高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)錄

1、高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)錄(一)南陽屮學(xué)劉偉明師：四邊形、五邊形、六邊形分別有多少條對(duì)角線？你是怎樣 考慮的？提出問題，讓學(xué)生在解答的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.生：四邊形、五邊形、六邊形分別有兩條對(duì)角線，五條對(duì)角線 和九條對(duì)角線，以六邊形為例，每個(gè)頂點(diǎn)可引3條對(duì)角線，六個(gè)頂 點(diǎn)可引18條對(duì)角線，但因每條對(duì)角線都計(jì)算了兩次，所以六邊形實(shí) 際有9條對(duì)角線.師：n邊形(n4)有多少條對(duì)角線？為什么？由特例到一般問題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象 的認(rèn)識(shí)過程.生：n邊形有條對(duì)角線，因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)可引n-3條對(duì)角線，所以 n個(gè)頂點(diǎn)可引n(n-3)條，但每條對(duì)角線都計(jì)算了兩次，故n邊形實(shí) 際有條對(duì)角線師：這一公式適

2、合四邊形、五邊形、六邊形嗎？由一般再回到特殊，特例的正確性提高了學(xué)生探索問題的積極 性，增強(qiáng)了猜想的信心.生：適合.師：觀察等差數(shù)列的前幾項(xiàng)：al=al+0da2=al+lda3=al+2da4=al+3d你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？試用al, n和d表示an.生：an-al+(nl) d師：像這種由一系列特殊事例得到一般結(jié)論的推理方法，叫做 歸納法，用歸納法可以幫助我們從特殊事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但是, 由歸納法得出的一般結(jié)論并不一定可靠.例如，一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 是an=(n2-5n+5)2請(qǐng)算出al, a2, a3, a4你能得到什么結(jié)論?生：由 al=l, a2=l, a3=l, a4=l 可知

3、an=l師：由 an= (n2-5n+5) 2 計(jì)算 a5.由a5=25l,否定了學(xué)生的猜想，舉出反例是否定命題正確性 的簡(jiǎn)單而基木的方法.師：由歸納法得到的一般結(jié)論是不一定可靠的.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾 馬曾由n=0, 1, 2, 3, 4得到+1均為質(zhì)數(shù)而推測(cè)：n為非負(fù)整數(shù)時(shí), +1都是質(zhì)數(shù)，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的因?yàn)閿?shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，n二5時(shí)+1 是一個(gè)合數(shù)：+1=4294967297=641 6700417.數(shù)學(xué)史例使學(xué)生興趣盎然，學(xué)習(xí)積極性大為提高，至此，歸納 法作為一種發(fā)現(xiàn)規(guī)律的推理方法的數(shù)學(xué)己告結(jié)束.師：既然由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠，那么，就必須想辦 法對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行證明，對(duì)于由歸納法

4、得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n),能否通過一一驗(yàn)證的辦法來加以證明呢？生：不能因?yàn)檫@類命題中所涉及的自然數(shù)有無限多個(gè)，所以無 法一個(gè)一個(gè)加以驗(yàn)證.新問題引導(dǎo)學(xué)生思考：既然對(duì)于P(nO)、P(O+1)、P (n0+2) 的正確性無法一一驗(yàn)證，那么如何證明P(n) (nn)的正確性呢？至 此，數(shù)學(xué)歸納法的引入水到渠成.二、新課師：我們將采用遞推的辦法解決這個(gè)問題.同學(xué)們?cè)陔娨曋锌赡?看到過“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只 要推到第一塊骨牌，第二塊就會(huì)自己倒下，接著第三塊就會(huì)倒下， 第四塊也會(huì)倒下如此傳遞下去，所有的骨牌都會(huì)倒下，這種傳 遞相推的方法，就是遞推.從一個(gè)袋子里第

5、一次摸出的是一個(gè)白球，接著，如果我們有這 樣的一個(gè)保證：“當(dāng)你第一次摸出的是白球，則下一次摸出的一定 也是白球”，能否斷定這個(gè)袋子里裝的全是白球？生：能斷定.為數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟提供具體生動(dòng)的模型，幫助學(xué)生理解 數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì).師：要研究關(guān)于自然數(shù)的命題P(n),我們先來看自然數(shù)有什么 性質(zhì)，自然數(shù)數(shù)列本身具有遞推性質(zhì)：第一個(gè)數(shù)是1,如果知道了一 個(gè)數(shù)，就可以知道下一個(gè)數(shù).有了這兩條，所有自然數(shù)盡管無限多， 但我們就可全部知道了類似地，我們可采用下而的方法來證明有關(guān) 連續(xù)自然數(shù)的命題P(n),先驗(yàn)證n取第一個(gè)值n時(shí)命題正確；再證 明如果n=k(kn)時(shí)命題正確，則n=k+l時(shí)命題正確，只要

