江西省高中數(shù)學(xué)青年教師業(yè)務(wù)能力競(jìng)賽

1、江西省高中數(shù)學(xué)青年教師業(yè)務(wù)能力競(jìng)賽（解題）試題 命題：張園和本試卷分第 = 1 * ROMAN I卷（選擇題）和第 = 2 * ROMAN II（非選擇題）兩部分，共150分考試時(shí)間120分鐘考試結(jié)束，將本試卷和答題紙一并交回第 = 1 * ROMAN I卷 (選擇題共60分)注意事項(xiàng)：1答第 = 1 * ROMAN I卷前，參賽選手務(wù)必在試卷及答題紙上將自己的單位、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填在指定的位置2所有試題的答案均應(yīng)填入答題紙上的相應(yīng)位置, 不能答在試卷上。未填入答題紙的部分一律按零分計(jì)一、本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1設(shè)集合,則實(shí)數(shù)a的

2、取值范圍是ABC(1,+) D(,1)2若都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則=A1+2iB12 i C2+ i D2i3已知的值應(yīng)是ABCD4若函數(shù)的反函數(shù)為,則滿足的x的集合是A(0,+)B(1,+)C(1,1)D(0, 1)5已知變量滿足約束條件,則的取值范圍是ABCD6設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則=A0.025B0.050C0.950D0.9757已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是A2 B3C4D58已知橢圓有相同的準(zhǔn)線,則動(dòng)點(diǎn)P (n, m)的軌跡為A橢圓的一部分B雙曲線的一部分C拋物線的一部分D直線的一部分9半徑為1的球面上的四點(diǎn)是正四面體的頂點(diǎn)

3、,則與兩點(diǎn)間的球面距離為 A. B. C. D. 10如圖,設(shè)P為ABC內(nèi)一點(diǎn),且則A B C D11將號(hào)碼分別為1、2、9的九個(gè)小球放入一個(gè)袋中, 這些小球僅號(hào)碼不同，其余完全相同甲從袋中摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為a，放回后，乙從此袋中再摸出一個(gè)球，其號(hào)碼為b則使不等式a2b+100成立的事件發(fā)生的概率等于A. B. C. D. 12已知定義域?yàn)镽上的函數(shù)單調(diào)遞增，如果的值A(chǔ)可能為0B恒大于0 C恒小于0 D可正可負(fù)第 = 2 * ROMAN II卷 (共90分)注意事項(xiàng)：1用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上2答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分把答案填在

4、答題紙中的相應(yīng)位置上13在的展開式中，x5的系數(shù)為.14當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則的取值范圍是15若函數(shù)=.16對(duì)于函數(shù), 存在一個(gè)正數(shù),使得的定義域和值域相同, 則非零實(shí)數(shù)的值為_.三、解答題：本大題共6小題,共74分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明, 演算步驟或證明過(guò)程2,4,617(本小題滿分12分) 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)2,4,6(1) 求的值；(2)若對(duì)任意的, 不等式恒成立, 求k的取值范圍. 18(本題滿分12分) 在九江市教研室組織的一次優(yōu)秀青年教師聯(lián)誼活動(dòng)中，有一個(gè)有獎(jiǎng)競(jìng)猜的環(huán)節(jié)主持人準(zhǔn)備了A、B兩個(gè)相互獨(dú)立的問(wèn)題，并且宣布：幸運(yùn)觀眾答對(duì)問(wèn)題A可獲獎(jiǎng)金1000元，答對(duì)問(wèn)題B可

5、獲獎(jiǎng)金2000元，先答哪個(gè)題由觀眾自由選擇，但只有第一個(gè)問(wèn)題答對(duì)，才能再答第二題，否則終止答題若你被選為幸運(yùn)觀眾，且假設(shè)你答對(duì)問(wèn)題A、B的概率分別為、(1) 記先回答問(wèn)題A的獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量, 則的取值分別是多少？(2) 你覺(jué)得應(yīng)先回答哪個(gè)問(wèn)題才能使你獲得更多的獎(jiǎng)金?請(qǐng)說(shuō)明理由19(本小題滿分12分) 已知函數(shù)(R,且)的部分圖象如圖所示(1) 求的值；(2) 若方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍20(本小題滿分12分) 如圖,在四棱錐中,底面，, 是的中點(diǎn)(1)證明；(2)證明平面；(3)求二面角的大小.21(本小題滿分12分) 設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距

6、離之積為2, 記點(diǎn)的軌跡為曲線. 是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l, 使之與曲線交于相異兩點(diǎn)、,且以線段為直徑的圓與y軸相切？若存在,求出直線l的斜率;若不存在, 說(shuō)明理由22(本小題滿分14分) 已知函數(shù)及正整數(shù)數(shù)列. 若,且當(dāng)時(shí),有; 又,且對(duì)任意恒成立. 數(shù)列滿足:.(1) 求數(shù)列及的通項(xiàng)公式;(2) 求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3) 證明存在，使得對(duì)任意均成立參考答案命題：張園和題號(hào)123456789101112答案BCBAACDACADC題號(hào)13141516備注答案11 解: 畫出數(shù)軸,由圖可知,選B.2 解: 由得,所以.3 解: ,故選B.4 解: 因?yàn)? 所以,于是原不等式為,解得.5 解: 畫出可

