2021年高考數(shù)學(xué)(文)(全國(guó)卷Ⅲ)

1、 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事：1卷前，生務(wù)必將自的姓名準(zhǔn)考證號(hào)填在答題上 2回答選擇題時(shí)選出每小題案后用鉛筆答題對(duì)應(yīng)題的答案標(biāo)號(hào)黑 如需改，用橡皮擦凈后，選涂其他答標(biāo)號(hào) .答非選擇題，將答寫在 答題卡 .寫在本試卷無效 3試結(jié)束，將本試卷答題卡并交回 一、選題：本題共 12 小題每小題 分，共 60 .在每小給出的個(gè)選項(xiàng)中， 只有一是符合題目求的 已集合 A | 3 15，則 A 中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A. B. 3 【答案】【解析】【分析】采用列舉法列舉出AB中元素的即【詳解】由題意， ， B中元素的個(gè)數(shù)為 故選：【點(diǎn)晴】本題主要考查集合 交運(yùn)算，考查學(xué)生對(duì)交集定義的理解，是一

2、道容易若 i【答案】【解析】【分析】，則 z=（ ） 的 iC. i i先利用除法運(yùn)算求得 z，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念得到即可【詳解】因?yàn)閦 1 ) 1 ) 2，所以 i故選：Dn n 1 21 n n 1 21 【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到共軛復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ).設(shè)組樣本數(shù)據(jù) x 的差為 ，則數(shù)據(jù) 10 x 10 x 10 x 的差為（ ） D. 10【答案】【解析】【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié).【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù) 1,2, i, )的方差是數(shù)據(jù) 1,2, , n i的方差的 a 倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為10 2 0.01=1故選：【點(diǎn)睛】本題考查方差，考查

3、基本分析求解能力，屬基礎(chǔ).Logistic 型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù) It)(t的單位：天) 模： I (t )=1 K t ，其中 為最大確診病例數(shù)當(dāng) I( t *K 時(shí)標(biāo)志著已初遏制疫情，則 t * 約（ ） 60【答案】【解析】【分析】 C. 66 將 t 代入函數(shù)I1 K 結(jié)合I 0.95K求得 t即可得解.【詳解】I 1 K0.23，所以I 1 K 0.230.95 K，則 ，所以，0.23 ，解得 30.2353 66故選：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等已 =1 ， si

4、n 6 （ ）33C.22【答案】【解析】【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的【詳解】由題意可得： sin1 3 cos2 ，則：3 3 1 3 sin ， cos 2 2 2 2 3，從而有： 6 sin ，6 3即 sin 6 3故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等.在面內(nèi)，A，B 是個(gè)定點(diǎn)，C 是點(diǎn)，若AC ，則點(diǎn) C 的跡為（ ） 圓 橢C. 拋線 直【答案】【解析】【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即.【詳解】設(shè) a ，以 中為標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系， 則： ，可得：

5、 AC x , x y，從而： AC ，結(jié)合題意可得：，整理可得：x2 2 2，即點(diǎn) 的軌跡是以 中為圓心， 為徑的圓故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查 學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能設(shè) O 為標(biāo)原點(diǎn)，直線 x=2 與物線 =2交 D，E 兩，若 OE則 的 焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） （14，0） （，0C. （1，0） （，0）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件OD OE，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知COx COx ，從而可以確定出點(diǎn) 的坐標(biāo)，代入方程求得 的，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié).【詳解】因?yàn)橹本€ x 與物線 2 px ( p 0)交于

6、 C , D 點(diǎn)，且 OD ，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定DOx COx ，所以 ，代入拋物線方程4 p ，求得 p ，以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ，故選：【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物 線的對(duì)稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題.點(diǎn)0，到直線y ） C.3 【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點(diǎn)P ( 1,0)，設(shè) ，當(dāng)直線y ( x 與 垂直時(shí)，點(diǎn) A 直線y ( 距離最大，即可求得結(jié)果【詳解】由y ( x 可知直線過定點(diǎn)P ( ，設(shè) ，當(dāng)直線y ( x 與 AP 垂時(shí)，點(diǎn) A 直線y ( x 距離最大，即為 AP

7、 .故選：【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線過定點(diǎn)問題，利用 幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)下為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表積是（ ） 6+42 2C. 3【答案】【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其 表面積【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形3 5 3 3 3 5 3 3 3 3 5 5 3 5 3 3 3 5 3 3 3 3 5 5 根據(jù)立體圖形可得： eq oac(, ) eq oac(, )CDB 根據(jù)勾股定理可得： AB DB 是邊長(zhǎng)為 2 的邊三角形根據(jù)三角形面積公式

