概率與數(shù)理統(tǒng)計第講

1、概率與數(shù)理統(tǒng)計第講第1頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四3.4 邊緣分布3.4.1 邊緣分布函數(shù) 二維隨機向量 (X,Y) 作為一個整體, 有分布函數(shù) F( x, y)，其分量 X與Y 都是隨機變量，有各自的分布函數(shù)，分別記成 FX(x) 和 FY(y)，分別稱為X的邊緣分布函數(shù)和Y的邊緣分布函數(shù)；稱 F(x, y) 為 (X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)。第2頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)，F(xiàn)Y(y)=PYy=PX,Yy=F(,y). X與Y的邊緣分布函數(shù)實質(zhì)上就是一維隨機變量X或Y的分布函數(shù)。稱其為邊緣分布函數(shù)

2、的是相對于 (X,Y) 的聯(lián)合分布而言的。 同樣地，(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y)是相對于 (X, Y) 的分量X和Y的分布而言的。注意: 求法第3頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四則 X 的邊緣概率分布為Y 的邊緣概率分布為 設(shè)(X, Y ) 是二維離散型隨機向量，聯(lián)合概率分布為3.4.2 二維離散型隨機向量的邊緣分布第4頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四解：例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的邊緣分布。第5頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四把這些數(shù)據(jù)補充到前面表上,第6頁，共49頁，2022年，5

3、月20日，6點3分，星期四解：例2： (打開書P59) 求例中 (X,Y) 的分量X和Y的邊緣分布。PX=0 = PX=0, Y=0+PX=0, Y=1 = 0.00013+0.19987 = 0.20000,PX=1 = PX=1, Y=0+PX=1, Y=1 = 0.00004+0.79996 = 0.80000, PY=0 = PX=0, Y=0+PX=1, Y=0 = 0.00013+0.00004 = 0.00017,PY=1 = PX=0, Y=1+PX=1, Y=1 = 0.19987+0.79996 = 0.99983. 第7頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期

4、四把這些數(shù)據(jù)補充到例的表中，得第8頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四3.4.2 連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度 若 (X, Y) 的聯(lián)合概率密度為 f (x, y)，則X的邊緣概率密度為Y 的邊緣概率密度為第9頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四例3：若(X,Y)服從矩形區(qū)域 axb，cyd上均勻分布，則邊緣概率密度分別為注：本例中X與Y都是服從均勻分布的隨機變量。 但對其它非矩形區(qū)域上的均勻分布不一定有上述結(jié)論。第10頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四例4：設(shè)(X,Y)服從單位圓域 x2+y21上的均勻分布。求X和Y的邊緣概率密度。解:

5、當(dāng)|x|1時,第11頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四當(dāng)-1x1時,( 注意積分限的確定方法 )熟練時，被積函數(shù)為零的部分可以不寫。第12頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四 由X 和Y 在問題中地位的對稱性, 將上式中的 x 改為 y，得到 Y 的邊緣概率密度第13頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四例5：設(shè)(X, Y)的概率密度為求 (1). c的值; (2). 邊緣密度。= 5c/24=1,c = 24/5;解: (1).第14頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四解: (2) 注意積分限注意取值范圍第15頁，共49

6、頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四注意積分限注意取值范圍第16頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四即第17頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四例6：設(shè) (X, Y)求X和Y 的邊緣概率密度。解： 由第18頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四 說明 對于確定的 1, 2, 1, 2, 當(dāng) 不同時, 對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布。但它們的邊緣分布是相同的，所以在考慮多維隨機向量時，不但要考慮它們的邊緣分布，還要考慮隨機向量各分量之間的關(guān)系。第19頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四 X與Y之間的關(guān)系的信息是包含在 (X,

