吉林省長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題

2、卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知隨機(jī)變量，若，則（ ）A0.1B0.2C0.32D0.362設(shè)，隨機(jī)變量X，Y的分布列分別為X123Y123PP當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最大值時，Y的數(shù)學(xué)期望為（ ）A2BCD3已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過（ ） x0123y1357A(1.5，4)點(diǎn)B(1.5，0）點(diǎn)C（1，2）點(diǎn)D（2，2）點(diǎn)4 “a1”是“函數(shù)f(x)=ax-sinx是增函數(shù)”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，已知

3、甲勝乙的概率為0.5，乙勝甲的概率為0.3，甲乙兩人平局的概率為0.1若甲乙兩人比賽兩局，且兩局比賽的結(jié)果互不影響，則乙至少贏甲一局的概率為（ ）A0. 36B0. 49C0. 51D0. 756周末，某高校一學(xué)生宿舍有甲乙丙丁四位同學(xué)分別在做不同的四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷：甲不在看書，也不在寫信； 乙不在寫信，也不在聽音樂；如果甲不在聽音樂，那么丁也不在寫信； 丙不在看書，也不在寫信.已知這些判斷都是正確的，依據(jù)以上判斷，乙同學(xué)正在做的事情是（ ）A玩游戲B寫信C聽音樂D看書7若“直線與圓相交”，“”；則是( )A充分而不必要條件B必要而不充

4、分條件C充要條件D既不充分也不必要條件8已知，若、三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（ ）ABCD9已知，則是的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件10若函數(shù)在上有小于的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD11定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（ ）ABCD12正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動（包括端點(diǎn)），則與所成角的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知雙曲線C：1(a0，b0)，P為x軸上一動點(diǎn)，經(jīng)過P的直線y2xm(m0)與雙曲線C有且只有一個交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為_14已知向量滿足，的夾角為，則_15設(shè)當(dāng)x

5、=時，函數(shù)f（x）=2sinx+cosx取得最小值，則cos（）=_16平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)（1,2）到直線的距離為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實(shí)數(shù)的最小值.18（12分）如圖，切于點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，,垂足為. （1）證明：（2）若,，求圓的直徑.19（12分）2018年6月19日凌晨某公司公布的年中促銷全天交易數(shù)據(jù)顯示，天貓年中促銷當(dāng)天全天下單金額為1592億元.為了了解網(wǎng)購者一次性購物情況，某統(tǒng)計(jì)部門隨機(jī)抽查了6月18日100名網(wǎng)購者的網(wǎng)購情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，已知網(wǎng)購金額在2000元以上

6、(不含2000元)的頻率為0.4.網(wǎng)購金額(元)頻數(shù)頻率50.05150.15250.25300.3 合計(jì)1001 ()先求出的值，再將圖中所示的頻率分布直方圖繪制完整；()對這100名網(wǎng)購者進(jìn)一步調(diào)查顯示：購物金額在2000元以上的購物者中網(wǎng)齡3年以上的有35人，購物金額在2000元以下(含2000元)的購物者中網(wǎng)齡不足3年的有20人，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)？網(wǎng)齡3年以上網(wǎng)齡不足3年總計(jì)購物金額在2000元以上35購物金額在2000元以下20總計(jì)100參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250

7、.0100.0050.0012.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828參考公式：其中.（）從這100名網(wǎng)購者中根據(jù)購物金額分層抽出20人給予返券獎勵，為進(jìn)一步激發(fā)購物熱情，在和兩組所抽中的8人中再隨機(jī)抽取2人各獎勵1000元現(xiàn)金，求組獲得現(xiàn)金獎的數(shù)學(xué)期望.20（12分）在直角坐標(biāo)系中，將單位圓上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)設(shè)為曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)21（12分）已知曲線 y = x3 + x2 在點(diǎn) P0 處的切線平行于直線4xy1=0，且點(diǎn) P

