2022年北京師大附中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線AB與直線l垂直，則直線l的傾斜角是（）A30B60C120D1502下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）命題“若，則”；命題“且為真，則有且只有一個(gè)為真命題”

2、；命題“所有冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)”；命題“已知是的充分不必要條件”.A1B2C3D43如圖，在ABC中，AN=12AC，P是A14B1C124若全集，集合，則（ ）ABCD5雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是ABCD6九章算術(shù)是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.其中方田一章中記載了計(jì)算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式：弧田面積=12（弦矢矢矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為23，弦長為403m的弧田.其實(shí)際面積與按照上述經(jīng)驗(yàn)公式

3、計(jì)算出弧田的面積之間的誤差為（ ）平方米.（其中A15B16C17D187若拋物線,過其焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),則的最小值為( )A6BC9D8已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD9把4個(gè)蘋果分給兩個(gè)人，每人至少一個(gè)，不同分法種數(shù)有()A6B12C14D1610點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ）A B C D11在等比數(shù)列中，已知，則的值為（ ）ABCD12設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13有7張卡片分別寫有數(shù)字從中任取4張，可排出不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是_14學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項(xiàng)參賽作品，只

4、評一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品獲獎(jiǎng)情況預(yù)測如下：甲說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”； 乙說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說：“兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”； 丁說：“或作品獲得一等獎(jiǎng)”.評獎(jiǎng)揭曉后發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位預(yù)測正確，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是_.15若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_16平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換后的點(diǎn)Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)與Q的直角坐標(biāo)相同的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖所示，在ABC中，abcos Cccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，在四面體PABC中，

5、S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小寫出對四面體性質(zhì)的猜想，并證明你的結(jié)論18（12分）足球是世界普及率最高的運(yùn)動(dòng)，我國大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，社會(huì)調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份x20142015201620172018足球特色學(xué)校y（百個(gè)）0.300.601.001.401.70（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.（已知：，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較）：（2）求y關(guān)于x的線性

6、回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)（精確到個(gè)）.參考公式和數(shù)據(jù)：，.19（12分）如圖，在四邊形中，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.20（12分）已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.21（12分）央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節(jié)目的收視時(shí)間情況，隨機(jī)抽取了某市名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中有名男觀眾和名女觀眾，將這名觀眾收視時(shí)間編成如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘），收視時(shí)間在分鐘以上（包括分鐘）的稱為“朗讀愛好者”，收視時(shí)間在分鐘以下（不包括分鐘）的稱

7、為“非朗讀愛好者”.（1）若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和“非朗讀愛好者”中隨機(jī)抽取名，再從這名觀眾中任選名，求至少選到名“朗讀愛好者”的概率；（2）若從收視時(shí)間在40分鐘以上（包括40分鐘）的所有觀眾中選出男、女觀眾各1名，求選出的這兩名觀眾時(shí)間相差5分鐘以上的概率.22（10分）在一次考試中，某班級50名學(xué)生的成績統(tǒng)計(jì)如下表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀分?jǐn)?shù)697374757778798082838587899395合計(jì)人數(shù)24423463344523150經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差為評判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)閄，

8、并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判：；評判規(guī)則：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個(gè)不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層抽樣的方式從3個(gè)層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，再從抽出的10名學(xué)生中隨機(jī)抽出4人進(jìn)行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機(jī)變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】首先求直線的斜率，再根據(jù)兩直線垂直，求直線的斜率，以及傾斜角.【詳解】，直線l的傾斜角是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了

9、兩直線垂直的關(guān)系，以及傾斜角和斜率的基本問題，屬于簡單題型.2、C【解析】令，研究其單調(diào)性判斷.根據(jù)“且”構(gòu)成的復(fù)合命題定義判斷.根據(jù)冪函數(shù)的圖象判斷.由，判斷充分性，取特殊值判斷必要性.【詳解】令，所以在上遞增所以，所以，故正確.若且為真，則都為真命題，故錯(cuò)誤.因?yàn)樗袃绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，故正確.因?yàn)?，所以，故充分性成立，?dāng)時(shí)，推不出，所以不必要，故正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】以AB,AC 作為基底表示出【詳解】P，N分別是AP=又AP=mAB+【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯推

10、理能力4、C【解析】分別化簡求解集合U,A，再求補(bǔ)集即可【詳解】因?yàn)椋?故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力.5、C【解析】分析：由題意求出，則，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)詳解：由雙曲線，可得，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是選C.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】分析：先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積，再利用扇形面積減去三角形面積得實(shí)際面積，最后求兩者之差.詳解：因?yàn)閳A心角為23，弦長為403m因此根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出弧田的面積為12實(shí)際面積等于扇形面積減去三角形面積，為12因此兩者之差為16003點(diǎn)睛：扇形面積公式12lr=127、B【解析】分析：設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組

11、得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出關(guān)于A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)的式子，使用基本不等式得出最小值.詳解：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，則，由拋物線的性質(zhì)得，.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.8、C【解析】由已知求得，再由，即可求得的范圍，得到答案【詳解】由題意，集合，可得，又由，所以故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，以及利用集合的運(yùn)算求解參數(shù)的范圍，其中解答中熟記集合基本運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】給兩個(gè)人命名為甲、乙，根據(jù)甲分的蘋果數(shù)進(jìn)行分類即可求出【詳解】按照分給甲的蘋果數(shù)，

12、有種分法，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用10、A【解析】試題分析：,又點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.故A正確.考點(diǎn)：1直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的互化.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的互化,屬容易題. 根據(jù)公式可將直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間互化,當(dāng)根據(jù)求時(shí)一定要參考點(diǎn)所在象限,否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.11、D【解析】根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列得到公比，再由數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，故得到進(jìn)而得到，則 故答案為：D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)的求法，是簡單題.12、C【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，從而可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)

