二重積分的計算(1)課件

1、 二重積分的計算 兩類區(qū)域上二重積分的計算 一般區(qū)域上二重積分的計算 交換累次積分的次序二、二重積分的一般變量代換一、利用直角坐標系計算二重積分三、利用極坐標系計算二重積分如果積分區(qū)域為：其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).X型一、利用直角坐標系計算二重積分應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得如果積分區(qū)域為：Y型 X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.解解解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖解原式結(jié)論3：如果積分區(qū)域D關于坐

2、標原點O對稱，則其中結(jié)論4：如果積分區(qū)域D關于直線yx對稱，則在第一象限部分, 則有定積分換元法二、二重積分換元法 滿足一階導數(shù)連續(xù);雅可比行列式則定理:變換:證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標軸的 直線分割區(qū)域 任取其中一個小矩形, 其頂點為通過變換T, 在 xoy 面上得到一個四邊形, 其對應頂點為則同理得當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式: 例如, 直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標時, 例1. 計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成的閉域. 解: 令則例2. 計算由所圍成的閉區(qū)域

3、D 的面積 S .解: 令則三、利用極坐標系計算二重積分極坐標下的面積元素注意：將直角坐標系的二重積分化為極坐標系下的二重積分需要進行“三換”：區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖2. 原點在區(qū)域的邊界上極坐標系下區(qū)域的面積區(qū)域特征如圖3. 原點在區(qū)域的內(nèi)部若 f 1 則可求得D 的面積思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答: 問 的變化范圍是什么?(1)(2)解解解由上題結(jié)論 解解解解例8. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設由對稱性可知二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）Y型X型四、小結(jié)思考題思考題解答則1. 一般換元公式且則2. 極坐標系情形: 若積分區(qū)域為在變換下小結(jié):3. 計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數(shù)關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應用換元公式思考與練習1. 設且求提示:交換積分順