8、0 在第三象限,求P0的坐標(biāo);若直線, 且 l 也過切點(diǎn)P0 ,求直線l的方程.22（10分）設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）令，求的表達(dá)式；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由求出，進(jìn)而，由此求出.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得或（舍），由，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查二項(xiàng)分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.2、D【解析】利用數(shù)學(xué)期望結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解X的期望的最值，然后求解Y的數(shù)學(xué)期望.【詳解】，當(dāng)時，EX取得最大值

9、，此時.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)期望和分布列的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3、A【解析】由題意： ，回歸方程過樣本中心點(diǎn)，即回歸方程過點(diǎn) .本題選擇A選項(xiàng).4、A【解析】先由函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f【詳解】當(dāng)函數(shù)fx=ax-sinx為增函數(shù)，則則acos因此，“a1”是“函數(shù)fx=ax-sin【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，涉及參數(shù)的取值范圍，一般要由兩取值范圍的包含關(guān)系來判斷，具體如下：（1）AB，則“xA”是“xB”的充分不必要條件；（2）AB，則“xA”是“xB”的必要不充分條件；（3）A=B，則“xA”是“xB”的充要條件；（4）AB，則則“

10、xA”是“xB”的既不充分也不必要條件。5、C【解析】乙至少贏甲一局的對立事件為甲兩局不輸，由此能求出乙至少贏甲一局的概率【詳解】乙至少贏甲局的概率為.故選C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題6、D【解析】根據(jù)事情判斷其對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行合情推理進(jìn)而得以正確分析【詳解】由于判斷都是正確的，那么由知甲在聽音樂或玩游戲；由知乙在看書或玩游戲；由知甲聽音樂時丁在寫信；由知丙在聽音樂或玩游戲，那么甲在聽音樂，丙在玩游戲，丁在寫信，由此可知乙肯定在看書故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】直線yx+b與圓x2+

11、y21相交1，解得b即可判斷出結(jié)論【詳解】直線yx+b與圓x2+y21相交1，解得“直線yx+b與圓x2+y21相交”是“0b1”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，直線與圓的位置關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題8、C【解析】由題知，、 三個向量共面,則存在常數(shù)，使得，由此能求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且、三個向量共面,所以存在使得.所以 ，所以 ，解得 .故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量共面定理求參數(shù)，還運(yùn)用到向量的坐標(biāo)運(yùn)算.9、A【解析】分析：首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合冪的大小，得到指數(shù)的大小關(guān)系，即，從而求得，利用集合間的關(guān)系，確定

12、出p,q的關(guān)系.詳解：由得，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹蕄是q的充分不必要條件，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷，在求解的過程中，首先需要判斷命題q為真命題時對應(yīng)的a的取值范圍，之后借助于具備真包含關(guān)系時滿足充分非必要性得到結(jié)果.10、B【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，在上有小于的極值點(diǎn)等價于導(dǎo)函數(shù)有小于0的根【詳解】由因?yàn)樵谏嫌行∮诘臉O值點(diǎn)，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的問題屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，并將所求不等式化為，利用單調(diào)性可解出該不等式.【詳解】

13、構(gòu)造函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由，則，可得，即，因此，不等式的解集為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，通過導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、D【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、 分別為 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為 ，則 設(shè) 的夾角為，所以 ，所以當(dāng) 時， 取最大值 當(dāng) 時， 取最小值因?yàn)?故選D【點(diǎn)睛】因?yàn)?，所以?夾角的取值范圍建立坐標(biāo)系，用空間向量求夾角余弦，再求最大、最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】即雙曲線的漸近線與直線y2xm平行，即2，所求的離心率e.14

14、、 【解析】先計(jì)算，再由展開計(jì)算即可得解.【詳解】由，的夾角為，得.所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量的模長，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出輔助角，再利用兩角和的余弦公式求出的值【詳解】對于函數(shù)f（x）=2sinx+cosx=sin（x+），其中，cos=，sin=，為銳角當(dāng)x=時，函數(shù)取得最小值，sin（+）=-，即sin（+）=-1，cos（+）=1故可令+=-，即=-，故 故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值，兩角和的余弦公式，屬于中檔題16、【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式完成計(jì)算即可.【

