高中函數(shù)定義域值域解析式求法大全

1、抽象函數(shù)定義域的類型及求法函數(shù)概念及其定義域 TOC o 1-5 h z 函數(shù)的概念：設是 A, B 非空數(shù)集，如果按某個確定的對應關系f ， 使對于集合A 中的任意一個x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)f (x) 和它對應，那么就稱f : A B 為集合 A 到集合 B 的函數(shù)，記作： y f (x), x A。其中 x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值.復合函數(shù)的定義一般地：若y f (u) ，又 u g(x) ，且 g(x) 值域與 f (u) 定義域的交集不空，則函數(shù)y fg(x)叫 x的 復合函數(shù)，其中 y f(u)叫外層函數(shù)，u g(x)

2、叫內(nèi)層函數(shù)，簡言之：復合函數(shù)就是：把一個函數(shù)中的自變量替換成另一個函數(shù)所得的新函數(shù).例如 : f (x) 3x 5, g(x) x2 1 ； 復合函數(shù)f(g(x) 即把 f (x) 里面的 x換成 g(x) ，f(g(x) 3g(x) 5 3(x2 1) 5 3x2 8問：函數(shù)f (x) 和函數(shù) f (x 5) 所表示的定義域是否相同？為什么？(不相同；原因：定義域是求 x的取值范圍，這里x和 x 5所屬范圍相同，導致它們定義域的范圍就不同了。一、已知f (x) 的定義域，求f g(x) 的定義域其解法是：若f(x)的定義域為a x b ，則在 f g(x) 中， a g(x) b，從中解得x

3、的取值范圍即為f g(x) 的定義域例 1 已知函數(shù)f (x) 的定義域為1， 5 ，求 f (3x 5) 的定義域分析： 該函數(shù)是由u 3x 5和 f (u) 構成的復合函數(shù)，其中 x是自變量，u是中間變量，由于 f (x)與 f(u)是同一個函數(shù)，因此這里是已知1 u 5，即 1 3x 5 5，求 x的取值范圍410解： f (x)的定義域為1，5 ，1 3x 5 5 x 故函數(shù)f (3x 5) 的定義域為334，10 33練習 1. 已知 f (x) 的定義域為3,5 ，求函數(shù)f(3x 2) 的定義域；1 , 733練習 2. 已知 f (x) 的定義域為(0， 3 ，求f (x2 2x

4、) 定義域。3, 20,1二、已知f g(x) 的定義域，求f (x)的定義域其解法是：若 f g(x) 的定義域為mx n ， 則由 m x n 確定的 g(x) 的范圍即為f(x)的定義域例 1.已知函數(shù)f(x2 2x 2)的定義域為0， 3 ，求函數(shù)f (x) 的定義域22分析： 令 u x2 2x 2 ，則 f (x2 2x 2) f(u) ，由于 f (u) 與 f (x) 是同一函數(shù)，因此u 的取值范圍即為f (x) 的定義域 TOC o 1-5 h z 222解 ： 由0 x3 ， 得 1x22x25令 ux22x 2 ， 則f (x22x 2)f (u)，1 u 5故 f (x

5、)的定義域為1，5 練習 1 若函數(shù) f 3 2x 的定義域為1,2 ，求函數(shù)f x 的定義域4,11例 2.已知 f (x 1)的定義域為 2，3) ，求 f x 2 的定義域。解 由 f (x 1) 的定義域為 2， 3) 得 2 x 3 ，故 1 x 1 4 即得 f x 定義域為 1， 4) ，從而得到 1 x 2 4，所以1 x 6 故得函數(shù)f x 2 的定義域為1,6三、運算型的抽象函數(shù)求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函數(shù)的定義域，然后再求交集例 1. 若 f (x) 的定義域為3， 5 ，求 (x) f ( x) f (2x 5) 的定義域3x

