北京市第十五中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1一個(gè)停車場有5個(gè)排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個(gè)停車場，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車位空著，則不同的停車

2、方法共有A6種B12種C36種D72種2從2017年到2019年的3年高考中，針對地區(qū)差異，理科數(shù)學(xué)全國卷每年都命了套卷，即：全國I卷，全國II卷，全國III卷.小明同學(xué)馬上進(jìn)入高三了，打算從這套題中選出套體驗(yàn)一下，則選出的3套題年份和編號都各不相同的概率為（ ）ABCD3已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（）A-3B0C3D20194已知雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（ ）ABCD5已知分別是的內(nèi)角的的對邊，若，則的形狀為（）A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形6已知雙曲線：1，左右焦點(diǎn)分別為，過的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）AB11C12D167

3、是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則ABCD8已知的三邊滿足條件，則（ ）ABCD9已知函數(shù)在處取得極值，則的圖象在處的切線方程為（ ）ABCD10已知，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為，且，則（ ）ABCD11已知雙曲線與雙曲線，給出下列說法，其中錯(cuò)誤的是（ ）A它們的焦距相等B它們的焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上C它們的漸近線方程相同D它們的離心率相等12為考察共享經(jīng)濟(jì)對企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，

4、在函數(shù)的圖象上，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相同，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值為_.14已知，且，則，中至少有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為_15lg5+1g20+e0的值為_16若復(fù)數(shù)滿足(1+i)z=1+i3，則z的模等于三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）不等式的解集是 ，關(guān)于x的不等式的解集是 。(1)若,求； (2)若，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。18（12分）函數(shù)，實(shí)數(shù)為常數(shù).（I）求的最大值；（II）討論方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).19（12分）計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量

5、：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，如將年人流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（，）（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行最多，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年流入量發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為4000萬元，若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損600萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？20（12分）在直角坐標(biāo)系中，

6、曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，為參數(shù)）在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為（）求曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)，直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求的值21（12分）某城市理論預(yù)測2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示年份2010+x（年）01234人口數(shù)y（十萬）5781119(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (2) 據(jù)此估計(jì)2015年該城市人口總數(shù)22（10分）已知函數(shù)，其中均為實(shí)數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)（I）求函數(shù)的極值；（II）設(shè)，若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題

7、5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分類討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結(jié)論.【詳解】把空著的2個(gè)相鄰的停車位看成一個(gè)整體，即2輛不同的車可以停進(jìn)4個(gè)停車場，由題意,若2輛不同的車相鄰,則有種方法若2輛不同的車不相鄰,則利用插空法,2個(gè)相鄰的停車位空著,利用捆綁法,所以有種方法，不同的停車方法共有：種，綜上,共有12種方法，所以B選項(xiàng)是正確的.本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用,注意空位是相同的,是關(guān)鍵.2、D【解析】先計(jì)算出套題中選出套試卷的可能，再計(jì)算3套題年份和編號都各不相同的可能，通過古典概型公式可得答案.【詳解】通過題意，可知從這套題中選出套

8、試卷共有種可能，而3套題年份和編號都各不相同共有種可能，于是所求概率為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力，難度不大.3、B【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此求出、的值，進(jìn)而結(jié)合周期性分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則有，即，變形可得：，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性周期性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】由漸近線方程得出的值，結(jié)合可求得【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，解得，即離心率為故選：B

9、【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線和離心率，解題時(shí)要注意，要與橢圓中的關(guān)系區(qū)別開來5、A【解析】由已知結(jié)合正弦定理可得利用三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可得，整理可得從而有結(jié)合三角形的性質(zhì)可求【詳解】解：是的一個(gè)內(nèi)角，由正弦定理可得，又，即為鈍角，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)試題6、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義，得到，再根據(jù)對稱性得到最小值，從而得到的最小值.【詳解】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到，根據(jù)雙曲線的定義可得，所以得到，根據(jù)對稱性可得當(dāng)為雙曲線的通徑時(shí)，最小.此時(shí)，所以的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義求線段和的最小值，雙

10、曲線的通徑，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.7、D【解析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則可以直接求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式.【詳解】，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、D【解析】由題意首先求得的值，然后確定的大小即可.【詳解】由可得：，則，據(jù)此可得.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、A【解析】利用列方程，求得的值，由此求得，進(jìn)而求得的圖象在處的切線方程.【詳解】，函數(shù)在處取得極值，解得，于是，可得的圖象在處的切線方程為，即故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.10、

11、A【解析】由與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)可確定；利用二項(xiàng)式定理可分別求得和的展開式中項(xiàng)的系數(shù)，加和得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，與的圖象如下圖所示：可知與有且僅有個(gè)交點(diǎn)，即的根的個(gè)數(shù)為 的展開式通項(xiàng)為：當(dāng)，即時(shí)，展開式的項(xiàng)為：又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)的問題，涉及到函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解；解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒍?xiàng)式配湊為展開項(xiàng)的形式，從而分別求解對應(yīng)的系數(shù)，考查學(xué)生對于二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用能力.11、D【解析】根據(jù)題意，由兩個(gè)雙曲線的方程計(jì)算出兩個(gè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，焦距，漸近線方程以及離心率，進(jìn)而分析選項(xiàng)即可得到答案?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，雙曲線，其中，則，則焦距，焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程為

