數(shù)學建模自動控制自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型公開課一等獎優(yōu)質課大賽微課獲獎課件

1、第二章 控制系統(tǒng)數(shù)學模型本章主要內容: 2.I 2.2 2.3 2.42.5物理系統(tǒng)數(shù)學模型非線性數(shù)學模型線性化拉氏變換及其反變換經典步驟及其傳遞函數(shù)系統(tǒng)方框圖和信號流圖第1頁Part 2.1 物理系統(tǒng)數(shù)學模型2.1.12.1.22.1.3 機械系統(tǒng) 電氣系統(tǒng) 相同系統(tǒng)數(shù)學模型定義建立數(shù)學模型基礎提取數(shù)學模型步驟Example第2頁Part 2.1.1 數(shù)學模型定義系統(tǒng)示意圖系統(tǒng)框圖Remember恒溫箱自動控制系統(tǒng)?第3頁Part 2.1.1 數(shù)學模型定義系統(tǒng)框圖 t u2 u ua n v u t由若干個元件相互配合起來就組成一個完整控制系統(tǒng)。系統(tǒng)是否能正常地工作，取決各個物理量之間相互作

2、用與相互制約關系。物理量變換， 物理量之間相互關系信號傳遞表達為能量傳遞（放大、轉化、儲存）由動態(tài)到最終平衡狀態(tài)-穩(wěn)定運動第4頁Part 2.1.1 數(shù)學模型定義數(shù)學模型： 描述系統(tǒng)變量間相互關系動態(tài)性能運動方程解析法 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵照物理或化學規(guī)律列寫出對應數(shù)學關系式，建立模型。試驗法 人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，統(tǒng)計其輸出響應，并用適當數(shù)學模型進行迫近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。建立數(shù)學模型方法：第5頁數(shù)學模型形式時間域：微分方程差分方程狀態(tài)方程復數(shù)域：傳遞函數(shù)結構圖頻率域：頻率特征第6頁數(shù)學模型準確性和簡化Part 2.1.2 建立數(shù)學模型基礎機械運動： 牛頓定理、能量守恒

3、定理電學： 歐姆定理、基爾霍夫定律熱學： 傳熱定理、熱平衡定律 微分方程 （連續(xù)系統(tǒng)）差分方程 （離散系統(tǒng)）線性與非線性分布性與集中性參數(shù)時變性第7頁機械運動系統(tǒng)三要素機械運動實質： 牛頓定理、能量守恒定理阻尼 B質量 M彈簧 K第8頁Part 2.1.3 提取數(shù)學模型步驟劃分步驟寫出每或一步驟(元件) 運動方程式消去中間變量寫成標準形式第9頁負載效應依據(jù)元件工作原理和在系統(tǒng)中作用，確定元件輸入量和輸出量(必要時還要考慮擾動量)，并依據(jù)需要引進一些中間變量。由運動方程式 （一個或幾個元件獨立運動方程）劃分步驟 按功效（測量、放大、執(zhí)行）第10頁寫出每或一步驟(元件) 運動方程式找出聯(lián)絡輸出量與

4、輸入量內部關系，并確定反應這種內在聯(lián)絡物理規(guī)律。數(shù)學上簡化處理，（如非線性函數(shù)線性化，考慮忽略一些次要原因）。第11頁寫成標準形式比如微分方程中， 將與輸入量相關各項寫在方程右邊；與輸出量相關各項寫在方程左邊。方程兩邊各導數(shù)項均按降冪排列。 第12頁Part 2.2 非線性數(shù)學模型線性化2.2.12.2.22.2.3常見非線性模型線性化問題提出線性化方法Example液面系統(tǒng)單擺Example液面系統(tǒng)單擺單變量多變量第13頁2.2.1 常見非線性模型數(shù)學物理方程中線性方程： 未知函數(shù)項或未知函數(shù)（偏）導數(shù)項系數(shù)依賴 于自變量針對時間變量常微分方程： 線性方程指滿足疊加原理疊加原理： 可加性 齊

5、次性不滿足以上條件方程，就成為非線性方程。第14頁有條件存在，只在一定工作范圍內含有線性特征；非線性系統(tǒng)分析和綜合是非常復雜。2.2.2 線性化問題提出能夠應用疊加原理，以及應用線性理論對系統(tǒng)進行分析和設計。線性系統(tǒng)缺點：線性系統(tǒng)優(yōu)點：線性化定義 將一些非線性方程在一定工作范圍內用近似線性方程來代替，使之成為線性定常微分方程。第15頁2.2.3 線性化方法 以微小偏差法為基礎，運動方程中各變量就不是它們絕對值，而是它們對額定工作點偏差。增量（微小偏差法）假設： 在控制系統(tǒng)整個調整過程中，全部變量與穩(wěn)態(tài)值之間只會產生足夠微小偏差。非線性方程 局部線性增量方程第16頁增量方程增量方程數(shù)學含義 將參