6、 5，解： 由 f (x) 的定義域為3， 5 ，則 (x) 必有解得 4 x 03 2x 5 5，所以函數(shù)(x) 的定義域為4， 0例 2 已知函數(shù)f x 定義域為是a,b ，且 a b 0 , 求函數(shù) h x f x m f x m m 0 的定義域axmbamxbm解 :， m 0, a m a m b m b m ， 又axmbamxbmambmba要使函數(shù)h x 的定義域為非空集合，必須且只需a m b m ，即 0 m a ，這時函數(shù)h x 的定義域為a m,b m總結解題模板.已知f (x) 的定義域，求復合函數(shù)f g x 的定義域由復合函數(shù)的定義我們可知，要構成復合函數(shù)，則內(nèi)層

7、函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域之中， 因此可得其方法為：若 f (x) 的定義域為x a,b ， 求出 fg(x) 中 a g(x) b的解 x的范圍，即為fg(x) 的定義域。.已知復合函數(shù)f g x 的定義域，求f(x)的定義域方法是：若fg x 的定義域為x a,b ，則由 a x b 確定 g(x) 的范圍即為f (x) 的定義域。.已知復合函數(shù)fg(x) 的定義域，求fh(x) 的定義域結合以上一、二兩類定義域的求法，我們可以得到此類解法為：可先由f g x 定義域求得f x 的定義域，再由f x 的定義域求得f h x 的定義域。.已知f(x)的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義

8、域若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集。函數(shù)解析式的七種求法待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構造時，可用待定系數(shù)法。例 1 設 f ( x)是一次函數(shù)，且f f(x) 4x 3，求 f(x)解 ：設 f ( 解 ：設 f ( x) ax b(a 0)，則f f (x) af (x) b a(ax b) b a2x ab ba2或 b1a2或 b1a2 4f (x) 2x 1 或f (x) 2x 3ab b 3ab b 3配湊法： 已知復合函數(shù)fg(x) 的表達式，求 f(x)的解析式，fg(x) 的表達式容易配成g (

9、 x) 的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)f ( x) 的定義域不是原復合函數(shù)的定義域，而是 g(x)的值域。11例 2 已知 f (x ) x22 (x 0) ，求 f(x) 的解析式x x2111解： f (x ) (x)2 2， x 2 f (x) x2 2 (x 2)xxx三、換元法：已知復合函數(shù)fg(x) 的表達式時，還可以用換元法求f (x) 的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例 3 已知 f ( x1) x2 x ，求 f ( x 1)解 ：令 t x 1 ，則 t 1 ， x (t 1) 2f ( x 1) x 2 xf(t)(t1)2 2(t1) t

10、21,f (x) x21(x 1)22f(x 1) (x 1)2 1 x2 2x (x 0)四、代入法：求已知函數(shù)關于某點或者某條直線的對稱函數(shù)時，一般用代入法。例 4 已知：函數(shù)yx2x與 y g (x) 的圖象關于點( 2, 3) 對稱，求g ( x ) 的解析式解 ：設 M (x, y)為 y g( x)上任一點，且M (x , y ) 為 M (x, y)關于點 ( 2,3) 的對稱點xx22 ，解得：xx22 ，解得：yy32x x4 代入得：y 6y， 點 M (x ,y ) 在 y g(x)上 y x x y6y6 y ( x 4)2 ( x 4) 整理得 yx2 7x 6g(x

11、)x2 7x 6五、構造方程組法：若已知的函數(shù)關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式。1例 5 設 f (x)滿足 f(x) 2f ( ) x, 求 f(x)x11解 f ( x) 2 f ( ) x 顯然 x 0, 將 x換成，得11f(1) 2f(x)11f(1) 2f(x)1例6設 f (x) 為偶函數(shù)，g ( x) 為奇函數(shù)，又f (x) g (x)1, 試求f (x)和 g(x)的解析式x1f (x) 為偶函數(shù)，g (x) 例6設 f (x) 為偶函數(shù)，g ( x) 為奇函數(shù)，又f (x) g (x)1, 試求f (x)和 g(x)的解析式

12、x1f (x) 為偶函數(shù)，g (x) 為奇函數(shù)，f ( x) f (x), g( x) g(x) 又 f (x) g (x)1x11x 替換 x 得： f ( x) g ( x )x11解 聯(lián)立的方程組，得f ( x)，x2 11即 f (x) g(x)x11g(x) 2xx六、賦值法：當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。例 7 已知： f (0) 1 ， 對于任意實數(shù)x、 y， 等式 f (x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，求 f (x)解 對于任意實數(shù)x、 y，等式f (x y) f (x)

