北京市西城區(qū)北京第四十四中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1某班4名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨(dú)立，若X為4名同學(xué)通過測試的人數(shù)，則D（X）的值為（）A1B2C3D42某村莊對改村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢

2、的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：每年體檢每年未體檢合計老年人7年輕人6合計50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯誤的是( )ABCD3拋物線的焦點(diǎn)為 ,過點(diǎn)的直線交拋物線于 、兩點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上任意一點(diǎn)，則（ ）ABCD4已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為ABCD5已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為（ ）ABCD6已知集合,則（ ）ABCD7函數(shù)在處切線斜率為（ ）ABCD8設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于( )AB2iCD09若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)f(x)的解析式可能是（ ）Af(x)=3cosxBf(x)=x310已知函數(shù)圖象如圖，是

3、的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（ ）ABCD11下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為( )A，xRB，xR且x0C,xRD，xR12設(shè)曲線及直線所圍成的封閉圖形為區(qū)域，不等式組所確定的區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知cos,則二項式的展開式中的系數(shù)為_14設(shè)函數(shù)，則_;15的二項展開式中項的系數(shù)為_.16設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，則該橢圓的離心率為 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).求不等式的解集；若，求實數(shù)的取值范

4、圍.18（12分）為迎接新中國成立70周年，學(xué)校布置一橢圓形花壇，如圖所示，是其中心，是橢圓的長軸，是短軸的一個端點(diǎn).現(xiàn)欲鋪設(shè)灌溉管道，擬在上選兩點(diǎn)，使，沿、鋪設(shè)管道，設(shè)，若，（1）求管道長度關(guān)于角的函數(shù)及的取值范圍；（2）求管道長度的最小值.19（12分）某IT從業(yè)者繪制了他在26歲35歲(2009年2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點(diǎn)圖：（1）由散點(diǎn)圖知，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，試根據(jù)附注提供的有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程（2）若把月收入不低于2萬元稱為“高收入者”.試?yán)茫?）的結(jié)果，估計他36歲時能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系？附注：.參考

5、數(shù)據(jù)：，,，,，其中，取，.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為:，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.20（12分）在二項式的展開式中，二項式系數(shù)之和為256，求展開式中所有有理項.21（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.22（10分）某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800平米的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1米的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3米寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大的種植面積是多少？參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分

6、，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意知XB（4，），根據(jù)二項分布的方差公式進(jìn)行求解即可【詳解】每位同學(xué)能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨(dú)立的，XB（4，），則X的方差D（X）4（1）1，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的方差的計算，根據(jù)題意得到XB（4，）是解決本題的關(guān)鍵2、D【解析】分析：先根據(jù)列聯(lián)表列方程組，解得a,b,c,d,e,f,再判斷真假. 詳解：因為，所以選D.點(diǎn)睛：本題考查列聯(lián)表有關(guān)概念，考查基本求解能力.3、B【解析】分析：設(shè)，則，由利用韋達(dá)定理求解即可.詳解：設(shè)，的焦點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，故選B.點(diǎn)睛：本

7、題主要考查平面向量數(shù)量積公式、平面向量的運(yùn)算、直線與拋物線的位置關(guān)系，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想以及計算能力，屬于中檔題.4、B【解析】由題意得，所以復(fù)數(shù)的虛部為選B5、A【解析】利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線方程【詳解】解：設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與橢圓 交于點(diǎn)，則，分別把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，兩式相減得：，直線的斜率，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為：，即，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題，屬于中檔題6、D【解析】分析：先化簡集合P,Q，再求.詳解：由題得，所以.故答案為：D.點(diǎn)睛：本題主要考查集合的化簡與交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生

8、對這些知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】分析：首先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線即可.詳解：由函數(shù)的解析式可得：，則，即函數(shù)在處切線斜率為.本題選擇C選項.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)切線之間的關(guān)系，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8、B【解析】利用復(fù)數(shù)除法和加法運(yùn)算求解即可【詳解】 故選B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題9、A【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)的符合題意【詳解】A中f(x)=-3sinx為奇函數(shù)，B中 f(x)=3x2+2x非奇非偶函數(shù)，C中f(x)=2故選A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查函數(shù)的奇偶性解題關(guān)鍵是掌握奇函數(shù)