12、，離心率；雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，則，則焦距，焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線為，離心率；據(jù)此依次分析選項(xiàng)：兩個(gè)雙曲線的焦距均為，故A正確；雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，都在圓上，故B正確；漸近線方程均為，故C正確；雙曲線的離心率，雙曲線的離心率，離心率不相等，故選D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，解題時(shí)要注意將雙曲線的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，屬于基礎(chǔ)題。12、A【解析】根據(jù)選項(xiàng)中的等高條形圖看出共享與不共享時(shí)對企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度差異大小，從而得出結(jié)論【詳解】根據(jù)四個(gè)等高條形圖可知：圖形A中共享與不共享時(shí)對企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對該部門的發(fā)展有顯著效果故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查條形統(tǒng)計(jì)

13、圖的應(yīng)用，考查學(xué)生理解分析能力和提取信息的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，設(shè)B的坐標(biāo)為，結(jié)合題意分析可得A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的直角邊長為2，據(jù)此可得，即，計(jì)算可得m的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)B的坐標(biāo)為，如圖：又由是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形且點(diǎn)A，C的縱坐標(biāo)相同，則A、B的橫坐標(biāo)相同，故A的坐標(biāo)為，C的坐標(biāo)為，等腰直角三角形的直角邊長為2，則有，即，解可得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)值的計(jì)算，屬于中檔題14、，均不大于1（或者且）【解析】假設(shè)原命題不成立，即找，中至少有一個(gè)大于1的否定即可.【詳解

14、】x，y中至少有一個(gè)大于1，其否定為x，y均不大于1，即x1且y1，故答案為：x1且y1【點(diǎn)睛】本題考查反證法，考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】利用對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解，得到答案【詳解】由題意，可得，故答案為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題16、1【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)z，由此能求出|z|【詳解】復(fù)數(shù)滿足(1+i)z=1+iz=1+|z|=1故答案為1【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)

15、數(shù)、復(fù)數(shù)的摸這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 (1) (2) 【解析】(1)解集合A，當(dāng)解得集合B,從而可得；（2）由可得，對m進(jìn)行討論得出集合B的范圍即可得出m范圍.【詳解】（1）,解得即，由得，所以,所以;(2) 即 (i),所以且，得；(ii),所以且，得；綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式和二次不等式的解法，集合交集的運(yùn)算，集合補(bǔ)集運(yùn)算的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.18、（）（）見解析【解析】（1）直接對函數(shù)進(jìn)行求

16、導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值；（2）對方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過對參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)存在定理等，判斷函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（）的導(dǎo)數(shù)為.在區(qū)間，是增函數(shù)；在區(qū)間上，是減函數(shù).所以的最大值是.（），方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).在區(qū)間上，是減函數(shù)；在區(qū)間上，是增函數(shù).在處取得最小值.當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，是增函數(shù)，并且.，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)；在區(qū)間上，是減函數(shù)，并且，所以在區(qū)間上有唯一零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，原方程有唯一的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】在使用零點(diǎn)存

17、在定理時(shí)，證明在某個(gè)區(qū)間只有唯一的零點(diǎn)，一定要證明函數(shù)在該區(qū)間是單調(diào)的，且兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值相乘小于0；本題對數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想等進(jìn)行綜合考查，對解決問題的綜合能力要求較高.19、（1）；（2）2臺.【解析】（1）求出，由二項(xiàng)分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率（2）記水電站的總利潤為（單位，萬元），求出安裝1臺發(fā)電機(jī)、安裝2臺發(fā)電機(jī)、安裝3臺發(fā)電機(jī)時(shí)的分布列和數(shù)學(xué)期望，由此能求出欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)的臺數(shù)【詳解】解：（1）依題意，由二項(xiàng)分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為： （2）記水電站的總利潤為Y（單

18、位，萬元）安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形：由于水庫年入流總量大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年利潤， 安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形：依題意，當(dāng)時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，由此得Y的分布列如下Y34008000P0.20.8所以安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形：依題意，當(dāng)時(shí)，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，由此得Y的分布列如下Y2800740012000P0.20.70.1所以綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查

19、運(yùn)算求解能力，是中檔題20、（），；（）7.【解析】（）直接把曲線C的參數(shù)方程平方相加，可以消除參數(shù)，得到普通方程，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程；（）先寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程，代入曲線方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及的幾何意義，即可求出。【詳解】(I) 曲線C的普通方程:，直線l的直角坐標(biāo)方程：；（II）設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入，得，故；設(shè)對應(yīng)的對數(shù)分別為，則，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化。易錯(cuò)點(diǎn)是在應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義時(shí)，參數(shù)方程必須是標(biāo)準(zhǔn)式，否則容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。21、（