13、 y(2x y 1) 恒成立，不妨令x 0 ，則有f ( y) f (0) y( y 1) 1 y( y 1)y2y 1 再令 y x 得函數(shù)解析式為：f (x) x2 x 1七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進關系，則可以遞推得出系列關系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運算求得函數(shù)解析式。例8設 f(x) 是 定 義 在 N 上 的 函 數(shù) ， 滿 足 f(1) 1 ， 對 任 意 的 自 然 數(shù) a,b 都 有f (a) f (b) f(a b) ab ，求 f (x)f (a) f (b) f (a b) ab， a,b N不 妨 令 a x,b 1 ， 得f(x) f (1) f(x

14、 1) x，又 f (1) 1,故 f (x 1) f (x) x 1 f(x) f (1) f(x 1) x，又 f (1) 1,故 f (x 1) f (x) x 1 分 別 令 式 中 的 x 1, 2n 1 得 ：f(2)ff(3)ff(n ) f(1)2( 2 )3將 , 上 述 各 式 相 加 得 ：n( 1n)f(n) f(1) 2 3 n， f(n) 1 2 3 nn(n 1) f(x) 1x2221x, x N 21 M x|0 x 2, N y | 0 y 3 給出下列四個圖形，其中能表示從集合M 到集合N 的函數(shù)關系的有(22求下列函數(shù)的定義域:yy x(4) y=a x

15、(a0,a 1)yy x(4) y=a x(a0,a 1)0(5 ) y=x3 設函數(shù)f (x)x 3,(x 10) f(x 5),( x 10)f(5)求下列函數(shù)的解析式:已知 f(x+1 )=x2-3x+2，求 f(x). (2) 已知 f(x)+2f( 1 )=3x,求f(x)的解析式x反饋型題組.(08 年 ,全國高考題)函數(shù)y x(x 1) x 的定義域為(AAx|x 0Bx| x 1CCx|x 10Dx|0 x 1汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s 看作時間 t 的函數(shù)，其圖像可能是7.(08 年德州)對任意整數(shù)x,y,函數(shù) f(x)

16、滿足 f(x y) f(x) f( y) xy 1,若f(x)=1,那么 TOC o 1-5 h z f( 8)等于()A. -1B. 1C. 19D 438. 已知 f( x)是一次函數(shù)，且2f(x)+f(-x)=3x+1 對 x R恒成立，則f( x) =.函數(shù)值域求法十一種直 接 觀 察 法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。1例 1. 求 函 數(shù) y x的 值 域 。解：x0 0 x顯 然 函 數(shù) 的 值 域 是 ：( ,0) (0, )例 2. 求 函 數(shù) y 3 x 的 值 域 。解：x0 x 0,3 x 3故 函 數(shù) 的 值 域 是 ： ,3配 方 法配方法是求二次函數(shù)

17、值域最基本的方法之一。2例 3. 求 函 數(shù) y x 2x 5,x 1,2的 值 域 。2解：將函數(shù)配方得： y (x1)2 4 x 1,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可 知 ： 當x=1 時，ymin4， 當 x 1時 ， ymax 8故函數(shù)的值域是：4， 8判 別 式 法21 x x2 y2 例 4. 求 函 數(shù) 1 x 的 值 域 。解 ： 原 函 數(shù) 化 為 關 于x的 一 元 二 次 方 程(y 1)x2 (y 1)x 0當 y 1時 ， x R( 1)2 4(y 1)(y 1) 01y3解得：22131,當 y=1 時 ， x 0， 而 2 21,3故 函數(shù) 的值 域為 22例 5.求 函 數(shù)

18、 yx x(2x) 的值 域。22解 ：兩 邊 平 方整理 得 ：2x 2(y1)x y 0( 1)xR4(y 1)2 8y 0 TOC o 1-5 h z 解得：12y12但此 時的函數(shù)的定義域 由 x(2x)0，得 0 x222由0，僅保證關于x的 方 程：2x22(y1)xy20在實 數(shù) 集 R有 實根，而不 能確 保其 實根在 區(qū)間0， 2上 ，即 不能確 保 方程( 1)有實 根 ， 由0求出的13,范 圍 可 能 比 y的 實 際 范 圍 大 ， 故 不 能 確 定 此 函 數(shù) 的 值 域 為 2 2 ?？梢圆扇∪缦路椒ㄟM一步確定原函數(shù)的值域。0 x2y x x(2 x) 0ymi

