概率論第十三講協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

1、教學(xué)目的： 1.矩的概念. 2 .協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 3切貝謝夫不等式 第十三講 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)教學(xué)內(nèi)容： 第三章， 3.6 3.7 。 1一 矩設(shè) X 為離散 r.v. 分布為X連續(xù) r.v. ，d.f. 為定義2二 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X ,Y ):已知聯(lián)合分布邊緣分布 對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系. 數(shù)反映了隨機(jī)變量 X , Y 之間的某種關(guān)系3 稱為 X ,Y 的協(xié)方差. 記為 稱為（X , Y ）的協(xié)方差矩陣可以證明 協(xié)方差矩陣 為 半正定矩陣協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義定義4若D (X )

2、 0, D (Y ) 0 ,稱為X ,Y 的 相關(guān)系數(shù)，記為事實(shí)上，若稱 X ,Y 不相關(guān).無量綱 的量5 若 ( X ,Y ) 為離散型，若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 6求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例1 已知 X ,Y 的聯(lián)合分布為XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0, D(Y ) 0 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等式成立 Cauchy-Schwarz不等式證 令對(duì)任何實(shí)數(shù) t ,12即等號(hào)成立有兩個(gè)相等的實(shí)零點(diǎn)即顯然 13即即 Y 與 X 有線性關(guān)系的概率等于1, 這種線性關(guān)系為14完全類似地可以證明當(dāng)E(X

3、2) 0, E(Y 2 ) 0 時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 等式成立.15相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) Cauchy-Schwarz不等式的等號(hào)成立即Y 與X 有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為16如例1中 X ,Y 的聯(lián)合分布為XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0, 不等式 成立，或返回主目錄19返回主目錄20例4假設(shè)一批種子的良種率為 ，從中任意選出600粒，試用切比曉夫（Chebyshev）不等式估計(jì)：這600粒種子中良種所占比例與 之差的絕對(duì)值不超過0.02的概率。21性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定獨(dú)立反例 1X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi附錄122X Y P -1 0 1但23反例224但25幾個(gè)重要的 r.v. 函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 X 的 k 階原點(diǎn)矩 X 的 k 階絕對(duì)原點(diǎn)矩 X 的 k 階中心矩 X 的 方差附錄226 X ,Y 的 k + l 階混合原點(diǎn)矩 X ,Y 的 k + l 階混合中心矩 X ,Y 的 二階原點(diǎn)矩 X ,Y 的二