6、考坐標原點移到系統(tǒng)或元件平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動起始點，這時，系統(tǒng)全部初始條件均為零。注：導數(shù)依據(jù)其定義是一線性映射，滿足疊加原理。第17頁多變量函數(shù)泰勒級數(shù)法增量方程靜態(tài)方程第18頁單變量函數(shù)泰勒級數(shù)法函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0, y0）附近泰勒級數(shù)展開式為：略去含有高于一次增量x=x-x0項，則：注：非線性系統(tǒng)線性化模型，稱為增量方程。注：y = f (x0)稱為系統(tǒng)靜態(tài)方程第19頁Part 2.3 拉氏變換及其反變換2.3.12.3.22.3.3拉氏變換定義拉氏變換計算拉氏變換求解方程拉氏變換 拉氏反變換第20頁Part 2.3.1 拉氏變換定義設

7、函數(shù)f(t)滿足：1f(t)實函數(shù)；2當t0時 ， f(t)=0；3當t0時，f(t)積分 在s某一域內收斂則函數(shù)f(t)拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實數(shù)）；F(s)稱為函數(shù)f(t)拉普拉氏變換或象函數(shù);f(t)稱為F(s)原函數(shù)；L為拉氏變換符號。第21頁拉氏反變換定義其中L1為拉氏反變換符號。第22頁高等函數(shù)初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位階躍函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)冪函數(shù)Part 2.3.2.1 拉氏變換計算第23頁Part 2.3.2.3 拉氏變換主要運算定理線性定理微分定理積分定理位移定理延時定理卷積定理初值定理終值定理第24頁F(s)= F1(s

8、)+F2(s)+Fn(s)L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)條件： 分母多項式能分解成因式多項式極點多項式零點Part 2.3.2.2 拉氏反變換方法部分分式法求取拉氏反變換第25頁將微分方程經過拉氏變換變?yōu)?s 代數(shù)方程；解代數(shù)方程，得到相關變量拉氏變換表示式；應用拉氏反變換，得到微分方程時域解。Part 2.3.3 拉氏變換求解線性微分方程第26頁應用拉氏變換法求解微分方程時，因為初始條件已自動地包含在微分方程拉氏變換式中，所以，不需要依據(jù)初始條件求積分常數(shù)值就可得到微分方程全解。假如全部初始條件為零，

9、微分方程拉氏變換能夠簡單 地用sn代替dn/dtn得到。微分方程式解正弦函數(shù) Bsin(t+)指數(shù)函數(shù) Aeat微分方程式各系數(shù)起始條件外部條件a、A、B、第27頁Part 2.4 經典步驟及其傳遞函數(shù)2.4.12.4.2傳遞函數(shù)定義經典步驟傳遞函數(shù)第28頁在零初始條件( )下，線性定常系統(tǒng)輸出量拉氏變換與引發(fā)該輸出輸入量拉氏變換之比。系統(tǒng)(或步驟)輸入量系統(tǒng)(或步驟)輸出量Part 2.4.1 傳遞函數(shù)定義 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即t 0 時，輸出量及其各階導數(shù)也均為0 第29頁初始條件為零時 微分方程拉氏變換系統(tǒng)傳遞函數(shù)!傳遞函數(shù)直接計算法系統(tǒng)傳遞函數(shù)普通形式第30頁

10、N(s)=0 系統(tǒng)特征方程，特征根 特征方程決定著系統(tǒng)動態(tài)特征。 N(s)中s最高階次等于系統(tǒng)階次。！從微分方程角度看，此時相當于全部導數(shù)項都為零。K 系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入比值。當s=0時系統(tǒng)放大系數(shù)或增益特征方程第31頁M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0根s=zi(i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數(shù)零點。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0根s=pj(j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數(shù)極點。！系統(tǒng)傳遞函數(shù)極點就是系統(tǒng)特征根。！零點和極點數(shù)值完全取決于系統(tǒng)結構參數(shù)。零點和極點第32頁傳遞函數(shù)零、極點分布圖： 將傳遞函數(shù)零、極點表示在復平面上圖

