拋物線的焦點弦-經(jīng)典性質及其證明過程

1、 有關拋物線焦點弦問題的探討，y2)兩點12 # #ABAF+BF(x+P)+(x+P)=x+x+p122212結論2：若直線L的傾斜角為e,則弦長AB=2pnsm2,兀證：(1)若,=2時，直線L的斜率不存在，此時AB為拋物線的通徑,AB=2p結論得證厶若e；時,設直線L的方程為：y=(x-2)tan,即x=y-cot,+；代入拋物線方程得y2-2py-COt6-p2=0由韋達定理y1y2=-p2,y1+y2=2pCOt6由弦長公式得AB=1+COt2，叮y2=2P(1+COt2，)=sj,結論3：過焦點的弦中通徑長最小sin2,2pAB的最小值為2p，即過焦點的弦長中通徑長最短.sm2,

2、# 結論4：S2AoABABp3(為定值) SAOAB,1,2_s+SAOBFA0AFOF(AF+BF,1,2)sin9OFBFsin9+1OFAFsin92OFABsin9_1匕丄sin9_22sin292sin9S2AOABAB結論5：（1）y1y2=p2x1x2=p24證xi，二,x，匚xx，(ZAb，P2p22p124P24結論6：以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切證：設M為AB的中點，過A點作準線的垂線AA過B點作準線的垂線BB”過M點作準線的垂線MM,由梯形的中位線性質和拋物線的定義知MM1AABBAFBFAB,121,2,2故結論得證結論7：連接A、B1F則A1F丄B1FAA=A

3、F,AAF=AFA/AA/OFAAF=AFOAFO，AFA1111同理BFO，BFB:.AFB，90。1111A1F丄B1F結論8：（1）AM1丄BM1（2）M1F丄AB（3）MF2，|AF|BF（4）設人與A1F相交于H,M1B與FB相交于Q則M1，Q,F,H四點共圓（5）|AM|2+MB2=4MM2證：由結論（6）知M1在以AB為直徑的圓上AM1丄BM1AA1FB1為直角三角形，M1是斜邊A的中點:.AM=MF:.MFA，MAF/AAF=AFA1111111AAF+FAM111，AAM，90。11AFA+AFM，90。111 #MF2，AFBFM1F丄ABAM1丄BM1/.AMB=90又/

4、AF丄BF11111 #:.AFB，90。11所以M1，Q，F(xiàn),H四點共圓，AM2+|M1）,2（AA1結論9：（1）A、O、B1三點共線（2）B，O，A1三點共線（3）設直線AO與拋物線的準線的交點為B1，則BB1平行于X軸（4）設直線BO與拋物線的準線的交點為A1，則AA1平行于X軸AF+BF+BB1MMi=4MM2 證：因為koA-乙-丄-2Pk11?ky1所以koA2pp2y21結論10：FAyi22p1-2FBpoB1oB1證：過A點作AR垂直X軸于點R，E,因為直線L的傾斜角為9則ER=同理可得EF,FR=P,|AF|cos91+cos9BF2y-2，而yy-P2p12所以三點共線

5、。同理可征（2）（3）（4）過B點作BS垂直X軸于點S,設準線與x軸交點為=AFAF-P1-cos9AFFAFBp結論11：(1)線段EF平分角PEQ(2)BFBEAF-AE(3)K,KAEBE-1-cos9兀(4)當9=時AE丄BE,當92兀豐一時AE不垂直于BE2BE證:BB/EF/AA1-11EA1BFFABF=|BB|,|FA|=BE1EA1BB1AA1AAE-BBE-90。AAEA相似于ABEBAEA=BEB111111/AEF+AEA=BEF+BEB=90。AEF=BEF即EF平分角PEQ11AF-BFAEBE直線AE和直線BE關于X軸對稱K+K=0AEBE當9=|時,AF=EF=

6、FBAEB=90。設直線L的方程為y二k（px-一將其代入方程y2-2pxI2丿得k2x2-p(k2+2)x+-0設A(x1,y1),B(x2,y2)則X+x11k2x1x2=p2假設AE丄BE則KK=1124AEBEy2px,22x+x+2 (-X,1+x2八1)+：2C+10P22八2k2x+x+2 #x+x+2 #-2=0不可能.假設錯誤結論得證111結論12：過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD,貝9|AB|+|cd2p推廣與深化：深化1：性質5中，把弦AB過焦點改為AB過對稱軸上一點E(a,0),則有yiy2-2pa.證：設AB方程為my=x-a，代入護=2Px.得：護2卩町2

7、aP=0,：巴一即玄.IFRI1深化2：性質12中的條件改為焦點弦AB不垂直于x軸,AB的中垂線交x軸于點R,則|AB|2y=tga(x-P)證明：設AB的傾斜角為a,直線AB的方程為：2,P22ctg2a(x2px+)=2px代入y2=2px得：4丿P,P2x2x(p+2pctg2a)+=0即：4由性質1得2p|AB|=x+x+p=2p+2pctg2a=12sin2a,2PIFMI=I又設AB的中點為M,則22|=|Pctg2a|cosacosa,|FE|=|FM|=|pctg2a|=pcosa|cos2asin2a|FR|=1IABI=2x+x+2 x+x+2 #深化3：過拋物線的焦點F作

8、n條弦A1B1、A2B2、AnBn，且它們等分周角2n貝惰1 （1）i=1IAiF|,|FBi|為定值;（2）i=1IAiBi1為定值.1 #1 #n一1兀n，=,ZAFx=aTOC o 1-5 h z證明：（1）設拋物線方程為1-cos1 HYPERLINK l bookmark2兀2兀ZAFx=a+,ZAFx=a+ZAFx=a+由題意2n31一cosa1一cos（兀+a）1一cos2asin2a1 #所以IA1FI，IFBp2p2，同理IA2FI，IFB2Isin2（a+）n5p2IAFI，IFBInnn一1sin2（a+兀）np21 #./兀、./2兀.n一1nsin2a+sin2（a+）sin2（a+）+sin2（a+兀）=易知nnn2，1 #1 #IAFl，IFBii=1兀n12sin2（a+）sin2（a+兀）sin2annn=+=IP2p2p22p2（2）T