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1、(共6頁(yè)第 頁(yè)）(共6頁(yè)第11頁(yè))關(guān)的特征向量x+ax+a2x=a3,TOC o 1-5 h z112131e/亠#+八八、x+ax+a2x=a3,四、(本題滿分10分)對(duì)線性方程組122232x+ax+a2x=a3,132333x+ax+a2x=a3.142434(1)若a,a,a,a兩兩不等，問(wèn)方程組是否有解，為什么？1234(2)若a=a=b，a=a=-b(b豐0),且已知方程的兩個(gè)解1324g=(1,1,-1)t，g=(-1丄,試給出方程組的通解.解:(1)因?yàn)?aa2a31111aa2a32221aa2a33331aa2a344412=(a-a)(a-a)(a-a)(a-a)(a-a

2、)(a-a)豐0,213132414243故R(Ab)豐R(A)，無(wú)解.五、(本題滿分(2)R(A)=2,n=3，故通解五、(本題滿分-2-1一k0+12-1兀=k(A勺(keR).x3y=Qnza0經(jīng)正交變換8分)設(shè)二次曲面的方程axy+2xz+2byza0經(jīng)正交變換化成g2+耳2-2匚2=1，求a、b的值及正交矩陣Q。解:設(shè)A=0b，由AE=0,A+2E|=0知a=2,b解:設(shè)A=b01111111111AE=111000111000101_當(dāng)X=2時(shí)，A+2E011E00011當(dāng)X=1=(1,1,1)T.3,E1=(MO)t,E2=(故正交陣Q=1故正交陣Q=276六、（本題滿分6分）設(shè)A為n階實(shí)矩陣,a為A的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值久的特征向量，fl為At的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值卩的特征向量，且加體證明a與fl正交.證：依題意得Aa=Xa,Axfl=pfl,將Aa=Aa的兩邊轉(zhuǎn)置得，aTAT=Xor,在上式的兩邊右乘fl得,arArflMarfl,即卩aTfl=ar

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