11、形。零點用“O”表示極點用“”表示零、極點分布圖第33頁g(t)稱為系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)（權函數(shù)）系統(tǒng)輸出單位脈沖函數(shù)脈沖響應函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)動態(tài)特征單位脈沖響應第34頁傳遞函數(shù)是復數(shù)s域中系統(tǒng)數(shù)學模型。其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身結構及參數(shù)，與系統(tǒng)輸入形式無關。傳遞函數(shù)經過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間關系來描述系統(tǒng)固有特征，即以系統(tǒng)外部輸入輸出特征來描述系統(tǒng)內部特征。若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特征完全由傳遞函數(shù)G(s) 決定。結論第35頁適合用于線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)中各項系數(shù)和對應微分方程中各項系數(shù)對應相等，完全取決于系統(tǒng)結構參數(shù)。傳遞函數(shù)標準上不能反應系統(tǒng)在非零初始條件下全部運動規(guī)律無法描述系統(tǒng)內部中間變量改

12、變情況只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)描述注意第36頁設系統(tǒng)有b個實零點;d 個實極點;c 對復零點; e對復極點;v個零極點Part 2.4.2 經典步驟傳遞函數(shù)b+2c = mv+d+2e = n第37頁百分比步驟一階微分步驟二階微分步驟積分步驟慣性步驟振蕩步驟延遲步驟！串聯(lián)純微分步驟第38頁步驟是依據(jù)微分方程劃分，不是詳細物理裝置或元件。一個步驟往往由幾個元件之間運動特征共同組成。同一元件在不一樣系統(tǒng)中作用不一樣，輸入輸出物理量不一樣，可起到不一樣步驟作用。第39頁運動方程式：傳遞函數(shù)：K 步驟放大系數(shù)例1：齒輪傳動例2：晶體管放大器放大步驟/百分比步驟第40頁運動方程式：傳遞函數(shù)：K步驟放大系

13、數(shù)T步驟時間常數(shù)!儲能元件！輸出落后于輸入量，不馬上復現(xiàn)突變輸入例1：彈性彈簧例2：RC慣性步驟慣性步驟第41頁運動方程式：傳遞函數(shù)：K 步驟放大系數(shù)！記憶！積分輸入突然除去積分停頓輸出維持不變例1：電容充電例2：積分運算放大器積分步驟第42頁如當輸入量為常值 A 時，輸出量須經過時間T才能到達輸入量在t = 0時值A。！改進系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能！含有顯著滯后作用第43頁理想微分實際微分慣性T 0KT 有限運動方程式：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：例1：測速發(fā)電機例2：RC微分網絡例3：理想微分運放例4：一階微分運放微分步驟第44頁不一樣形式儲能元件能量轉換振蕩運動方程式：傳遞函數(shù)： 步驟阻尼比K步驟放大系數(shù)T

14、 步驟時間常數(shù)01 產生振蕩1 兩個串聯(lián)慣性步驟例1：機械平移系統(tǒng)例2：RLC串聯(lián)網絡振蕩步驟第45頁運動方程式：傳遞函數(shù)：1 兩個串聯(lián)一階微分步驟 步驟阻尼比K 步驟放大系數(shù)T 步驟時間常數(shù)二階微分步驟第46頁運動方程式：傳遞函數(shù)：步驟時間常數(shù)超越函數(shù)近似處理例1：水箱進水管延滯延滯步驟第47頁Part 2.5 系統(tǒng)方塊圖和信號流圖2.5.12.5.22.5.3方塊圖系統(tǒng)信號流圖控制系統(tǒng)傳遞函數(shù) 第48頁結構方塊圖由方塊圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖繪制Part 2.5.1 方塊圖2.5.1.12.5.1.22.5.1.3 第49頁2.5.1.1 結構方塊圖第50頁！脫離了物理系統(tǒng)模型!系統(tǒng)數(shù)學模型

15、圖解形式形象直觀地描述系統(tǒng)中各元件間相互關系及其功效以及信號在系統(tǒng)中傳遞、變換過程。依據(jù)信號流向 ，將各元件方塊連接起來組成整 個系統(tǒng)方塊圖。函數(shù)方塊圖第51頁 任何系統(tǒng)都能夠由信號線、函數(shù)方塊、信號引出點及求和點組成方塊圖來表示。求和點函數(shù)方塊引出線函數(shù)方塊信號線第52頁1信號線 帶有箭頭直線，箭頭表示信號傳遞方向，直線旁標識信號時間函數(shù)或象函數(shù)。 2信號引出點（線）/測量點 表示信號引出或測量位置和傳遞方向。同一信號線上引出信號，其性質、大小完全一樣。 第53頁3函數(shù)方塊(步驟) 函數(shù)方塊含有運算功效第54頁4求和點（比較點、綜合點）1.用符號“”及對應信號箭頭表示2.箭頭前方“+”或“-

