高中數(shù)學(xué)必修4平面向量知識點總結(jié)與典型例題歸納

1、平面對量【基本概念與公式】【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】uuu r 1. 向量：既有大小又有方向的量；記作：AB 或 a；uuu r 2. 向量的模：向量的大小 或長度 ,記作： |AB| 或|a| ；3. 單位向量：長度為 1 的向量；如 e 是單位向量,就 |；| 1；4. 零向量：長度為 0 的向量；記作： 0；【 0 方向是任意的,且與任意向量平行】5. 平行向量 共線向量 ：方向相同或相反的向量；6. 相等向量：長度和方向都相同的向量；7. 相反向量：長度相等,方向相反的向量；uuu uuu AB BA ；8. 三角形法就：uuu uuir uur AB BC AC ;uuu AB

2、unr uuur BC CD unr uuu DE AE uuu uuur uuu ；AB AC CB （指向被減數(shù)）9.平行四邊形法就:r r a b ,r r a b；r r 以 a,b 為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為r r r r 10. 共線定理： a b a / /b ；當(dāng) 0 時,11. 基底：任意不共線的兩個向量稱為一組基底；r r r r a 與 b 同向；當(dāng)0 時, a 與 b 反r 12. 向量的模：如 a x, y ,就|a| r 2 r a 2 rb -/V lb a X.7 2 rla KI a J r b r 13. 數(shù)量積與夾角公式：a b |a| |b|c

3、os 14. 平行與垂直： a/b a y1 r a r b r a r b O 1 XX2 % y2 O 題型 1.基本概念判定正誤：1 共線向量就是在同一條直線上的向量；uuu uuur 4四邊形 ABCD2 如兩個向量不相等,就它們的終點不行能是同一點；3 與已知向量共線的單位向量是唯獨的；是平行四邊形的條件是AB CD ；5 uuu ULUT 如 AB CD ,貝 U A B、C、D 四點構(gòu)成平行四邊形；16 如 a 與 b 共線, b 與 c 共線,就 a 與 c 共線； 7 如 ma mb ,就 a b；8 如 ma na ,就 m n ； 9 如 a 與 b 不共線,就 a 與

4、b 都不是零向量；rrrr rr 10 如 a b |a|b| ,就 a/b ； 11 如 | a b | | a b | ,就 a b；rrrr rr 題型 2.向量的加減運算r 1. 設(shè) a 表示 向東走 8km b 表示“ 向北走6km ” ,就| a b | UULT ,ADUUU UUU UULT LUUT UUU uuuu BC OM ；2. 化簡 AB MB BO UUU UUU UUU 3.已知 |OA| 5 , |OB| 3 ,就|AB | 的最大值和最小值分別為UULT ULUT UULTuuur r uuu r uuu 4.已知 AC 為 AB 與 AD 的和向量,且AC

5、 a, BD b ,就 AB UULT 3 UULT UULT UUU UUU 5.已知點 C 在線段 AB 上,且 AC AB ,就 AC 5 BC , AB BC；題型 3.向量的數(shù)乘運算r 1. 運算： 22a r r 5b 3c r r r 3 2a 3b 2c ；r rr 1 r 2. 已知 a 1, 4,b 3,8 ,就 3a b 2 題型 4.依據(jù)圖形由已知向量求未知向量1.已知在 ABC 中,D 是 BC 的中點,請用向量UUU UULT UULT AB,AC 表示 AD ；2.在平行四邊形UULT r UUIL r uuu UULT b,求 AB 和ADABCD 中,已知 A

6、C a, BD題型 5.向量的坐標(biāo)運算 ULUL 1. 已知 AB 4,5 ,A2,3 ,就點 B 的坐標(biāo)是 _ ；2. 已知 PQ 3, 5 ,P3,7 ,就點 Q 的坐標(biāo)是 _ ；3. 如物體受三個力1,2 , F2 2,3 , F3 1, 4 ,就合力的坐標(biāo)為_ 4. 已知舌3,4 ,b 5,2 ,求 a b ,a b ,3a 2b ；38 如 ma na ,就 m n ； 9 如 a 與 b 不共線,就 a 與 b 都不是零向量；5. 已知 A1,2, B3,2 ,向量 a x 2, x 3y 2 與 AB 相等,求 x, y 的值；4uu uuu uuur uuu6.已知 AB 2,