13、，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由此可知函數(shù)在和處取得極值，并且在處取得極大值，在處取得極小值，所以的圖象最有可能的是C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和分析能力.解決此類問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，一定要注意極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、114【解析】根據(jù)題意,按取出數(shù)字是否重復(fù)分4種情況討論:、取出的4張卡片中沒有重復(fù)數(shù)字,即取出的4張卡片中的數(shù)字為1、2、3、4;、取出的4張卡片中4有2個(gè)重復(fù)數(shù)字，則2個(gè)重復(fù)的數(shù)字為1或2;若取出的4張卡片為2

14、張1和2張2;、取出的4張卡片種有3個(gè)重復(fù)數(shù)字，則重復(fù)的數(shù)字為1.分別求出每種情況下可以排出四位數(shù)的個(gè)數(shù),由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：(1)取出的4張卡片中沒有重復(fù)數(shù)字,即取出的4張卡片中的數(shù)字為1、2、3、4，此時(shí)=24種順序,可以排出24個(gè)四位數(shù);(2)取出的4張卡片中有2個(gè)重復(fù)數(shù)字,則2個(gè)重復(fù)的數(shù)字為1或2，若重復(fù)的數(shù)字為1,在2、3、4中取出2個(gè),有種取法,安排在四個(gè)位置中,有種情況,剩余位置安排數(shù)字1,可以排出312=36個(gè)四位數(shù),同理,若重復(fù)的數(shù)字為2,也可以排出36個(gè)重復(fù)數(shù)字;(3)若取出的4張卡片為2張1和2張2,在4個(gè)位置安排兩個(gè)1,有種情況,

15、剩余位置安排兩個(gè)2,則可以排出61=6個(gè)四位數(shù);(4)取出的4張卡片中有3個(gè)重復(fù)數(shù)字,則重復(fù)的數(shù)字為1,在2、3、4中取出1個(gè)卡片,有 種取法,安排在四個(gè)位置中,有 種情況,剩余位置安排1,可以排出34=12個(gè)四位數(shù);所以一共有24+36+36+6+12=114個(gè)四位數(shù).故答案為:114.【點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用,屬于難題,有關(guān)排列組合的綜合問題,往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題,解答這類問題理解題意很關(guān)鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí),既不能重復(fù)交叉

16、討論又不能遺漏,這樣才能提高準(zhǔn)確率,難度較難.14、C【解析】若獲得一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的話是對的,與已知矛盾;若獲得一等獎(jiǎng),則四人的話是錯(cuò)誤的,與已知矛盾;若獲得一等獎(jiǎng),則乙、丙的話是對的,滿足題意;所以獲得一等獎(jiǎng)的作品是.15、【解析】實(shí)數(shù)滿足，可得，分別令，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)與的點(diǎn)之間的距離的最小值， ，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)為，則，解得，可得切點(diǎn)，切點(diǎn)到直線的距離. 的最小值為，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功

17、效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.本題巧妙地將最值問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，再根據(jù)幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離公式求解.16、3.【解析】由點(diǎn)P的直角坐標(biāo)求出伸縮變換后的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)看作極坐標(biāo)，根據(jù)極坐標(biāo)的性質(zhì)距離為，將極坐標(biāo)代入即可求出距離【詳解】點(diǎn)P經(jīng)伸縮變換后，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，將點(diǎn)Q看作極坐標(biāo)，則距離為.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的伸縮變換以及極坐標(biāo)的性質(zhì)，注意題目中給出的點(diǎn)P的坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，不要看錯(cuò)題目，并且注意距離為正數(shù)，要有絕對值.

18、三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、SS1cos S2cos S3cos 【解析】類比三角形中的結(jié)論，猜想在四面體中的結(jié)論為SS1cos S2cos S3cos .證明：如圖，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，連接，就是平面PAB與底面ABC所成的二面角，則，同理，又，SS1cos S2cos S3cos .考點(diǎn)：類比推理.18、（1） ，y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)（2），244【解析】（1）根據(jù)題意計(jì)算出r，再比較即得解；（2）根據(jù)已知求出線性回歸方程，再令x=2020即得解.【詳解】（1）由題得所以，y與x線性相關(guān)性很強(qiáng).（2），關(guān)于的線性回歸方程是.當(dāng)時(shí)，即該

19、地區(qū)2020年足球特色學(xué)校有244個(gè).【點(diǎn)睛】本題主要考查相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用，考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.19、（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（）在梯形中，設(shè)，題意求得,再由余弦定理求得,滿足,得則.再由平面得，由線面垂直的判定可.進(jìn)一步得到丄平面;（）分別以直線為:軸，軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ,令得到的坐標(biāo)，求出平面的一法向量.由題意可得平面的一個(gè)法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得當(dāng)時(shí)，有最小值為,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.試題解析：（）證明：在梯形中，,設(shè)，又,.則.平面,平面，,而,平面.,平面.（）解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖

20、所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，令，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，是平面的一個(gè)法向量，當(dāng)時(shí)，有最小值為，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為.20、（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間是，沒有減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間是（0,1）和，減區(qū)間是.【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出切線方程的點(diǎn)斜式方程，整理化簡即可；（2）求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)對導(dǎo)數(shù)正負(fù)的影響對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求得對應(yīng)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）若，導(dǎo)函數(shù)為.依題意，有，則切線方程為，即.（2），當(dāng)時(shí)，由，得，則函數(shù)的增區(qū)間是（0,1），減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，由，得，再討論兩根的大小關(guān)系；當(dāng)時(shí)