要用到導(dǎo)數(shù)的概念, 而解常微分方程那么要用到積 分法,因此常微分方程是在微積分根底上的開展與應(yīng)用；每種類型的常微分方程都有廣泛的實際背景,因此我們要有應(yīng)用數(shù) 學(xué)的意識, 通過建立數(shù)學(xué)模型來求解實際問題中的微分方程,在求解前需要分析 與明

12、確常微分方程的類型, 并在把握各種微分方程的相應(yīng)的解法的根底上求解答 案,同時把握變量替換法, 常數(shù)變易法, 待定系數(shù)法等詳細(xì)的數(shù)學(xué)方法對求解微 分方程有重要的作用；七大根本數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以簡要地分為三個層次或稱境域：第一層次,深刻和嫻熟地把握根底學(xué)問和根本概念及其本質(zhì)并且初步擁有運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的意識,明確各類根底題型的解題方法與步驟, 在不斷的練習(xí)中錘煉與加強(qiáng)自己的精確的抽象運(yùn)算才能和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律推理才能； 其次層次,在進(jìn)一步加深對數(shù)學(xué)思想方法的懂得的根底上,進(jìn)展專題性質(zhì)的學(xué)問總結(jié)從中發(fā)覺各局部數(shù)學(xué)容在的嚴(yán)密聯(lián)系并逐步做到把握與運(yùn)用, 與此同時, 加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的意識與應(yīng)用才能,能夠發(fā)

13、覺實際問題中的數(shù)學(xué)模型并憑此解決聯(lián)系生產(chǎn)生活實際的應(yīng)用問題；第三層次,深刻地懂得與把握各類數(shù)學(xué)思想方法, 對某一詳細(xì)問題有更加深層的爭論譬如求極限的方法的歸納總結(jié), 涉及肯定值的問題, 高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用微積分證明不等式的探討等等,在面對新情境新背景下的理論或?qū)嶋H問題時,既能快速明確問題中的學(xué)問載體,也能在數(shù)學(xué)解題才能得到提升與強(qiáng)化的根底上,數(shù)學(xué)思想方法, 分析與解決具有綜合性的新數(shù)學(xué)問題能夠綜合運(yùn)用根底學(xué)問與平常就需要加強(qiáng)這一方面的才能或更高學(xué)問層次的數(shù)學(xué)問題 為此可略覽碩士階段數(shù)學(xué)學(xué)問做個大致的 明白；以此提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì) 想象力, 創(chuàng)新思維, 抽象性,敏捷性,深刻性；. word.zl.-

14、-根本概念與根底學(xué)問是“ 載體,解題方法是“ 手段,數(shù)學(xué)思想才是“ 深化與 核心,是分析與解決問題的 “ 靈魂, 深刻懂得與嫻熟運(yùn)用數(shù)學(xué)思想有助于我 們錘煉與形成高層次的數(shù)學(xué)思維,高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論與容的本質(zhì)的熟識,而數(shù)學(xué)方法那么 是數(shù)學(xué)思想的詳細(xì)化形式,兩者本質(zhì)一樣,因此通?；旆Q為“ 數(shù)學(xué)思想方法；下面是七大根本的數(shù)學(xué)思想方法前四個為常用的思想方法：一.函數(shù)與方程思想1.函數(shù)思想是對函數(shù)容在更高層次的抽象,概括與提煉, 它要求我們要用函數(shù)的概念與性質(zhì)去分析問題, 轉(zhuǎn)化問題和解決問題； 在實際問題中, 函數(shù)思想通過提出該問題中的數(shù)學(xué)特點, 建立與構(gòu)造函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模

15、型方程, 不等式或方程與不等式的混合組 并利用函數(shù)的性質(zhì), 最終通過求解函數(shù)解析式來解決問題；2.方程思想：實際問題 數(shù)學(xué)問題 代數(shù)問題 方程問題；方程思想是解決各類計算問題的根本思想,也是運(yùn)算才能的根底；二.數(shù)形結(jié)合思想 1.數(shù)學(xué)爭論的對象是數(shù)量關(guān)系與空間形式,即數(shù)與形兩個方面,在高等數(shù)學(xué)中,關(guān)于空間解析幾何的容就是數(shù)形結(jié)合思想的表達(dá)；2.數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)：將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合；關(guān)鍵在于代數(shù)問題與幾何圖形之間的轉(zhuǎn)化,而代數(shù)問題幾何化 數(shù)到形的轉(zhuǎn)化 相對簡便,幾何問題代數(shù)化那么需要嚴(yán)密的推理論證,它考察我們的規(guī)律推理才能的上下；3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析與解決問題的三點留意

16、：把握相關(guān)概念與運(yùn)算的幾何意義及幾何圖形 曲線,曲面 的代數(shù)特點,對詳細(xì)題目而言,要分析條件與結(jié)論的. word.zl.- -幾何意義和代數(shù)意義；恰當(dāng)設(shè)參,合理用參,建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形想數(shù),完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；正確確定參數(shù)的取值圍；三.分類爭論思想1.分類是自然科學(xué)爭論中的一種規(guī)律方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,也是一種重要的解題策略,它表達(dá)了化整為零,積零為整的思想與歸類整理的方法；2.分類爭論分為三種情形:問題涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)展定義的,如肯定值問題,此為概念型分類爭論題型；問題所涉及的數(shù)學(xué)定理,公式與運(yùn)算性質(zhì),法那么有圍或有條件限制抑或是分類給出的,此為性質(zhì)型分類爭論題型； 問題中含

17、字母參數(shù),這需要依據(jù)參數(shù)的不同取值圍進(jìn)展?fàn)幷?此為含參型分類爭論題型；3.進(jìn)展科學(xué)劃分不漏不重是解決問題的手段,分類爭論才是根本目的；4.解決分類爭論問題的根本方法與步驟為：第一確定爭論對象及所要爭論對象的全體的圍；其次詳細(xì)問題詳細(xì)分析,選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),合理分類；對所分類逐步進(jìn)展?fàn)幷? 分級進(jìn)展,獲得階段性結(jié)果； 最終進(jìn)展歸納總結(jié), 綜合得出結(jié)論；四.化歸與轉(zhuǎn)化思想 1.化歸與轉(zhuǎn)化的目的：將復(fù)雜問題化歸為簡潔問題,將較難問題化為較易問題,將未解決的新背景下的生疏問題轉(zhuǎn)化為已解決的熟識問題；2.此數(shù)學(xué)思想敏捷度高,具有多樣性,無統(tǒng)一模式,我們要用動態(tài)思維來查找有 利于解決問題的變換轉(zhuǎn)化途徑與方法；3.常用的變換方法：一般與特別的轉(zhuǎn)化,繁與簡的轉(zhuǎn)化,敏捷奇妙地構(gòu)造轉(zhuǎn)化,命題的等價轉(zhuǎn)化；4.等價轉(zhuǎn)化思想方法：它可以實現(xiàn)數(shù)與數(shù),形與形,數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換；在分析 與解決實際問題的過程中,實現(xiàn)一般語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；函數(shù),方程,不等. word.zl.- -式之間的恒等變形；消去法,換元法,數(shù)形結(jié)合法,求值求圍問題都表達(dá)了等價轉(zhuǎn)化思想；五.特別與一般思想 1.特別到一般的本質(zhì)：通過對個例的熟識與爭論,形成對事物本質(zhì)的 認(rèn)知；這是一個由淺入深, 由現(xiàn)象到本質(zhì), 由局部到整體, 由實踐到理論的過程；2