6、有了這 兩條，就可斷定對(duì)從n開始的所有自然數(shù)，命題正確，這就是數(shù)學(xué) 歸納法的基本思想.先通俗了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，對(duì)深刻理解數(shù)學(xué)歸納法的 實(shí)質(zhì)至關(guān)重要.師：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(II)的步驟是:證明當(dāng)n取第一個(gè)值n(如n二1或n二2等)時(shí)結(jié)論成立，即 驗(yàn)證P(nO)正確；假設(shè)n=k(kN,且kn)時(shí)結(jié)論正確，證明n=k+l時(shí)結(jié)論 正確，即由P(k)正確P(k+1)正確由(1)和(2),就可斷定命題對(duì)于從 n開始的所有自然數(shù)n都正確.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)錄(二)南陽中學(xué)劉偉明一、不等式證明的常用方法和基本不等式師：前而我們復(fù)習(xí)了不等式的性質(zhì)，現(xiàn)在開始復(fù)習(xí)不等式的證明 下而我

7、們先來看一個(gè)問題：例 1求證:(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2如何證明這個(gè)不等式呢？我們回憶一下，不等式證明有哪些常用 的方法？生：比較法、分析法和綜合法.師：什么是比較法？這個(gè)不等式能不能用比較法來證明？生：要證明ab,只要證明a-bO,這就是不等式證明的比較 法，這個(gè)不等式能用比較法證明.證法一I (a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2=(bc-ad)20.,.(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2師：用比較法證明不等式的基本步驟有哪些？生：有三步：作差(2)變形(3)確定符號(hào)師：什么是分析法

8、？這個(gè)不等式能不能用分析法來證明？生：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證 明這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題；如果能夠肯定這 些條件都己具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法就是不等 式證明的分析法.這個(gè)不等式能用分析法來證明.證法二要證明(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2只要證明 a2c2+b2c2+a2d2+b2d2a2c2+2abcd+b2d2也就是證明b2c2+a2d22abcd即 (bc-ad)220. (bc-ad)20 成立(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 成立(教師指出應(yīng)用分析法證明時(shí)要注意書寫格式)師：什么是綜合法？這個(gè)不

9、等式能不能用綜合法來證明？生：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性 質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法是不等式證明的綜合法，這個(gè) 不等式能用綜合法來證明.證法三.b2c2+a2d22abcd.a2c2+b2d2+b2c2+a2d2a2c2+2abcd+b2d2即 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2師：應(yīng)用綜合法證明的關(guān)鍵是找出作為基礎(chǔ)的己經(jīng)證明過的不等式.這些不等式大都是基木不等式，主要有：a2+b22ab (a bR)(a、bR+)這里要注意：不等式成立的條件，字母的允許值范圍；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.這里改變了高三復(fù)習(xí)課先整理知識(shí)，然后講解例題的傳統(tǒng)模式, 而

10、是先提出問題讓學(xué)生思考，創(chuàng)設(shè)問題情境，激起學(xué)生復(fù)習(xí)的欲望和 要求，喚起學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的回憶，引起學(xué)生的思維這樣可以提高學(xué) 生復(fù)習(xí)的積極性.在此基礎(chǔ)上，通過教師的啟發(fā)，讓學(xué)生自己逐步回 憶過去所學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用它們來分析問題和解決問題，最好引導(dǎo)學(xué)生 自己歸納、整理舊知識(shí)，形成比較系統(tǒng)和完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).二、不等式證明方法的應(yīng)用例2已知a、b、C是不全相等的正數(shù).求證：(先讓學(xué)生議論，然后由學(xué)生起來回答，教師板書.)證明：Ya. b、C是不全相等的正數(shù).(D中等號(hào)不同時(shí)成立 即(如果學(xué)生按上述步驟進(jìn)行證明，教師應(yīng)提出：這樣證明有沒有 問題？讓學(xué)生通過思考后發(fā)現(xiàn)：在證明一開始必須先指出a、b、c R+,否則不能確定、是否成立.)師：在證明不等式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：不等式的逆向運(yùn)用，要證明不等式可以先證明它的逆向不等 式.已知條件在不等式證明中的應(yīng)用.由于a、b、C是三個(gè)不全相 等的正數(shù)，從而得出、中三個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，于是才能證 得原不等式成立.同向不等式相加是用綜合法證明不等式的常用手段.例3已知a、b、cR+,求證：(師生共同進(jìn)行分析)要證明只要證明也就是證明如何證明這個(gè)不等式呢？(讓學(xué)生議論后回答)生：Va. bR+師：這樣證明有沒有問題？ 生：(回答略