158 量子力學(xué)簡介

1、 由于微觀粒子具有波粒二象性，其位置與動量不能同時確定. 所以已無法用經(jīng)典物理方法去描述其運動狀態(tài). 用波函數(shù)來描述微觀粒子的運動. 一 波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋1 波函數(shù)1波函數(shù)（ ）：量子力學(xué)中用以描述粒子運動狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達式。自由粒子：不受外力場的作用，其動量和能量都不變的粒子。 自由粒子的波函數(shù)：2波函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：式中的 E 和 p 分別為自由粒子的能量和動量。2. 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋物質(zhì)波是“概率波”，在空間各處出現(xiàn)的概率呢？它是怎樣描述粒子3I大，光子出現(xiàn)概率大；I小，光子出現(xiàn)概率小。波動性：某處明亮，則某處光強大， 即 I 大。粒子性：某處明亮，則某處光子多， 即 N大。光子數(shù) N

2、I E02 光子在某處出現(xiàn)的概率和該處光波振幅的先回憶一下光的波粒二象性：平方成正比。4概率密度：單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率。粒子在空間體元中出現(xiàn)的概率：空間概率分布的“概率振幅”。玻恩假設(shè)：其模的平方：物質(zhì)波的波函數(shù) 是描述粒子在5 某一時刻出現(xiàn)在某點附近在體積元 中的粒子的概率為 可見，德布羅意波(或物質(zhì)波)與機械波、電磁波不同，是一種概率波.6標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)必須是單值、連續(xù)、有限的函數(shù). 歸一化條件(束縛態(tài)) 某一時刻整個空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為7 薛定諤（Erwin Schrodinger，18871961）奧地利物理學(xué)家. 1926年建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動力學(xué)，并建立了量子力學(xué)的

3、近似方法 . 1933年與狄拉克獲諾貝爾物理學(xué)獎.8二 薛定諤方程1 自由粒子薛定諤方程的建立自由粒子平面波函數(shù)取 x 的二階偏導(dǎo)數(shù)和 t 的一階偏導(dǎo)數(shù)9取 x 的二階偏導(dǎo)數(shù)和 t 的一階偏導(dǎo)數(shù)得自由粒子一維運動自由粒子的含時薛定諤方程10一維運動粒子的含時薛定諤方程 2 粒子在勢能為 的勢場中運動3 粒子在恒定勢場中的運動與時間無關(guān)11 在勢場中一維運動粒子的定態(tài)薛定諤方程12 三維勢場中運動粒子的定態(tài)薛定諤方程拉普拉斯算子定態(tài)波函數(shù)13例如，氫原子的定態(tài)薛定諤方程(1) 能量 E 不隨時間變化.(2) 概率密度 不隨時間變化.定態(tài)波函數(shù)性質(zhì)14(2) 和 連續(xù)(3) 為有限的、單值函數(shù) 波

4、函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：單值、有限和連續(xù)(1) 可歸一化15三 一維勢阱問題粒子勢能 滿足邊界條件 (1)是固體物理金屬中自由電子的簡化模型； (2)數(shù)學(xué)運算簡單，量子力學(xué)的基本概念、原理在其中以簡潔的形式表示出來 .1617波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：單值、有限和連續(xù) .18量子數(shù)19 歸一化條件20得 波動方程21 概率密度 能量 波函數(shù)221 粒子能量量子化討論：基 態(tài) 能 量 能 量 激發(fā)態(tài)能量 一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的 .232 粒子在勢阱中各處出現(xiàn)的概率密度不同概率密度波 函 數(shù) 例如，當(dāng) n =1時， 粒子在 x = a /2處出現(xiàn)的概率最大24 3 波函數(shù)為駐波形式，阱壁處為波節(jié)，

5、波腹的個數(shù)與量子數(shù) n 相等16E19E14E1E125四 一維方勢壘 隧道效應(yīng) 一維方勢壘粒子的能量26 當(dāng)粒子能量 E Ep0 時，從經(jīng)典理論來看, 粒子不可能穿過進入 的區(qū)域 .但用量子力學(xué)分析，粒子有一定概率穿透勢壘，事實表明，量子力學(xué)是正確的.隧道效應(yīng) 從左方射入的粒子，在各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)27中似乎有一個隧道， 能使少量粒子穿過而進入 的區(qū)域，此現(xiàn)象人們形象地稱為隧道效應(yīng). 粒子的能量雖不足以超越勢壘，但在勢壘 隧道效應(yīng)的本質(zhì) : 來源于微觀粒子的波粒二象性.28量子圍欄照片 1981年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應(yīng)制成 了掃描遂穿 顯 微 鏡 ( STM ) ，可觀測固體表面原子排列的狀況 . 應(yīng)用 1986年賓尼希又研制了原子力顯微鏡.29本章目錄選擇進入下一節(jié)：15-4 氫原