高中數(shù)學導數(shù)講義之定積分

1、 問題一曲邊梯形的面積第一部分定積分的概念如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線y f(x)的一段,我們把由直線x a , x b(a b), y 0和曲線yf (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形.如何計算這個曲邊梯形的面積?例如：求由拋物線y x2 ,直線x 1以及x軸所圍成的平面圖形的面積 So求曲邊梯形面積的四個步驟：第一步：分割.第二步：近似代替。第三步：求和.第四步：取極限。(說明：最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值)問題二汽車行駛的路程汽車以速度v組勻速直線運動時，經(jīng)過時間 t所行駛的路程為 S vt.如果汽車作變速直線運動，在時刻 t 的速度為vt t2 2 (單位：k

2、m/h),那么它在0wtwi(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程 S (單位：kni) 是多少？問題三定積分的概念般地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點問題三定積分的概念ax0 x1 x2 Lxi 1xiLxnb將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間nn b axi 1,xi上取一點i i 1,2,L ,n ,作和式：f i ? xbaf i當n )時，上述和式i 1i 1 nb無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分。記為： f(x)dx 即a,x叫做 變量,區(qū)間a, b為區(qū)間，b積f(x)dx=,x叫做 變量,區(qū)間a, b為區(qū)間，b積n i 1 n分, a積

3、分。b說明：(1)定積分f(x)dx是一個常數(shù)a(2)用定義求定積分的一般方法是:分割：n等分區(qū)間a,b;近似代替：取點i x1,xi (2)用定義求定積分的一般方法是:3f(ni);取極限:bf (x)dxalim3f(ni);取極限:bf (x)dxalimn(3)曲邊圖形面積:bt2S f x dx ;變速運動路程 S v(t)dtat1定積分的幾何意義b從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上的函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x) 0。那么定積分f(x)dx表示由直a線 x a線 x a, x b(a b), y 0 和曲線 yf (x)所圍成的曲邊梯形的面積。 定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出

4、定積分的如下性質(zhì):性質(zhì)b1dx ba性質(zhì)ba kf (x)dxba f（x）dx （其中k是不為0的常數(shù)）（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)baf1(x) af2 (x)dxbbf(x)dxf2(x)dxaa（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)f (x)dxf (x)dxf (x)dx (其中 a cb)（定積分對積分區(qū)間的可加性）說明：推廣:baf1(x) af2(x)fm(x)dxf1(x)dxf2(x)dxba fm(x)ab推廣：af (x)dxC1a f (x) dxc2Cif (x)dxbf(x)dxck微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）f (x)dx F(xF(b)F(a).典例分析b例1.利用定積分

5、定義，證明 1dx baa ,其中a,b均為常數(shù)且aa）.由曲線yx2 1和X軸圍成圖形的面積等于S.給出下列結(jié)果，其中正確的是 12121202 1 (x 1)dx; (1 x)dx; 2(x 1)dx; 21(1 x )dx .X. y o (sin t cost sin t)dt ,則 y 的最大值是 .若 f(x)是一次函數(shù)，且 f (x)dx 5, xf(x)dx ”,那么2f(xldx的值是0061 x12.計算d- dx02sinx2dx12.計算d- dx02sinx2dx0 sinx sin3xdx0 8sx 8s3 xdx21 sinxcosx | dx11 x 213 綜合題：(1) Fdx0 x2 x 2(2) 01n(1 x)dx (3) 2(x2 4 x2 xcos5 x)dxe d