7、3 , BC m, n , CD 1,4 ,就 DA uur uuu r uuur 7.已知 0 是坐標(biāo)原點 , A2, 1,B 4,8 ,且 AB 3BC 0 , 求 OC 的坐標(biāo)；題型 6.判定兩個向量能否作為一組基底u ur 1.已知 ei, e2 是平面內(nèi)的一組基底,判定以下每組向量是否能構(gòu)成一組基底 : ur in ur uu ur rn uu ur ir ur uu ur uu uu ur A. 0 62和 0 0, B. 3ei 2e 2 和 6e C. e 3e2 和 e2 3ei D. e2 和 e2 ei 4e2.已知 a 3,4 ,能與 a 構(gòu)成基底的是A 3 4 口 4

8、 3 A. , B. , 5 5 5 5 C. 5,自 D. 1, 題型 7.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uuu uuu 1.已知 O 是坐標(biāo)原點,點 A 在其次象限, |OA | 2 ,xOA 150 ,求 OA 的坐mu _ xOA 60,求 OA 的坐標(biāo)；2.已知 O 是原點,點 A 在第一象限, |OA| 4.3 ,題型 8.求數(shù)量積r r r r 1. 已知a13,1 b14 ,且 a 與 b 的夾角為3r 1 r r r r r r a b b , 4 2a b a 3b ；2 60,求 1 a b, 2 a a b ,r r r r 2. 已知 a 2, 6,b 8,10 ,求 1 |

9、a,|b|, 2 a b, 3 a 2a b ,4r 2a b a 3b ；r 題型 9.求向量的夾角r r r 51.已知a I 8,|b I 3 ,a b 12 ,求 a 與 b 的夾角；2.已知 a （、 . 3,1）,b （ 2、 3,2）,求 a 與 b 的夾角；3.已知 A1,0 , B0,1 , C2,5 ,求 cos BAC ；題型 10. 求向量的模r r 4,且 a 與 b 的夾角為r 60,求 1 |a b | , 2 |2a 3b r |；1. 已知 |a | 3,| b | r 2. 已知 a 2, 6,b r 1 r rr rr r 8,10 ,求 1 |a|,|b

10、| , 5 |a b | , 6 |a b |；2 3. r r已知 |a r r2 , |3a r r3,求 |3a b |；| 1,| b | 2b | 題型 11. 求單位向量【與 a 平行的單位向量： e 早】r |a| r r 1 ；（ 2） k 為何值時1.與 a （12,5 ）平行的單位向量是2. 與 m （ 1-）平行的單位向量是 2 題型 12. 向量的平行與垂直1. 已知 a （1,2）,b （ 3,2）,（ 1） k 為何值時,向量ka b 與 a 3t）垂直？r r 向量 ka b 與 a 3b 平行？2. 已知 a 是非零向量, ab a c ,且 b c,求證： a

11、 （5 C）；題型 13.三點共線問題61.已知 A0, 2 , B2,2 , C3,4 ,求證 : A,B,C 三點共線；uuu 2 r r uuu r r uuur 2.設(shè) AB a 5b, BC 2a 8b,CD 3a b 2 r r ,求證： A B、D 三點共線；uu 3. 已知 AB r r uur r r uuu a 2b, BC 5a 6b,CD r r 7a 2b,就肯定共線的三點是_ 4. 已知 A1, 3 , B8, 1 ,如點 C2a 1,a 2在直線 AB 上,求 a 的值；5.已知四個點的坐標(biāo)uuu uuu UULT 00,0 , A3,4 ,B 1,2 ,C1,1

12、 ,是否存在常數(shù) t,使 OA tOB OC 成立？題型 14. 判定多邊形的外形uuu r uuu r uuur uuu 1. 如 AB 3e ,CD 5e ,且 |AD|BC| ,就四邊形的外形是 _2. 已知 A1,0 ,B4,3 ,C2,4 ,D0,2 ,證明四邊形 ABCD是梯形；3.已知 A 2,1 ,B6, 3 ,C0,5 ,求證：ABC 是直角三角形；4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),uuu uuu uur ,求證：ABC 是等腰直角三角形；OA 1,8,OB 4,1,OC 1,3題型 15. 平面對量的綜合應(yīng)用r 1.已知 a 1,0 ,b 2,1 ,當(dāng) k 為何值時,向量ka b 與 a 3b 平行 .r r r r r 72.已知舌 、3、, 5,且 a b , |b| 2 ,求 b 的坐標(biāo)；3. 已知 a 與 b 同向, b 1,2 ,就 a b 10 , 求 a 的坐標(biāo)；r 4. 已知 a 1,2 , b 3,1 , c 5,4 ,就 c _ a _ b ；r r r 5. 已知 a m,3 , b 2, 1 , 1 如 a 與 b 的夾角為鈍角,求m 的范疇； 2 如 a 與 b 的夾角為銳角,求m 的范疇；r r r 6. 已知 a 6,2 ,