7、行域(圖略),為一個(gè)三角形區(qū)域,頂點(diǎn)分別為.表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,當(dāng)時(shí)取最大值6,當(dāng)時(shí)取最小值.故選A.6 解: 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，7 解: 由等差數(shù)列的前項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得，故時(shí)，為整數(shù)。故選D8 解:由已知得: , 化簡(jiǎn)為,軌跡為橢圓的一部分. 故選A.9 解:半徑為1的球面上的四點(diǎn)是正四面體的頂點(diǎn)，設(shè)AB=a，P為BCD的中心，O為球心，則OB=1，OP=，BP=a，由解得，由余弦定理得AOB=arcos()，與兩點(diǎn)間的球面距離為，選C。10 解: 設(shè). 則. 所以,解得.于是.11解：甲、乙二人每人摸出一個(gè)小球都有9種不同的結(jié)果，故基本事件總數(shù)為92=81個(gè). 由不等式a

8、2b+100得2ba+10，于是，當(dāng)b=1、2、3、4、5時(shí)，每種情形a可取1、2、9中每一個(gè)值，使不等式成立，則共有95=45種；當(dāng)b=6時(shí)，a可取3、4、9中每一個(gè)值，有7種；當(dāng)b=7時(shí)，a可取5、6、7、8、9中每一個(gè)值，有5種；當(dāng)b=8時(shí)，a可取7、8、9中每一個(gè)值，有3種；當(dāng)b=9時(shí)，a只能取9，有1種. 于是，所求事件的概率為.12 解: 由題設(shè)知,的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. 又由已知,且, 由在時(shí)單調(diào)遞增知,.故選C.13 解: .14 解: 由題設(shè)得,故只需求.由單調(diào)性知,在時(shí), ,所以.15 解: 易知為奇函數(shù), 所以.16 解: 若，對(duì)于正數(shù)，的定義域?yàn)椋闹涤?，故，不合要?若

9、，對(duì)于正數(shù)，的定義域?yàn)?由于此時(shí)，故函數(shù)的值域.由題意，有，由于，所以.17、解：(1)因?yàn)槭瞧婧瘮?shù), 所以=0, 即又由知(2) 解法一：由(1)知, 易知在上為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式：等價(jià)于.因?yàn)闇p函數(shù),由上式推得:即對(duì)一切有：, 從而判別式解法二：由(1)知又由題設(shè)條件得：即：整理得: .上式對(duì)一切均成立, 從而判別式18、解：(1) 題意，的取值可以為0元，1000元，3000元(2) 設(shè)先答A的獎(jiǎng)金為元,先答B(yǎng)的獎(jiǎng)金為元,則有，,所以.同理, ,.所以.故先答A,能使所獲獎(jiǎng)金期望較大.19、解：(1) 由圖象易知函數(shù)的周期為()=，又, 且, 即, 解得: . 所以,. 也

10、可以按以下解釋: 上述函數(shù)的圖象可由的圖象沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位而得到，其解析式為 (2)，設(shè)，問(wèn)題等價(jià)于方程在（0，1）僅有一根或有兩個(gè)相等的根方法一：m = 3t2 t，t (0, 1). 作出曲線C：y = 3t2 t，t (0, 1)與直線l：y = m的圖象t =時(shí)，y =；t = 0時(shí)，y = 0；t = 1時(shí)，y = 2當(dāng)m =或0m2時(shí)，直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)m的取值范圍是：或方法二：當(dāng)僅有一根在(0, 1)時(shí)，令則得到; 或時(shí)，或時(shí)（舍去）當(dāng)兩個(gè)等根同在（0,1）內(nèi)時(shí)得到，綜上所述，m的取值范圍是：或20、解：(1)證明：在四棱錐中，因底面，平面，故，平面而平面，(2

11、) 證明：由，, 可得是的中點(diǎn)，由(1)知，且，所以平面而平面，底面在底面內(nèi)的射影是，又，綜上得平面(3) 解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)則由(2)知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則因此是二面角的平面角由已知，得設(shè)，可得在中，則在中，所以二面角的大小是解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為過(guò)點(diǎn)作，垂足為，故平面過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，故因此是二面角的平面角由已知，可得，設(shè)，可得，于是，在中，所以二面角的大小是xyO21、解：由題意可知，平面區(qū)域如圖陰影所示設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，則xyO，即由知，xy0，即x2y20所以y2x24(y0)，即曲線的方程為 eq f(y2,4) eq f(x2,4)1(y0)

12、設(shè)，則以線段為直徑的圓的圓心為. 因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切，所以半徑，即因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(2 eq r(2)，0)，當(dāng)AB x軸時(shí)，不合題意所以設(shè)直線AB的方程為yk(x2 eq r(2)代入雙曲線方程 eq f(y2,4) eq f(x2,4)1(y0)得:k2(x2 eq r(2)2x24，即(k21)x24 eq r(2)k2x(8k24)0因?yàn)橹本€與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，所以k1于是x1x2 eq f(4 eq r(2)k2,k21)，x1x2 eq f(8k24,k21)故 |AB| eq r(x1x2)2(y1y2)2) eq r(1k2)(x1x2)24x1x2) eq r(1k2) eq bbc( eq f(4 eq r(2)k2,k21) eq sup10(2)4 eq f(8k24,k21)|x1x2| eq f(4 eq r(2)k2,k21)|，化簡(jiǎn)得：k42k210解得: k2 eq r(2)1 （k2 eq r(2)1不合題意，舍去）由(4 eq r(2)k2)24(k21)(8k24)3k210，又由于y0，所以1k eq f( eq r(3),3)所以, k eq r( eq r(2)1)2