相似三角形難題精選

1、 /28相似三角形難題精選模塊一：相似三角形中的動點問題如圖，在RtABC中，NACB=90,AC=3,BC=4,過點B作射線BB1AC.動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動.過點D作DHXAB于H,過點E作EF1AC交射線BB1于F,G是EF中點，連接DG.設(shè)點D運動的時間為t秒.當(dāng)t為何值時，AD=AB,并求出此時DE的長度;(2)當(dāng)4DEG與4ACB相似時，求t的值.如圖，在4ABC中，ABC=90,AB=6m,BC=8m,動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動.同時，動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，

2、沿CB向點B移動.當(dāng)其中有一點到達終點時，它們都停止移動.設(shè)移動的時間為t秒.(1)當(dāng)t=2.5s時，求4CPQ的面積；求4CPQ的面積S(平方米)關(guān)于時間t(秒)的函數(shù)解析式；(2)在P,Q移動的過程中，當(dāng)4CPQ為等腰三角形時，*求出t的值.H卜P如圖1,在RtABC中，ACB=90,AC=6,BC=8,點D在邊AB上運動，DE平分CDB交邊BC于點E,EMBD,垂足為M,ENCD,垂足為N.(1)當(dāng)AD=CD時，求證：DEAC；(2)探究：AD為何值時，4BME與ACNE相似？圖1怪PC甯用圖1如圖所示，在AABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4

3、cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，當(dāng)P點到達B點時，Q點隨之停止運動.設(shè)運動的時間為x.(1)當(dāng)x為何值時，PQBC?(2)APQ與4CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0t6)。(1)當(dāng)t為何值時，4QAP為等腰直角三角形？(2)當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與4ABC相似？模塊二：構(gòu)造輔助線一雙垂直模型在平面直角坐標(biāo)

4、系xOy中，點A的坐標(biāo)為(2,1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45，求這個正比例函數(shù)的表達式在ABC中，AB=2k-1I,AC=4,BC=2,以AB為邊在C點的異側(cè)作ABD,使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長.在4ABC中，AC=BC,NACB=90,點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點.求證：MC：NC=AP：PB.C如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標(biāo)為（1,3）,將矩形沿對角線AC翻折B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E.那么D點的坐標(biāo)為（）已知，如圖，直線y=-2x+2

5、與坐標(biāo)軸交于A、B兩點.以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1：2。求C、D兩點的坐標(biāo)。模塊三：構(gòu)造輔助線A型與X型如圖：AABC中，D是AB上一點，AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F。求證:BEBC2四邊形ABCD中,AC為AB、AD的比例中項，且AC平分/DAB.求證:QECD2并給出證明在梯形ABCD中，ABCD,AB=b,CD=a,E為AD邊上的任意一點，EFAB,已知：如圖，在4ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上兩點，且BE=EF=FC.求BN：NQ：QM證明：（1）重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的（注：重心是三角形三條中

6、線的交點）（2）角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例.模塊四：相似中的定值問題如圖，在等邊4ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F.1131=求證匕BF1已知：如圖，梯形ABCD中，八8/小。對角線AC、BD交于。，過O作EF/AB分111如圖，在4ABC中，已知CD為邊AB上的高，111ABC上求證:ab+cDEF正方形EFGH的四個頂點分別在AFDGfi別交AD、BC于E、F。求證：ABCDE111_1ACBCa模塊五：相似中的共線線段成比例問題如圖1,點P在平行四邊形ABCD的

7、對角線BD上，一直線過點P分別交BA,BC的延長線于點Q，S，交AD，CD于R，T.求證：PQ-PR=PS-PT.(2)如圖2,圖3,當(dāng)點P在平行四邊形ABCD的對角線BD或DB的延長線上時，PQPR=PSPT是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由(要求僅以圖2為例進行證明或說明)；已知：如圖，AABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點，過C作CFAB,延長BP交AC于E,交CF于F.求證：BP2=PE-PF.如圖，已知AABC中，AD,BF分別為BC,AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC延長線于H。求證：DE2=EGEH.已知如圖，P為平行四邊

8、形ABCD的對角線AC上一點，過P的直線與AD、BC、PEPHCD的延長線、AB的延長線分別相交于點E、F、G、H,求證：Pf一些已知，如圖，銳角ABC中，ADXBC于D,H為垂心（三角形三條高線的交點）;在AD上有一點P,且NBPC為直角.求證：PD2=ADDH已知如圖，CD是Rt已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點，ED的延長線交CA模塊六：相似中的積式問題綜合于F。求證：ACCF=BCDF.如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點M在CD上，DHBM且與AC的延長線交于點E.求證：(I)AAEDsAcbm；(2)AECM=ACCDE如圖，4ABC是直角三角形，N

