E二重積分的計(jì)算

1、第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法一 問題的提出二 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分三 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分四 小結(jié) 按定義:二重積分是一個(gè)特定乘積和式極限 然而，用定義來計(jì)算二重積分，一般情況下是非常麻煩的. 那么，有沒有簡便的計(jì)算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一、問題的提出預(yù)備知識(shí)：(1) 曲頂柱體體積：(2 ) 在直角坐標(biāo)下，二重積分(3)平行截面面積為已知的立體的體積x二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二重積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)域D有關(guān),為此, 先介紹： 1、積分域 D:如果積分區(qū)域?yàn)椋篨型 X型區(qū)域的特點(diǎn)：a、平行于y軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)； b、（1） X -

2、型域X-型域下二重積分的計(jì)算: 此為平行截面面積為已知的立體的體積.截面為曲邊梯形 面積為：(曲頂柱體的體積)則由幾何意義，若yZ 注: 若 (x,y)0 仍然適用。1）上式說明: 二重積分可化為二次定積 分計(jì)算;2）積分次序: X-型域 先對(duì)y積分后對(duì)x積分;3）積分限確定法: 域中一線插, 內(nèi)限定上下， 域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：注意:（2）Y-型域：Y型 Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。b、Y-型域下二重積分的計(jì)算： 同理：Y型域下于是0 xz ycdDz=f (x,y)x=(y)x=(y)yD: (y) x (y) c y

3、d 二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）0 xz ycdDz=f (x,y)x=(y)x=(y).y問題：Q( y)是什么圖形？D: (y) x (y) c y d也是曲邊梯形 ! .Q( y ) =I = 二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）0 xz yx=(y)ycdD.D: (y) x (y) c y dQ( y ) =I =z=f (x,y)x=(y) 二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域） 1）積分次序: Y-型域 ,先對(duì)x積分后對(duì)y積分; 2）積分限確定法: “域中一線插”, 須用平行于x軸的射線穿插區(qū)域 。注意: X 型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于y 軸的直線與 區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交

4、點(diǎn).Y 型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x 軸的直線與 區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.若區(qū)域D既是X-型又是Y-型區(qū)域，則有積分公式注）二重積分化二次（或累次）積分的步驟畫域，選序，定限）二次（或累次）積分中積分的上限不小于下限）二重積分化二次（或累次）積分定限是關(guān)鍵，積分限要根據(jù)積分區(qū)域的形狀來確定，這首先要畫好區(qū)域的草圖，畫好圍成D的幾條邊界線。 注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。2、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的步驟（1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次

5、定積分；（2）根據(jù)積分區(qū)域類型, 確定積分次序；（4）計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果.11y = x20y xD2 先對(duì) y 積分（從下到上）1 畫出區(qū)域 D 圖形3 先對(duì) x 積分（從左到右）.y = x.例1 計(jì)算解：X型Y型例3解：X-型例4解： （如圖）將D作Y型-12在二重積分的問題中,還有一類問題是將一種二（累）次積分改變?yōu)榱硪环N積分次序的累次積分,其解題步驟是: 由所給二（累）次積分的上下限寫出表示積分區(qū)域的不等式組; 根據(jù)不等式組畫出積分區(qū)域的圖形. 寫出另一種積分次序的區(qū)域的不等式組; 寫出所求的二（累）次積分.解積分區(qū)域?yàn)橛谑?，?D 向 y 軸投影。解：積分區(qū)域如圖xyo2

6、31原式解：原式例8解：先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖解1).二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇 積分次序）Y型X型3.小結(jié)2).利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分：一般地，設(shè) 在D上連續(xù),則存在 設(shè)D關(guān)于y軸對(duì)稱 設(shè)D關(guān)于x軸對(duì)稱 設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱三 利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無法計(jì)算時(shí)，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計(jì)算問題。1、直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行“三換”：2 極坐

7、標(biāo)系下的二重積分化為二次積分用兩條過極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過極點(diǎn)的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進(jìn)(入）點(diǎn)，穿出點(diǎn)的極徑得到其上下限。將直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系后，極坐標(biāo)系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計(jì)算。1、當(dāng)極點(diǎn)O在區(qū)域D外時(shí)（1）區(qū)域如圖1具體地圖1（2）區(qū)域D如圖2圖22、當(dāng)極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部區(qū)域如圖3圖33、當(dāng)極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上區(qū)域如圖4圖4計(jì)算二重積分時(shí)，應(yīng)注意： 坐標(biāo)系選取：當(dāng)積分區(qū)域是圓、扇形或環(huán)形域，或 被積函數(shù)中含有或時(shí)， 可考慮選用極坐標(biāo)系.例1 將化為在極坐標(biāo)系下的二次積分。（1）（2）（3）（4）（1）解在極坐標(biāo)系中，閉

8、區(qū)域D 可表示為（2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D 可表示為（2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D 可表示為（3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D 可表示為（3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D 可表示為（4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D 可表示為（4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D 可表示為 計(jì)算例2 解由直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)公式1解解解解在極坐標(biāo)系下：（如圖）例6 求球體 被圓柱面截下且位于圓柱面內(nèi)的那部分體積。o2aD由對(duì)稱性，考慮上半部分zxyo例7a由對(duì)稱性，考慮上半部分xyoz例7z = 0axyzo。V。維望尼曲線。由對(duì)稱性，考慮上半部分D1例70y x12 y =xD.例8.解例9 寫出積分-21110),(xxdyyxfdx的極

9、坐標(biāo)二次積分形式 定積分換元法滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3) 變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的 ,*三、二重積分換元法用平行于坐標(biāo)軸的 直線分割區(qū)域 任取其中一個(gè)小矩形, 其頂點(diǎn)為通過變換T, 在 xoy 面上得到一個(gè)四邊形, 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆.同理得當(dāng)h, k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為從而得二重積分的換元公式: 例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí), 因此面積元素的關(guān)系為解: 令則其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成的閉域. 例10. 計(jì)算所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解: 令則例11. 計(jì)算由解: 由對(duì)稱性令則D 的原象為的體積V.例12. 試計(jì)算橢球體內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)閯t 若積分區(qū)域?yàn)閯t則(2) 一般換元公式且則在變換下極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)?畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積