19、n 0,y 1 2代 入 方 程 ( 1)22 24 2解得：當 x1x解得：當 x1222 24 22 時，原 函 數(shù) 的 值 域 為 ： 0,12注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應 綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部分剔除。反 函 數(shù) 法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值 域。3x 4例 6. 求 函 數(shù) 5x 6 值 域 。4 6y xx35解 ： 由 原 函 數(shù) 式 可 得 ： x354 6y則其反函數(shù)為：y 5x3， 其 定義 域 為 ：3故所求函數(shù)的值域 為 ：,5函 數(shù) 有 界 性 法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過

20、函數(shù)的有界性，反客為主來確定 數(shù)的值域。xe1y例 7. 求 函 數(shù)ex 1 的 值 域 。x y1 ex y1 e解：由原函數(shù)式可得： y1ex 0y10 y1解得： 1y1故 所 求 函 數(shù) 的 值 域 為 ( 1,1)cosxy例 8. 求 函 數(shù) sinx 3的 值 域 。解 ： 由 原 函 數(shù) 式 可 得 ： ysinx cosx 3y， 可 化 為 ：y2 1 sinx(x ) 3y3ysin x(x )即y2 1xR sinx(x ) 1,13yy1即 y2 122y解得： 4422故 函 數(shù) 的 值 域 為 4,4函 數(shù) 單 調(diào) 性 法例 9.求 函 數(shù)y 2x 5log3x1

21、(2x 10)的 值 域 。 TOC o 1-5 h z 解 ：令 y12x 5,y2log3x1則 y1,y2在 2， 10上 都 是 增 函 數(shù)所 以 y y1 y2在2，10上 是 增函數(shù)y min23 log3 211當 x=2時 ，8當 x=10時 ， ymax 25 log3 9 331 ,33故所求函數(shù)的值域為： 8例 10. 求 函 數(shù) y x 1 x 1 的 值 域 。2y解：原函數(shù)可化為： x1 x1令y1 x 1,y2x1，顯 然 y1,y2在1,上 為 無 上 界 的 增 函 數(shù)所以 y y1， y2在1,上也 為 無 上 界的 增函數(shù)22所以當 x=1 時，y y1y

22、2有最 小值 2， 原 函 數(shù) 有 最 大 值 2顯然y 0， 故原函 數(shù) 的值 域為 (0, 2換 元 法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根 式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的 值域中同樣發(fā)揮作用。例 11. 求 函 數(shù) y x x 1的 值 域 。解 ： 令 x 1 t， (t 0)則 x t2 1 TOC o 1-5 h z 2123y t2 t 1 (t)224又t0，由二 次函 數(shù)的 性 質(zhì) 可 知當t0 時，y min1當 t 0時 ， y故函數(shù) 的值域 為1,)例 12. 求函數(shù)y x21 (x 1)2 的 值

23、域 。2 TOC o 1-5 h z 解 ： 因1(x 1)202即 (x 1)2 1故可令 x1cos,0,ycos11cos2sincos 12 sin( ) 140,05442 sin( ) 12402 sin( ) 1 12故 所 求 函 數(shù) 的 值 域 為 0,1 2y x3 x 例 13. 求 函 數(shù) y x3 x 例 13. 求 函 數(shù) x4 2x2解：原函數(shù)可變形為：2x可 令 x tg ， 則 有 1 x21的 值 域 。1 2x 1 x2 y2 1 x2 1 x2sin 2 ,12 1xx2cos21 sin 2 cos2 1 sin 4 TOC o 1-5 h z k1