15、詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為，直線為，所以點(diǎn)到直線的距離為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，難度較易.已知點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負(fù)分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）證明：由,得,.設(shè),所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因?yàn)椋ㄆ渲校?所以,所以,成立.（2）解：設(shè),.,所以,.下面證明當(dāng)時,成立.,因?yàn)?所以,所以.又因?yàn)楫?dāng)時,所以,所以,所以,

16、當(dāng)時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式的問題,同時也考查了數(shù)列中求最大值項(xiàng)的方法.需要構(gòu)造數(shù)列求解的正負(fù)判斷,屬于難題.18、（1）見解析；（2）3【解析】試題分析：（1）根據(jù)直徑的性質(zhì)，即可證明；（2）結(jié)合圓的切割線定理進(jìn)行求解，即可求出的直徑.試題解析：（1）因?yàn)槭堑闹睆?，則又，所以又切于點(diǎn)，得所以（2）由（1）知平分，則，又，從而，所以所以，由切割線定理得即，故，即的直徑為3.19、 ()見解析; ()在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān)（）1.【解析】()由題意可知2000元以上（不

17、含2000元）的頻率為0.4，所以網(wǎng)購金額在(2500，3000的頻率為0.40.3=0.1，由此再結(jié)合頻率分布直方圖與頻率分布表可分別求得的值。再由數(shù)據(jù)補(bǔ)全頻率分布直方圖。()先補(bǔ)全22列聯(lián)表，由表中數(shù)據(jù)求得K2。（）在(2000，2500組獲獎人數(shù)X為0，1，2，求得概率及期望?！驹斀狻浚ǎ┮?yàn)榫W(wǎng)購金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4，所以網(wǎng)購金額在(2500，3000的頻率為0.40.3=0.1，即q=0.1，且y=1000.1=10，從而x=15，p=0.15，相應(yīng)的頻率分布直方圖如圖2所示 （）相應(yīng)的22列聯(lián)表為：由公式K2=，因?yàn)?.565.024，所以據(jù)此列聯(lián)表判

18、斷，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為網(wǎng)購金額超過2000元與網(wǎng)齡在3年以上有關(guān) （）在(2000，2500和(2500，3000兩組所抽出的8人中再抽取2人各獎勵1000元現(xiàn)金，則(2000，2500組獲獎人數(shù)X為0，1，2，且 ，故(2000，2500組獲得現(xiàn)金獎的數(shù)學(xué)期望+1000+2000=1【點(diǎn)睛】本題綜合考查頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、補(bǔ)全22列聯(lián)表、卡方計(jì)算及應(yīng)用、隨機(jī)變量分布列及期望，需要對概念公式熟練運(yùn)用，同時考查學(xué)生的運(yùn)算能力。20、 (1)(為參數(shù))；(2)最大值，此時【解析】(1) 根據(jù)坐標(biāo)變換可得曲線的方程，根據(jù)平方關(guān)系可求出其參數(shù)方程； (2) 求出的直角坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式可求出，結(jié)合三角函數(shù)即可求出最值【詳解】(1) 依題意可得曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為，所以其參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)，設(shè)，則，所以當(dāng)時，取得最大值，此時【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的伸縮變換，參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，同時考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題21、（1）（2）【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩條直線的位置關(guān)系，平行和垂直的運(yùn)用以及直線方程的求解的綜合運(yùn)用首先根據(jù)已知條件，利用導(dǎo)數(shù)定義，得到點(diǎn)P3的坐標(biāo)，然后利用，設(shè)出方程為x+2y+c=3,根據(jù)直線過點(diǎn)P3得到結(jié)論解：（1）由y=x3+x-2，得y=3x2+1，由已知得3x