固定收益證券：第七章 利率期限結(jié)構(gòu)：動(dòng)態(tài)模型

1、第七章 利率期限結(jié)構(gòu)：動(dòng)態(tài)模型 利率期限結(jié)構(gòu)：動(dòng)態(tài)模型動(dòng)態(tài)利率模型概述仿射利率期限結(jié)構(gòu)模型HJM分析框架與無套利模型動(dòng)態(tài)利率模型參數(shù)的估計(jì)與校準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：在學(xué)習(xí)完本章之后，你應(yīng)該能夠理解和掌握動(dòng)態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型的基本原理仿射模型基本框架及常見的仿射模型HJM模型分析框架及常見的無套利動(dòng)態(tài)利率模型LIBOR市場模型動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)估計(jì)與校準(zhǔn) 動(dòng)態(tài)利率模型概述動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)利率模型的分類與演進(jìn)動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型的建模對象瞬時(shí)利率：貨幣市場賬戶：貼現(xiàn)因子（零息票債券）瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率與到期收益率：動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型的建模隨機(jī)微分方程動(dòng)

2、態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型的建模偏微分方程法（無套利法）用兩個(gè)債券構(gòu)造組合W權(quán)重W1、 W2使得動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架偏微分方程法（無套利法）組合W的隨機(jī)過程整理可得到瞬時(shí)利率的市場風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格由于債券是任意選取的，因此對于任意債券有動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架等價(jià)鞅測度法存在一個(gè)市場風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值使得不同世界的風(fēng)險(xiǎn)源滿足 則風(fēng)險(xiǎn)中性世界的債券價(jià)格滿足 動(dòng)態(tài)利率模型的基本框架動(dòng)態(tài)利率模型與靜態(tài)利率模型的比較信息含量擬合度建模對象輸入信息輸出信息動(dòng)態(tài)利率模型的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)利率模型的評(píng)價(jià)利率的均值回歸特征：長期來看，利率總圍繞一個(gè)相對穩(wěn)定的長期水平上下波動(dòng)利率的分布特征：現(xiàn)實(shí)中的利率分布通常具有肥尾、非對稱

3、分布等特征。利率期限結(jié)構(gòu)長短端變動(dòng)不一致的特征：現(xiàn)實(shí)中的長期、短期利率出現(xiàn)幅度、甚至是方向不一的變化。利率波動(dòng)率的特征：利率的波動(dòng)率與利率水平有關(guān)動(dòng)態(tài)利率模型隱含的利率波動(dòng)率曲線是否合理也是模型優(yōu)劣的判斷標(biāo)準(zhǔn)之一。動(dòng)態(tài)利率模型的分類與演進(jìn)均衡模型Merton模型Vasicek模型CIR模型等無套利模型（HJM框架）Ho-Lee模型Hull-White模型等 仿射利率期限結(jié)構(gòu)模型引例：最簡單的動(dòng)態(tài)利率模型Vasicek模型及其擴(kuò)展CIR模型及其擴(kuò)展仿射模型的一般形式引例：最簡單的動(dòng)態(tài)利率模型Merton模型風(fēng)險(xiǎn)中性測度下零息債價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Vasicek模型風(fēng)險(xiǎn)中性測度下零息票債

4、券價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Vasicek模型債券期權(quán)價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Vasicek模型的基本性質(zhì)均值回復(fù)，回復(fù)速度長期利率收斂短期利率波動(dòng)率大于長期可能出現(xiàn)負(fù)利率無法刻畫駝峰狀利率波動(dòng)率曲線Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White 單因子模型風(fēng)險(xiǎn)中性 其中 是模型與利率期限結(jié)構(gòu)的接口，能夠滿足任何利率期限結(jié)構(gòu)的形狀Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White 單因子模型零息票債券價(jià)格特點(diǎn)繼承了Vasicek大部分的優(yōu)缺點(diǎn)，但是可以完全擬合利率期限結(jié)構(gòu)Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型風(fēng)險(xiǎn)中性世界其中 是和利率期限結(jié)構(gòu)模型的接口Vasicek模型

5、及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型其中Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型零息票債券價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型零息票債券價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型零息票債券價(jià)格Vasicek模型及其擴(kuò)展Hull-White雙因子模型的性質(zhì)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)源對利率波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的擬合效果增加長短期利率不再完全相關(guān)校準(zhǔn)出模型的參數(shù)非常復(fù)雜CIR模型及其擴(kuò)展CIR模型風(fēng)險(xiǎn)中性世界中其中 、 和 均為常數(shù)且大于0，且與Vasicek不同之處不會(huì)出現(xiàn)負(fù)利率波動(dòng)率與利率水平成正比CIR模型及其擴(kuò)展CIR模型CIR模型零息票債券的價(jià)格其中C

6、IR模型及其擴(kuò)展CIR模型CIR模型零息票債券期權(quán)的價(jià)格其中CIR模型及其擴(kuò)展CIR模型的特點(diǎn) 利率非負(fù)均值回歸較為合理的利率波動(dòng)率特征難以充分?jǐn)M合實(shí)際的利率期限結(jié)構(gòu)難以刻畫短期利率與長期利率的不同變動(dòng)仿射模型的一般形式Longstaff-Schwartz模型狀態(tài)變量所服從的隨機(jī)過程利率與波動(dòng)率與狀態(tài)變量的關(guān)系仿射模型的一般形式LS模型利率與波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)過程仿射模型的一般形式一般的仿射模型利率與狀態(tài)變量關(guān)系狀態(tài)變量所服從的過程其中仿射模型的一般形式仿射模型下零息票債券的價(jià)格其中參數(shù)滿足該常微分方程組的初始條件為：仿射模型仿射模型的優(yōu)勢給定瞬時(shí)利率的隨機(jī)過程，我們并不需要求解偏微分方程或公式，而