8、可得：S ADB1 1 AB (2 2) 2 2 2 該幾何體的表面積是： 3 故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖 畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)10.設(shè) 2， ，c=，則（ ） b【答案】【解析】【分析】分別將 寫為 ab log 2 ， b log 3 C. 0的一條漸近線為 = 的離心率為a2 b【答案】 【解析】【分析】根據(jù)已知可得 2，結(jié)合雙曲線中 b 的關(guān)系，即可求.【詳解】由雙曲線方程 2 2 a2 b可得其焦點(diǎn)在 軸，因?yàn)槠湟粭l漸近線為 x，所以 2c b， e 1 3 . a故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查

9、的是有關(guān)雙曲線性質(zhì)，利用漸近線方程與離心率關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注 意判斷焦點(diǎn)所在位置，屬于基礎(chǔ).15.設(shè)數(shù) f ) 若f ，則 a=_【答案】1【解析】【分析】由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實(shí)數(shù) a 的程，解方程即可確定實(shí)數(shù) a 值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：f ex xex ，則：f ae ，據(jù)此可得：ae e4，整理可得： 2 a ，得： a .故答案為：1 .【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等16.已圓錐 底半徑為 ，母線長(zhǎng)為 3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體_【答案】【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確

10、定其半徑即可確定體積的n n 3 nn n 3 n【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中BC AB AC ，且點(diǎn) M 為 邊的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為 O ，由于 AM 2 ，故 eq oac(,S)12 ，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 r ，則： ABC BOC AOC 1 AB BC AC 2 ，解得： r故答案為：224 2，其體積：V 3 3 3 .【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于

11、正方體，正方體的頂點(diǎn) 均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直.三、解題：共 70 分.解應(yīng)寫出字說明、證過程或算步驟 第 為 必考題每個(gè)試題考都必須答 . 22、 題為考題，生根據(jù)要求答 . （一）考題：共 分.17.設(shè)比數(shù)列 足a ， a 1 2 （1求a 通公式；（2記為數(shù)列l(wèi)og a 前 和若 ，求 根 根 【答案 m .【解析】【分析】（）等比數(shù) 公式；n 根據(jù)題意，列出方程組，求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)（）（1）出log 的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果【詳解設(shè)比數(shù)列n ， q 4 據(jù)題意，有 ，得 ，a q 1所以 ；（） b log

12、 log ， 所以S (0 ( ，根據(jù) m ，可得 ( ( ( m ，整理得 m 0 ，為 m ，所以 m ，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì) 算求解能力，屬于基礎(chǔ)題18.某生興趣小組隨機(jī)調(diào)查某市 天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)?shù)侥彻珗@鍛煉的人次， 整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天鍛煉人次0， ，600空氣質(zhì)量等級(jí)（優(yōu)）（良）（輕度污染）（中度污染）（1分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為 ，23 概率；（2求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代 表（3若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為 ，則稱這天空質(zhì)量好；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為 3

13、或 4，則稱這空氣質(zhì)量不好根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的 2 列表，并根據(jù)列聯(lián)表，判 斷是否有 95%把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次400人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好2K附：PKk) kn(ad )2(a )(c )(a )，【答案該一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別1 、2、的概率分別為 0.43、 、 、0.09） 350），理由見解【解析】【分析】（1根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別1 、 、 、 的率；（2利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除1可得結(jié)果；（3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善 列表，計(jì)算出 K 2的測(cè)值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié).【詳解）頻數(shù)分布表可知，該市一天

14、 空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為2 25 100，等級(jí)為 2 的率為5 6 ，級(jí)為 的率為 ，等級(jí)為 4 的率 100 100為7 100；（2由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為100 500 45100（3 2 聯(lián)表如下：350空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好人次 人次 55 5.820 ，因此，有 95% 的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該當(dāng)天的空氣質(zhì)量有.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考 查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題19.如，在長(zhǎng)方體 D1 1 1中，點(diǎn) ， F 分在棱1，1上，且 2 DE 1， 1證明：（1當(dāng) BC時(shí)，EF AC；（

15、2點(diǎn) 在面 AEF 內(nèi) 1【答案）明見解析）明見解析. 【解析】【分析】（ 1 ）據(jù)正方形性質(zhì)得 BD，根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)得 進(jìn)而可證 AC 平面BB D1 1即得結(jié)果；（2只需證明 /AF即可，在 上取點(diǎn) 使CM 再通過平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行證明即可.【詳解】（1因?yàn)殚L(zhǎng)方體 A B D 所以 平 ,1 1 因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD B , BC 1 1 1所以四邊形 為正方 因?yàn)锽BBD , 、BD 平面BB D1 因此 AC 平面BB 1 因?yàn)?EF 面BB D1 所以 AC EF；（2在 上取點(diǎn) M 使得CM 連 , MF 因?yàn)镈 E DD /CC , DD 1 所以ED , ED /MC 1所以四邊