7、Y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)之內(nèi)的。 在下一章將指出：對于二維正態(tài)分布而言，參數(shù) 正好刻畫了X和Y之間關(guān)系的密切程度。 因此，僅由X和Y的邊緣概率密度 (或邊緣分布) 一般不能確定 (X,Y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù) (或概率分布)。第20頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四3.5 條件分布 第一章中，我們介紹了條件概率的概念 ,在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率將其推廣到隨機變量： 設(shè)有兩個隨機變量 X與Y，在給定Y 取某個或某些值的條件下，求X的概率分布。這個分布就是條件分布。3.5.1 條件分布的概念第21頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四 例如：考慮

8、某大學(xué)的全體學(xué)生，從中隨機抽取一個學(xué)生，分別以 X和Y 表示其體重和身高。則 X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布。體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布第22頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四 現(xiàn)在限制180Y 0，則稱為在Y=yj 條件下, 隨機變量X的條件概率分布。P(X=xi |Y=yj)=，i=1,2, 第24頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四 條件分布是一種概率分布，具有概率分布的一切性質(zhì)。例如： i=1,2, 對固定的 i，若P(X=xi) 0，則稱P(Y=Yj |X=xi)=，j=1,2, 為在X=xi條件下, 隨機變量Y 的條件概率

9、分布。第25頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四例 1: 求書中p59, 例中Y 的條件分布。解：在例中已求出X 的邊緣分布(見上表)。在X=0條件下，第26頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四在 X=1 條件下，第27頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四解：例 2：求例中被調(diào)查者吸煙的條件下得肺癌的概率和不吸煙的條件下得肺癌的概率。第28頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四3.5.3 連續(xù)型隨機變量的條件概率密度 設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機向量，由于對任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0，所以不能直接

10、用條件概率公式得到條件分布，這時要使用極限的方法得到條件概率密度。 給定y，對于任意固定的正數(shù) ，若概率P( y- 0，于是，對于任意 x，是在條件 y-Y y+ 之下，X的條件分布。第29頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四 定義2：設(shè)X和Y是隨機變量，給定 y, 若對任意固定正數(shù)，P( y- 0，且對任意實數(shù) x，極限存在，則稱此極限為在條件 Y=y下X的條件分布函數(shù)，記成 FX|Y(x|y)。若存在 fX|Y(x|y), 使得則稱 fX|Y(x|y)為在條件 Y=y 下X的條件概率密度函數(shù)，簡稱條件概率密度。第30頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四同

11、理，當(dāng) fX (x) 0 時， 定理1：設(shè)隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f (x, y)，Y的邊緣概率密度為fY (y)。若f (x, y) 在點(x, y) 處連續(xù), 當(dāng) fY (y) 0 時，第31頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四證明：第32頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四求 P(X1|Y=y)。解：P(X1|Y=y)為此, 需求出 例3：設(shè)(X,Y) 的概率密度是第33頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四由于于是，對 y 0, 第34頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四故對 y 0, P(X1|Y=y)

12、例4：設(shè) (X,Y) 服從單位圓上均勻分布，即其概率密度為求第35頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四解： X的邊緣密度為當(dāng) |x|1時, 有第36頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四即 ：當(dāng)|x|0，第40頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四第41頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四當(dāng) x(-1,1)時，fX(x)0， 第42頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四第43頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四例 6：設(shè)店主在每日開門營業(yè)時，放在柜臺上的貨物量為 Y, 當(dāng)日銷售量為 X, 假定

13、一天中不再往柜臺上補充貨物, 于是 XY。根據(jù)歷史資料，(X,Y)的概率密度為求 (1).給定Y=y條件下, X的條件概率密度； (2).給定Y=10條件下, X5的概率； (3).如果Y=20件呢?第44頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四解: (1). 第45頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四y(0,20 時，fY(y)0，這個結(jié)果表明：當(dāng) y(0, 20 時，X的條件分布是 0, y 上的均勻分布。第46頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四(2). 當(dāng) Y=10 時，第47頁，共49頁，2022年，5月20日，6點3分，星期四(3),