7、直接通過求解式就可以很方便地得到債券價(jià)格的解析解，極大地降低了模型分析的工作量。仿射模型的不足之處仿射模型采用線性形式，而對仿射模型定價(jià)誤差的研究表明，仿射模型定價(jià)誤差的存在可能是由于忽略了一些非線性因素。這也引發(fā)了研究人員考慮更復(fù)雜的模型形式，例如二次模型，或者考慮更多的風(fēng)險(xiǎn)源，例如跳躍模型等。 HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架無套利模型LIBOR市場模型HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率在現(xiàn)實(shí)測度下積分可得并且HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架根據(jù)之前遠(yuǎn)期利率與零息票債券的關(guān)系其中HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架根據(jù)伊藤引理，以及上式對t求偏可得經(jīng)過

8、測度變換則，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中有HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架注意到在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中零息票債券的漂移了必須為無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此 必須為0，則HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架將上市代回遠(yuǎn)期利率的等式其中所以風(fēng)險(xiǎn)中性測度下HJM分析框架與無套利模型HJM分析框架該式反映了它在無套利條件下，風(fēng)險(xiǎn)中性測度下瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的漂移項(xiàng)是波動(dòng)項(xiàng)的函數(shù)，由于這里假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性測度和現(xiàn)實(shí)測度下的波動(dòng)項(xiàng)是相同的。因此，在HJM框架下，市場風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格的設(shè)定并不影響瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率和瞬時(shí)利率在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的漂移項(xiàng)，從而也就不會(huì)對資產(chǎn)定價(jià)產(chǎn)生影響無套利模型連續(xù)時(shí)間的無套利模型HJM框架下的波動(dòng)率為常數(shù)的模型零息票債

9、券的價(jià)格無套利模型連續(xù)時(shí)間的無套利模型單一風(fēng)險(xiǎn)源且波動(dòng)項(xiàng)為時(shí)間的函數(shù)此時(shí)瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的過程可以寫成瞬時(shí)利率的過程可以寫成無套利模型離散時(shí)間的無套利模型Ho-Lee模型其中無套利模型離散時(shí)間的無套利模型Ho-Lee模型對應(yīng)的債券無套利模型BDT離散模型利率樹債券樹圖無套利模型BDT利率樹圖如何到債券樹圖？即期利率樹圖與波動(dòng)率曲線算出到期收益率樹圖波動(dòng)率滿足波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)重合通過到期收益率轉(zhuǎn)化成債券價(jià)格無套利模型其他的無套利模型BDT的連續(xù)形式BK模型LIBOR市場模型基本原理我們可以找到某些測度，其對應(yīng)的計(jì)價(jià)單位是市場中人們熟悉的資產(chǎn)，而在這些測度下，某些特定變量服從鞅過程，為某些金融資產(chǎn)定

10、價(jià)非常便利。LIBOR市場模型正是為了給市場上的不同產(chǎn)品定價(jià)將測度轉(zhuǎn)換到方便定價(jià)的各個(gè)世界中。風(fēng)險(xiǎn)中性測度：以貨幣市場賬戶作為計(jì)價(jià)單位遠(yuǎn)期測度：以零息票債券價(jià)格作為記賬單位互換測度：以年金現(xiàn)值因子作為計(jì)價(jià)單位LIBOR市場模型LFM在LFM中遠(yuǎn)期利率服從鞅過程其中 為 遠(yuǎn)期測度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)LIBOR市場模型LSM在互換測度下，遠(yuǎn)期互換利率的隨機(jī)過程LIBOR市場模型LFM與LSM的異同相似性：都給出了某一測度下某種利率遵循的鞅過程，并通過假設(shè)某種測度下的波動(dòng)率為時(shí)間的確定性函數(shù)得到該利率的分布，并可由此得出相應(yīng)產(chǎn)品價(jià)格的解析解。其中的漂移項(xiàng)都是波動(dòng)項(xiàng)的函數(shù)，波動(dòng)項(xiàng)完全決定了整個(gè)隨機(jī)過程。不同之處：兩者研究的是不同測度下不同利率的變化過程。LFM模型考察的是遠(yuǎn)期測度下的遠(yuǎn)期利率過程，其結(jié)論是遠(yuǎn)期利率在該測度下服從對數(shù)正態(tài)分布LSM模型考察的是互換測度下的遠(yuǎn)期互換利率過程，并得出遠(yuǎn)期互換利率在該測度下服從對數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論LFM模型和LSM模型存在內(nèi)在的矛盾。第四節(jié)動(dòng)態(tài)利率模型參數(shù)的估計(jì)與校準(zhǔn) 動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)估計(jì)與校準(zhǔn)動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)估計(jì)動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)校準(zhǔn)動(dòng)態(tài)利率模型的參數(shù)估計(jì)極大似然估計(jì)以CKLS為例首先離散化之后計(jì)算似