材料力學(xué)第7章-彎曲剛度-370005992

1、材料力學(xué)(6)2022年9月19日返回總目錄清華大學(xué)出版社第7章 梁的變形分析與剛度問題 基礎(chǔ)篇之七材料力學(xué)下一章上一章 返回總目錄 梁的變形與梁的位移 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 簡單的靜不定梁 結(jié)論與討論 梁的剛度問題 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 梁的變形與梁的位移 第7章 梁的位移分析與剛度問題 返回返回總目錄 梁的曲率與位移 撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系 梁的位移分析的工程意義 梁的變形與梁的位移 第7章 梁的位移分析與剛度問題 梁的變形與梁的位移 第7章 梁的位移分析與剛度問題 xCx在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的

2、軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線（deflection curve）。 梁的曲率與位移 MeMewC彎曲后軸線的曲率中心MeMeC 梁的變形與梁的位移 第7章 梁的位移分析與剛度問題 MeMewC彎曲后軸線的曲率中心Cxxw(x)wMeMe彎曲后軸線的曲率中心根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系： 梁的變形與梁的位移 第7章 梁的位移分析與剛度問題 梁的曲率與位移 xxw(x)wMeMe彎曲后軸線的曲率中心 梁的變形與梁的位移 第7章 梁的位移分析與剛度問題 MeMewCC梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，

3、這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分： 橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示； 變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope），用表示； 梁截面的三種位移 橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontal displacement），用u表示。在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系： 在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有w w（x），稱為撓度方程（deflection equation）。 梁的變形與梁的位移 第7章 梁的位移分析與剛度問題 撓度與轉(zhuǎn)

4、角的相互關(guān)系 xxw(x)wMeMe 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 返回返回總目錄 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 小撓度微分方程 小撓度微分方程的積分與積分常數(shù)的確定 力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 小撓度微分方程 xxw(x)wMeMe彎曲后軸線的曲率中心小撓度情形下對于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負號與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 小撓度微分方程 xxw(x)wMeMe彎曲后軸線的曲率中心 梁的小撓度微分方程及其積

5、分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 小撓度微分方程 采用向下的w坐標(biāo)系，有 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 小撓度微分方程 對于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程： 其中C、D為積分常數(shù)。 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 小撓度微分方程 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制： 在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：w=0; 小撓度微分方程的

6、積分與 積分常數(shù)的確定 BAFPCEIxww=0w=0 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 ABql積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制： 小撓度微分方程的積分與 積分常數(shù)的確定 在固定端處，約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，0。w=0=0 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制： 小撓度微分方程的積分與 積分常數(shù)的確定 BAFPCEIxw 連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中

7、力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對應(yīng)相等：w1= w2，12等等。 w1=w21= 2例 題求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。 已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q ，梁的彎曲剛度為EI 、長度為l。q、EI 、l均已知。 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 ABql解：1建立Oxw坐標(biāo)系建立Oxw坐標(biāo)系（如圖所示）。因為梁上作用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。 2建立梁的彎矩方程 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 ABqlOxw從坐標(biāo)為x的任意截面處截開

8、，因為固定端有兩個約束力，考慮截面左側(cè)平衡時，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程： 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 解：2建立梁的彎矩方程ABqlOxwM（x）FQlxx3建立微分方程并積分 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 解：2建立梁的彎矩方程將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得 ABqlOxw3建立微分方程并積分 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 積分后，得到 ABqlOxw解： 4利用約束條件確定積分常數(shù) 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 固定端處的約束條

9、件為： ABqlOxw 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 解： 5確定撓度與轉(zhuǎn)角方程解： 6確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 將 x = l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到： xOqwABlwmax例 題求：加力點B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。已知：簡支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFPCEI 解：1 確定梁約束力因為B處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示

10、。 2 分段建立梁的彎矩方程在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFPCEIAB段 解： 2 分段建立梁的彎矩方程BC段 于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFPCEIxOw解： 3將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積分 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFPCEIxOw解： 3將彎矩表達式

11、代入小撓度微分方程并分別積分 積分后，得 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFPCEIxOwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ，1=2一種更簡潔的方案 積分后，得 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFPCEIxOwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ，1=2解： 4利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x0， w10; xl， w20 因為，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4，1

12、=2 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFPxOwCwBCAEI解： 4利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) x0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2D1D2 =0 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 解： 5確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角 將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為： AB段 BC段 據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFPxOwCwBCAEI 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章

13、梁的位移分析與剛度問題 M0ACBll1、有幾個約束力？怎樣確定這些約束力？ 3、怎樣利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)？ 2、應(yīng)用小撓度微分方程確定梁的撓度方程，需要分成幾段積分？ 確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程 微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度 與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié) 分段寫出彎矩方程 梁的小撓度微分方程及其積分 第7章 梁的位移分析與剛度問題 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 返回返回總目錄疊加法的基本思想復(fù)雜問題若干個簡單問題的疊加先決條件：線性問題。在線彈性、小變形條件下，梁的彎曲