9、ACB=90,CDAB于DE是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.(1)求證：FD2=FBFC(2)若G是BC的中點，連接GD,GD與EF垂直嗎？并說明理由J如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M,CG與AD相交于點N.求證：ANDN=CNMN如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過D作DG1BC于G,分別交CE及BA的延長線于F、H。求證：（1）DG2=BGCG；（2）BGCG=GFGH模塊七：相似基本模型運用ABC和4DEF是兩個等腰直角三角形，NA=ND=90,4DEF的頂點E位于邊BC的中點上.（1）如圖1,設(shè)DE與AB交于點M,

10、EF與AC交于點N,求證：BEMscnE；（2）如圖2,將4DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M,EF與AC交于點N,于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q.（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR.如圖，在ABC中，AD1BC于D,DEAB于E,DF1AC于F。求證：&FAB模塊八：相似里的垂直模型AB2BE在ABC中，NA=900,AD，BC,DE，AB.求證：弁AC2AEA已知:RtABC中，ZACB=900

11、,CDAB于D,DEAC于E,DFBC于F.求證:CD3=AB-AEBFC正方形ABCD中,AE=4AD,AO=BO,OFCE于F.求證:OF2=CFEF已知：ABC中,AB=AC,D是BC的中點,DE,AC于E,H是DE中點，連結(jié)AH,BE.求證:AH，BEABC中,AB=AC,BD，AC于D.求證:BC2=2CDACABC中,ZACB=900,CDAB于D,E是BC的中點,DE和AC的延長線交于F.求證:1)FD2=FCFA;ACFA2)2)BCFDF已知,RtABC中，NABC=900,D是BC上一點,BE,AC于E,BFAD于F.求證:AEFsadc已知:RtABC中,NACB=900

12、,AD平分/CAB交BC于D,CEAB于E,DFAB于F點.求證:AF2=AB-AE已知：ABC中,AB=AC,D是BC的中點,DE,AC于E,H是DE中點，連結(jié)AH,BE.求證:AH，BE模塊九：相似綜合（一）在4ABC中,D,E分別是AB,BC邊上的點，連結(jié)DE并延長交AC的延長線于F若BD:DE=AB:AC.求證:EFC是等腰三角形一直線分別交ABC的BC延長線于D,交AC,AB于E,F,且NAEF=NAFE.求證:BD:CD=BF:CE（需要寫出多種解法）梅涅勞斯定理：直線分別交ABC的BC延長線于D,交AC、AB于E、AB于E、F,求證:DCEAFB已知:E是梯形ABCD對角線的交點

13、,AD/BC,BFCD交CA的延長線于F.求證:EFAD=ECBCAEFC設(shè)G為4ABC的重心，過G作直線與AB、BC分別交于點E和F求證:二+FC=1EBBFA已知ABC中，AB=AC=5,BC=8,點D在BC邊上移動，連接AD,將ADC沿直線AD翻折，點C的對應(yīng)點為C1.(1)當(dāng)AC1LBC時，CD的長是多少？(2)設(shè)CD=x,4AC1D與4ABC重疊部分的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，(3)在點D移動的過程中，是否存在BD為直角三角形的情形？若存在，直接寫出CD的長；若不存在，請說明理由.ABC中，AB=AC=6,FC:EC=1：3,點D在AB邊上(點D與點A、B不重合)，過點D作D

14、EAC,交BC邊于點E,過點E作EFAC,垂足為F,連接DF.(1)設(shè)AD=x,CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，(2)若4DEF和4CEF相似，求AD長(3)是否存在點D,使4ADF為等腰三角形？若存在，直接寫出AD的長；若不存在,請說明理由如圖，等邊4ABC中，D、F分別是邊BC、AB上的點，且CD=BF,以AD為邊向BD左作等邊ADE,連接CF、EF,設(shè)兇I=k(1)求證；四邊形CDEF是平行四邊形；(2)當(dāng)NDEF=30時，求k的值；是否存在實數(shù)k,是否存在實數(shù)k,使SCDEF=|SABC?若存在，求出k的值；若不存在，(3)請說明理由已知ABC中，NC=90,AC=BC=2,點P在射

15、線AC上，點Q在CB的延長線上，且AP=BQ,連接PQ交直線AB于D,過P作PEAB于E.(1)求證：DP=DQ；(2)設(shè)AP=x,BD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，4ABC和4DEF都是等邊三角形，頂點B、D與原點O重合，邊BC在x軸的正半軸上，邊AB與DE在一條直線上.已知AB=6,(1)將DEF繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90(如圖2)，連接CE、CF.試判斷四邊形DECF的形狀，并說明理由；(2)將4DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，連接AF.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)4ABF是直角三角形時，求點F的坐標(biāo)；(3)將DEF沿直線AB上下平移，連接AF、BF.在平移過程中，AABF能否成為等腰三角