24、y max 當 2 8時 ，4k1當28 時 ， ymin 4而此時tan有 意義 。11x,12 2 的 值 域 。x,12 2 的 值 域 。例 14. 求 函 數(shù) y (sin x 1)(cos x 1)解 ： y (sin x 1)(cos x 1)sin x cosx sin x cosx 112sin xcos x (t 1)令 sin x cosx t ， 則21212y(t2 1) t 1 (t 1)222t sin x cosx 2 sin(x / 4) x,且 12 2可得：2可得：22t 232 32 y42y 32 t2當 t 2時 ， ymax 22， 當 t 2 時

25、 ， TOC o 1-5 h z 32,32故所求函數(shù)的值域為 4 22。例 15. 求 函 數(shù) y x 4 5 x2 的 值 域 。解：由5x2 0， 可 得 |x|5故可令x 5cos,0, y 5 cos 45 sin 10 sin( ) 405444當 /4時，ymax 410當 時 ， y min 45故所 求 函 數(shù)的值 域為 ：45,4 10數(shù) 形 結 合 法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率 等等，這類題目若運用數(shù)形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 TOC o 1-5 h z 例16. 求函數(shù)y(x2)2 (x 8)2的值域。解： 原

26、函數(shù)可 化簡 得：y |x 2|x8|上式可以看成數(shù)軸 上 點P(x) 到定點A(2)，B( 8)間 的 距 離 之和 。由上圖可知，當點 P 在線 段AB 上時，y| x2 | |x 8 | | AB | 10當點P 在線段AB 的 延長 線或 反 向延長線上 時，y | x 2 | | x 8 | AB |10故所 求函數(shù)的 值域 為：10, 例 17. 求 函 數(shù) y x2 6x 13 x 2 4x 5 的 值 域 。解：原函數(shù)可變形為：y (x 3)2 (0 2)2(x 2)2 (0 1)2 TOC o 1-5 h z 上式可看成x軸 上的點P(x,0)到 兩 定 點A(3,2),B(

27、2, 1)的距 離之和，由圖可知當點 P 為線段與 x軸的 交 點 時， ymin|AB |(32)2(21)243，故所求函數(shù)的 值 域為43, 例 18. 求 函 數(shù) y x2 6x 13 x2 4x 5的 值 域 。解：將函數(shù)變形為 ：y (x3)2(02)2(x 2)2 (01)2上式可看成定點A(3，2) 到點P(x， 0)的 距 離 與 定點 B( 2,1)到 點 P(x,0)的距離之差。即 ： y |AP| |BP|由圖 可 知 ： (1)當 點 P 在 x軸上 且 不 是 直 線 AB與x軸 的 交點 時 ， 如 點 P，則 構成 A BP，根 據(jù) 三 角 形 兩 邊 之 差小

28、 于 第 三 邊 ， 有 TOC o 1-5 h z |AP| | BP| |AB |(3 2)2 (2 1)226即 ：26 y 26當 點 P 恰好 為 直 線 AB 與 x軸的 交 點 時， 有 |AP| |BP| |AB | 26綜上所 述 ， 可 知函 數(shù) 的 值 域 為： (26, 26注：由例17，18 可知 ，求 兩距 離 之和時 ，要將函數(shù)式變形， 使A、B兩點在 x 軸的 兩側，而求兩距離之差 時，則 要使A，B兩點在x 軸的同 側。如：例17 的A，B兩點坐標 分別為 ：(3，2)， ( 2,1)，在x軸的 同側；例18 的A，B兩點坐標分別為(3，2) ，(2,1)，在

29、x軸的同側。不 等 式 法3利用基 本不 等式 a b 2 ab,a b c 33 abc(a,b,c R )，求函數(shù)的最值 ，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需 要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。1212例 19. 求 函 數(shù) y (sin x sinx) (cosx cosx)4的 值 域 。解：原函數(shù)變形為：2211y (sin x cos x) 22sin x cos x1 ces2 x sec2 x223 tan x cot x33 tan2 xcot2 x 25當 且 僅 當 tanx cotxxk即 當 x k 4時 (k z)， 等 號 成 立故 原 函 數(shù) 的 值 域 為 ： 5, )例 20. 求 函 數(shù) y 2sinxsin2x的 值 域 。解 ： y 4sin x sin x cos x4sin 2 xcosx42y 16 sin xcos x2228sin xsin x(2 2sin x)8(sin 2 x sin2 x 2 2sin2 x) /336427