14、變形問題，是線性問題。 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 xxw(x)wMeMe彎曲后軸線的曲率中心 疊加法應(yīng)用于多個載荷作用的情形 疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 疊加法應(yīng)用于確定斜彎曲時的位移 疊加法的另一種形式逐段剛化法已知：簡支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC ；B截面的轉(zhuǎn)角B。例 題 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 BAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2解：1.將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位

15、移分析與剛度問題 BAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2wxOBEIlqAwC1CB1wxOFPBACEIl/2l/2B2wC2wxOBACEIl/2l/2M=ql2B3wC3解：2.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 wxOBEIlqAwC1CB1wxOFPBACEIl/2l/2B2wC2wxOBACEIl/2l/2M=ql2B3wC3解：3. 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊加 將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角: 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問

16、題 BAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2 對于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布載荷，然后在原來沒有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應(yīng)用疊加法。 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形 已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C。例 題 4 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 wCCxOwABEIl/2l/2q解：1. 首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形 為了利用撓度表中關(guān)于梁全長承受

17、均布載荷的計算結(jié)果，計算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 CxOwABEIl/2l/2qqq分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為 解：2再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 CxOwABEIl/2l/2qqqxwAClEIqOwC1xOwABCEIl/2l/

18、2wB2wC2兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為 解：2再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 xwAClEIqOwC1xOwABCEIl/2l/2wB2wC2解：3將簡單載荷作用的結(jié)果疊加 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 xwAClEIqOwC1xOwABCEIl/2l/2wB2wC2CxOwABEIl/2l/2q 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 疊加法的另一種形式 逐段剛化法 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 ql/2ql/

19、2l/2ACBl/2l/2ACBwC1C1q2l/4 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 ql/2l/2ACBql/2q2l/8l/2l/2ACBwC2C2wC1C1逐段剛化法應(yīng)用于彈性支承與簡單剛架用疊加法求AB梁上E處的撓度 wE 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 wE 1wE 2BwB=?wE = wE 1+ wE 2= wE 1+ wB/ 2 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 wB= wB1+ wB2+ wB3 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 疊加法確定斜彎曲時的位移 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)

20、角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 xyzOyzOFPFPFPyFPzFPyFPzwwwywywzwz 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 =? 疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角 第7章 梁的位移分析與剛度問題 xyzOyzOFPFPFPyFPzFPyFPzwwwywywzwz第7章 梁的位移分析與剛度問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用 定義，圖形，微分和積分 彎矩方程的奇異函數(shù)表示 梁的撓度方程的奇異函數(shù)形式問題的提出:M(x)必須分段寫，故必須分段積分。非得這么做嗎？第7章 梁的位移分析與剛度問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用 奇異函數(shù)定義（Singular Function）第7章 梁的位移分析與剛度

21、問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用奇異函數(shù)圖形第7章 梁的位移分析與剛度問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用奇異函數(shù)的微分和積分第7章 梁的位移分析與剛度問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用彎矩方程的奇異函數(shù)表示M1M2集中力偶作用的情形M1M2第7章 梁的位移分析與剛度問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用彎矩方程的奇異函數(shù)表示集中力作用的情形jM1M2第7章 梁的位移分析與剛度問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用彎矩方程的奇異函數(shù)表示均布力作用的情形M1M2第7章 梁的位移分析與剛度問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用彎矩方程的奇異函數(shù)表示一般情形第7章 梁的位移分析與剛度問題 奇異函數(shù)的應(yīng)用例題用奇異函數(shù)確定加力點的撓度和支承處的轉(zhuǎn)角已知：FP、EI、l第7章 梁的位移分析與剛度問

22、題 奇異函數(shù)的應(yīng)用問題:為什么沒有涉及集中載荷作用點的連續(xù)性條件? 梁的剛度問題 第7章 梁的位移分析與剛度問題 返回返回總目錄 剛度計算的工程意義 梁的剛度條件 梁的剛度問題 第7章 梁的位移分析與剛度問題 對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機床主軸的撓度過大會影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會增加軸承的磨損等等。 梁的剛度問題 第7章 梁的位移分析與剛度問題 剛度計算的工程意義 AClBdaFP 對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最

23、大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件： 上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。 梁的剛度問題 第7章 梁的位移分析與剛度問題 梁的剛度條件 已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5。 試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。 梁的剛度問題 第7章 梁的位移分析與剛度問題 例 題 5 AClBdaFP解：根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。 梁的

24、剛度問題 第7章 梁的位移分析與剛度問題 1查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為 AClBdaFP1查表確定B處的轉(zhuǎn)角 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為 2根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑 梁的剛度問題 第7章 梁的位移分析與剛度問題 根據(jù)設(shè)計要求，有 AClBdaFP2根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑 根據(jù)設(shè)計要求，有 其中，的單位為rad（弧度），而的單位為（）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑 梁的剛度問題 第7章 梁的位移分析與剛度問題 AClBdaFP 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 返回返回總目錄 多余約束與