16、形 DMC E 平行四邊形 DM / 1因?yàn)镸F /, MF =,所以四邊形 MFAD 為平行四邊形 DM / /AF因此 在面 AEF 內(nèi)1【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔3 2 k 3 2 k 20.已函數(shù) f ( x （1討論f x)的單調(diào)性；（2若f x)有三個(gè)零點(diǎn)，求 k 的值范圍【答案）見解析；(2)(0,【解析】【分析】（1f x ) x 2 ，對(duì)分 k 和 k 兩種情況討論即可；（2f x)有三個(gè)零點(diǎn)，由）知 k ， f ( f (k) k) ，解不等式組得到 k 的圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說明即f【詳解）題，當(dāng) k 時(shí)， f (

17、 ) x) 恒成立，所以，f x)在( 上單調(diào)遞增；當(dāng) k 時(shí)，令f ( x) ，得 ，令 f x) 得 3 33，令f ) ，得 3或 k ，所以 f ) 在 ( , )3 3 上單調(diào)遞減，在 ( ) ， , 3 上單調(diào)遞增.（2由（）知，f x)有三個(gè)零點(diǎn)，則 ， f ( f (k) k) 2 k 3即 2 3kk，解得 ，當(dāng) 時(shí)， 3，且 f ( ) ， 2 2所以f x)在 (3, k )上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，同理 3，f ( k 2 ，所以f x)在 ( 3)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又f x)在 ( , )3 上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以f ( )有三個(gè)零點(diǎn)，綜上可知 k 的取值范圍為(0,【點(diǎn)晴】

18、本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考 查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔.21.已橢圓 C :x 1(0 的心率為 m， ， B 分為的左、右頂點(diǎn)（1求的方程；（2若點(diǎn) P 在上，點(diǎn)在直線 上，且 |，BP BQ，求的面積【答案）【解析】【分析】 2 16 25 ） .（1因?yàn)?C x m 5) ，得 m ，b ，根據(jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；（2點(diǎn) 在 上， Q 在線 上且 BQ |， BP ，點(diǎn) P 作 x 軸垂線，交點(diǎn)為 M ，設(shè) 與 軸交點(diǎn)為，可得 eq oac(, )，可求得 P 點(diǎn)標(biāo)，求出直線AQ的直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公

19、式和兩點(diǎn)距離公式，即可求得的面積【詳解） :x m 5) m ， m，2 2 2 2 15根據(jù)離心率 1 ， 解得 或 (舍)，x 的程為： y 2 ，即 16 y 25 ；（2點(diǎn) P 在 上點(diǎn) 在線 x 上且 BP BQ |， ，過點(diǎn) P 作 軸垂線，交點(diǎn)為 M ， 與 軸點(diǎn)為根據(jù)題意畫出圖形，如圖 BP |， BP ， ，又 ， QBN ， BQN，根據(jù)三角形全等條件“”，可得： eq oac(, )BNQ， 2 16 2 25 25， B (5,0)， ，設(shè) P 點(diǎn) x y P P，2 2 2 2 可得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為y P，將其代入 2 16 2 25 25，可得： P 25 25，解得

20、：x 或 P P， 點(diǎn)(3,1)或( 3,1)，當(dāng) P 點(diǎn) 時(shí)故MB ， eq oac(, )BNQ， | MB | ，可得： 點(diǎn) (6, 2) ，畫出圖象，如圖，( 5,0) , 可求得直線 的直線方為：2 ，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得 P 直線AQ的距離為：d 2 22 2512555，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得： AQ 5 ， APQ面積為：1 5 ；2 5 2當(dāng) P 點(diǎn) ( 時(shí)故MB ， eq oac(, )BNQ， |，可得：點(diǎn)為(6,8)，畫出圖象，如圖( 5,0) Q (6,8)，可求得直線AQ的直線方程為：8 x ，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得 P 直線 AQ 的離： ，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得： AQ ， APQ面積為：1 5 2 ，綜上所述， 面積為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心 率定義和數(shù)形結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔.（二）考題：共 10 分.考生在第 、23 題中任選一題作答如果多做，按所 做的第題計(jì)分 選修 4-4：標(biāo)系與