16、”表示加上此信號或減去此信號! 注意量綱第55頁相鄰求和點能夠交換、合并、分解。代數(shù)運算交換律、結合律和分配律。!求和點能夠有多個輸入，但輸出是唯一第56頁方框圖等效變換法則公式直接法化簡法代數(shù)法方塊圖化簡方塊圖運算規(guī)則串聯(lián)、并聯(lián)、反饋基于方塊圖運算規(guī)則基于比較點簡化基于引出點簡化2.5.1.2 由方塊圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)第57頁 幾個步驟串聯(lián)，總傳遞函數(shù)等于每個步驟傳遞函數(shù)乘積。例：隔離放大器串聯(lián)RC電路串聯(lián)運算規(guī)則第58頁同向步驟并聯(lián)傳遞函數(shù)等于全部并聯(lián)步驟傳遞函數(shù)之和。并聯(lián)運算規(guī)則第59頁反饋運算規(guī)則第60頁基于方塊圖運算規(guī)則第61頁基于比較點簡化第62頁基于引出點簡化第63頁把幾個回路共用

17、線路及步驟分開，使每一個 局部回路、及主反饋都有自己專用線路和步驟。確定系統(tǒng)中輸入輸出量，把輸入量到輸出量 一條線路列成方塊圖中前向通道。經過比較點和引出點移動消除交織回路。先求出并聯(lián)步驟和含有局部反饋步驟傳遞函 數(shù)，然后求出整個系統(tǒng)傳遞函數(shù)。方塊圖求取傳遞函數(shù)-簡化法第64頁方塊圖化簡第65頁建立系統(tǒng)各元部件微分方程,明確信號因果關系（輸入/輸出）。對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件方框圖。按照信號在系統(tǒng)中傳遞、變換過程，依次將各部件 方框圖連接起來，得到系統(tǒng)方框圖。2.5.1.3 方塊圖繪制第66頁2.5.2.1 信號流圖及其術語2.5.2.2 信號代數(shù)運算法則2.5.2.3 依據(jù)微分

18、方程繪制信號流圖2.5.2.4 依據(jù)方框圖繪制信號流圖2.5.2.5 信號流圖梅遜公式Part 2.5.2 系統(tǒng)信號流圖 第67頁 信號流圖起源于梅遜（S. J. MASON）利用圖示法來描述一個和一組線性代數(shù)方程，是由節(jié)點和支路組成一種信號傳遞網絡。節(jié)點表示變量或信號，其值等于全部進入該節(jié)點信號之和。支路連接兩個節(jié)點定向線段，用支路增益（傳遞函數(shù)）表示方程式中兩個變量因果關系。支路相當于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。通路沿支路箭頭方向穿過各相連支路路徑。2.5.2.1 信號流圖及其術語第68頁輸入節(jié)點只有輸出節(jié)點，代表系統(tǒng)輸入變量。輸出節(jié)點只有輸入節(jié)點，代表系統(tǒng)輸出變量。輸出節(jié)點輸入節(jié)

19、點混合節(jié)點現(xiàn)有輸入又有輸出節(jié)點。若從混合節(jié)點引出一條含有單位增益支路，可 點變?yōu)檩敵龉?jié)點。第69頁前向通路從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點通路上經過任何節(jié)點不多于一次通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，普通用pk表示。第70頁回路起點與終點重合且經過任何節(jié)點不多于一次閉合通路?；芈分腥恐吩鲆嬷朔e稱為回路增益，用Lk表示。不接觸回路相互間沒有任何公共節(jié)點回路X2、X3X3、X4X5第71頁2.5.2.2 信號代數(shù)運算法則第72頁取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作為信號流圖節(jié)點Ui(s)、Uo(s)分別為輸入及輸出節(jié)點2.5.2.3 依據(jù)微分方程繪制信號流圖第73頁第74頁第75頁只有一條前向通路三個不一樣回路L1、L2不接觸 P1與L1、L2、L3均接觸第76頁第77頁2.5.2.4 依據(jù)方框圖繪制信號流圖第78頁方塊圖轉換為信號流圖第79頁方塊圖轉換為信號流圖第80頁G 系統(tǒng)總傳遞函數(shù)Pk第k條前向通路傳遞函數(shù)（通路增益） 流圖特征式全部不一樣回路傳遞函數(shù)之和每兩個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和 每三個互不接觸回路傳遞函數(shù)乘積之和第k條前向通路特征式余因子，即對于流圖特征式，將與第k 條前向通路相接觸回路傳遞函數(shù)代以零值，余下即為k。k任何m個互不接觸回路