25、靜不定次數(shù) 求解靜不定梁的基本方法 求解靜不定梁示例 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 靜不定次數(shù)未知力個數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)未知力（內(nèi)力或外力）個數(shù) 等于獨立的平衡方程數(shù)靜不定問題與靜不定結(jié)構(gòu)未知力個數(shù)多于獨立 的平衡方程數(shù)多余約束保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 多余約束與靜不定次數(shù) 靜定與靜不定問題的辯證關(guān)系由于多余約束的存在，使問題由靜力學(xué)可解變?yōu)殪o力學(xué)不可解，這只是問題的一個方面。問題的另一方面是，由于多余約束對結(jié)構(gòu)位移或變形有著確定的限制，而位移或變形又是與力相聯(lián)系的，因而多余約束又為求解靜不定問題提供了條件。

26、 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 求解靜不定梁的基本方法 求解靜不定問題的基本方法根據(jù)以上分析，求解靜不定問題除了平衡方程外，還需要根據(jù)多余約束對位移或變形的限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關(guān)系，即建立幾何方程，稱為變形協(xié)調(diào)方程（compatibility equation）,并建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系，即物理方程或稱本構(gòu)方程（constitutive equations）。將這二者聯(lián)立才能找到求解靜不定問題所需的補充方程?？梢?，求解靜不定問題，需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡、變形協(xié)調(diào)與物理等三方面，這就是求解靜不定問題的基本方法。這與第8章中將要分析正應(yīng)力的方法是相似的。

27、 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 lMA ABFAyFAxql ABMAFAyFAxFB 求解靜不定梁示例 3-3=04-3=1 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFBy 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會產(chǎn)生水平約束力，即FAx FBx= 0。因此，求

28、解這種靜不定問題只需1個補充方程。可以寫出變形協(xié)調(diào)方程為FBxBl AMAFAyFAxFBy 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量Bl AMAFAyFBy 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 應(yīng)用對稱性分析可以推知某些未知量FAx= FBx= 0,FAy= FBy= q l / 2 ,MA=MB對于兩端固定的梁，同樣有FBx=0，但這時的多余約束力除FBy外，又增加了MB，于是需要兩個補充方程。但是，利用對稱性分析，這種梁不僅結(jié)構(gòu)和約束都對稱，而且外加載荷也是對稱的，即梁的中間截面為對稱面。于是可以確定： MBBl AMAFAyFAxFB

29、xFBy 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 FAx= FBx= 0,FAy= FBy= q l / 2 ,MA=MBMBBl AMAql/2ql/2應(yīng)用對稱性分析可以推知某些未知量 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 與未知力偶MB對應(yīng)的約束是對截面B轉(zhuǎn)角的限制，故這種情形下的變形協(xié)調(diào)方程為 MBBl AMAql/2ql/2 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 例 題 5求: 梁的約束力。已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI， 長度為l。B Al 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 解：1. 列出平衡方程2. 列出變形協(xié)調(diào)方程 FAy+F

30、By - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0Bl AMAFAyFAxFB 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 3. 列出物性關(guān)系2. 列出變形協(xié)調(diào)方程 wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIwB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFB 簡單的靜不定梁 第7章 梁的位移分析與剛度問題 解：4. 綜合求解FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0 將平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程和物性關(guān)系

31、聯(lián)立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIFBy =3ql /8 ,FAx=0 ,MA= ql 2/8FAy =5ql /8 ,Bl AMAFAyFAxFB 討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 返回返回總目錄二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？ 正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系。 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系 BC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會有位移？FPABC 位移是變形累加的結(jié)果。 有位移不一定有變形。 結(jié)論與討論第7章

32、 梁的位移分析與剛度問題 有變形不一定有位移。 由M 的方向確定軸線的凹凸性。 由約束性質(zhì)及連續(xù)光滑性確定撓度曲 線的大致形狀及位置。 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 Bl A靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立1. 解除一端的固定端約束，使結(jié)構(gòu)變成靜定的懸臂梁MBFByMAFAyBl AMAFAyMBFBy 關(guān)于求解靜不定問題的討論 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 Bl Al AB靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立2. 解除兩端的固定端約束，使結(jié)構(gòu)變成靜定的簡支梁MBFByMAFAyMBMAFByFAy 結(jié)論與討論第7章 梁的位移分析與剛度問題 利用對稱性 FQc=0再利用對稱性 c=0橫截面C 處兩側(cè)梁的相互約束稱為內(nèi)約束FQC FQC MCMCl/2 AqCBl/2qCBl Aq靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調(diào)條件的建立3. 將梁從對稱面處截開，使梁變成兩