拉普拉斯變換

1、拉普拉斯變換是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換，又名拉氏轉(zhuǎn)換。拉 氏變換是一個(gè)線(xiàn)性變換，可將一個(gè)有引數(shù)實(shí)數(shù)t （ t 0）的函數(shù)攵轉(zhuǎn) 換為一個(gè)引數(shù)攵為復(fù)數(shù)s的函數(shù)攵。拉普拉斯變換（3）有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn) 算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各 種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果， 往往在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線(xiàn)性 微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理， 從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都 是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)

2、 點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就 為采用直觀(guān)和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。拉普拉斯變換是對(duì)于t0函數(shù)攵值為零的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x（t）通過(guò)關(guān)系 式X （s） = x dtJq（式中st為自然對(duì)數(shù)底e的指數(shù)攵）變換為復(fù)變量s的函數(shù)X（s）。 它也是時(shí)間函數(shù)*化）的“復(fù)頻域”表示方式。據(jù)此，在“電路分析 中，元件的伏安關(guān)系可以在復(fù)頻域中進(jìn)行表示，即電阻元件：V二RI， 電感元件：V=sLI，電容元件：I二sCV。如果用電阻R與電容C串聯(lián)，并在電容兩端引出電壓作為輸出，那么就可用“分壓公式”得出該系 統(tǒng)的傳

3、遞函數(shù)為H（s）=（1/RC）/（s+（1/RC）于是響應(yīng)的拉普拉斯變換Y（s）就等于激勵(lì)的拉普拉斯變換X（s） 與傳遞函數(shù)H（s）的乘積，即Y（s）=X（s）H（s）如果定義f（t）是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)，使得當(dāng)t0時(shí)候，f（t）=0；I為了清言敷字囹保處理通常將耳Ki化為1- I+- /(I - i-ri/G-/+ 1) - /N.J - D I，幻時(shí)貝*】I 8/U1/) - / 10NE 尋 D J(jv -1.J-1) 一Ajr - J + L)- /J +1J - D - /0,f (t)=mathcal 人 left二frac int_ 人 F (s), e dsc,是收斂區(qū)間的橫坐

4、標(biāo)值，是一個(gè)實(shí)常數(shù)且大于所有F (s),的個(gè) 別點(diǎn)的實(shí)部值。為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)攵和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)攵變換。對(duì) 一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn) 算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在 實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn) 算步驟對(duì)于求解線(xiàn)性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求 解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制 系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普 拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系 統(tǒng)的特性。這就為采用直觀(guān)和簡(jiǎn)便的圖解方法

5、來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè) 特性(見(jiàn)信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖)、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程(見(jiàn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法)，以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置(見(jiàn)寸5 ，)一2；函/鴛世 E為r近含敦字用昧姓壩-通裁將耳詢(xún)化為Ib月；.川- I !Hj)- H； + l，jJ-E-L“一成-I s/ti./i -/r： + ij)- IJJ -J,j 4 一 J，j U /L-l,j-U -控制系統(tǒng)校正方法)提供了可能性。：拉普拉斯變換用f(t)表示實(shí)變量t的一個(gè)函數(shù)，F(xiàn)(s)表示它的拉 普拉斯變換，它是復(fù)變量s=o+j&owega；的一個(gè)函數(shù)攵，其中。和&owega； 均為實(shí)變數(shù)攵，j2=-1。F (s)和f

6、(t)間的關(guān)系由下面定義的積分所確 定：如果對(duì)于實(shí)部 ；ac的所有s值上述積分均存在，而對(duì) ac時(shí)積 分不存在，便稱(chēng)g為f(t)的收斂系數(shù)攵。對(duì)給定的實(shí)變量函數(shù)f(t)， 只有當(dāng)g為有限值時(shí)，其拉普拉斯變換F (s)才存在。習(xí)慣上，常 稱(chēng)F (s)為f (t)的象函數(shù)，記為F (s) =Lf (t)；稱(chēng)f (t)為F(s)的原函數(shù)，記為ft=L-1F (s)。函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì) 利用定義積分，很容易建立起原函數(shù) f (t)和象函數(shù)F (s)間的變換對(duì)，以及f (t)在實(shí)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算與 F (s)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常 用的一些函數(shù)攵變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)。拉普拉斯變化的存在性：為使F (s)存在，積