9、的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱這個性質(zhì)10、C【解析】結(jié)合函數(shù)的圖像可知過點(diǎn)的切線的傾斜角最大，過點(diǎn)的切線的傾斜角最小，又因為點(diǎn)的切線的斜率，點(diǎn)的切線斜率，直線的斜率，故，應(yīng)選答案C點(diǎn)睛：本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用求解時充分借助題設(shè)中所提供的函數(shù)圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答先將經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，再將經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，這個過程很容易發(fā)現(xiàn)，從而將問題化為直觀圖形的問題來求解11、B【解析】首先判斷奇偶性：A,B為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)，D既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),所以排除C、D，對于先減后增，排除A，故選B.考點(diǎn)：函

10、數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.12、C【解析】分析：求出兩個區(qū)域的面積，由幾何概型概率公式計算可得.詳解：由題意，故選C.點(diǎn)睛：以面積為測度的幾何概型問題是幾何概型的主要問題，而積分的重要作用正是計算曲邊梯形的面積，這類問題巧妙且自然地將新課標(biāo)新增內(nèi)容幾何概型與定積分結(jié)合在一起，是近幾年各地高考及模擬中的熱點(diǎn)題型預(yù)計對此類問題的考查會加大力度二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：由微積分基本定理求出，再寫出二項展開式的通項，令的指數(shù)為1，求得，從而求得的系數(shù)詳解：，二項式展開式通項為，令，則的系數(shù)為故答案為1點(diǎn)睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特

11、定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).14、【解析】先結(jié)合分段函數(shù)的解析式計算，代入可求出的值【詳解】由題意可知，因此，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，在計算多層函數(shù)值時，遵循由內(nèi)到外逐層計算，同時要注意自變量的取值，選擇合適的解析式進(jìn)行計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題15、60【解析】先寫出二項展開式的通項，令，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因為的二項展開式的通項為：，令，則，所以項的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查求指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型

12、.16、【解析】試題分析：在中，設(shè)，則.考點(diǎn)：橢圓的定義.【易錯點(diǎn)晴】本題的考點(diǎn)是橢圓定義的考查，即的等式關(guān)系和幾何意義.由給定的條件可知三角形不僅是直角三角形，也可以得到其中一個銳角，由此可用來表示直角三角形的三個邊，再根據(jù)橢圓的定義便可建立等式關(guān)系，求得橢圓的離心率.橢圓中研究的關(guān)系不僅選擇填空會考有時解答題也會出，它是研究橢圓基礎(chǔ).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 (1) (2) 【解析】(1)可先將寫成分段函數(shù)的形式，從而求得解集；（2）等價于，令，故即可，從而求得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意可知：，當(dāng)時，即，解得；當(dāng)時，即，解得；當(dāng)時，即，解得.綜

13、上，不等式的解集為；（2）等價于，令，故即可，當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時；綜上所述，故，即實數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式的求解，含參恒成立問題，意在考查學(xué)生的分析能力，計算能力及分類討論能力，難度中等.18、（1），（2）【解析】(1)由三角函數(shù)值分別計算出、的長度，即可求出管道長度的表達(dá)式，求出的取值范圍(2)由(1)得管道長度的表達(dá)式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)后判斷其單調(diào)性求出最小值【詳解】解：（1）因為，所以，其中，.（2）由，得，令，當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù).所以，當(dāng)，即時，答：管道長度的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用三角函數(shù)求解實際問題，在求最值時可

14、以采用求導(dǎo)的方法判斷其單調(diào)性，然后求出最值，需要掌握解題方法19、（1）（2）他36歲時能稱為“高收入者”,有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系【解析】（1）分別計算出，帶入即可（2）將2代入比較即可，計算觀測值，與臨界值比較可得結(jié)論【詳解】（1）令，則(2)把帶入（千元）2（萬元）他36歲時能稱為“高收入者”.故有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線、獨(dú)立性檢驗，屬于基礎(chǔ)題20、答案見解析【解析】由題意首先求得n的值，然后結(jié)合展開式的通項公式即可確定展開式中所有有理項.【詳解】由題意可得：，解得：，則展開式的通項公式為：，由于且，故當(dāng)時展開式為有理項，分別為：，.【點(diǎn)睛

15、】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且nr，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解21、（1）4；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，分別討論每一段的單調(diào)性，綜合比較，即可求得最小值；（2）去掉絕對值符號，化為分段函數(shù)，因為函數(shù)是連續(xù)的，只需要函數(shù)在兩段上都單調(diào)遞增，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，當(dāng)時，為減函數(shù)，；當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時，為增函數(shù)，；所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.（2） ，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù)是連續(xù)不間斷的，所以，解得，故所求實數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時，除了考慮分段函數(shù)在每