傅里葉級數(shù)-變換創(chuàng)新課件

1、第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.1 信號分解為正交函數(shù) 4.2 傅里葉級數(shù) 4.3 周期信號的頻譜 4.4 非周期信號的頻譜（傅里葉變換） 4.5 傅里葉變換的性質(zhì) 4.6 周期信號的傅里葉變換 4.7 LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 4.8 取樣定理本章主要內(nèi)容: 變換域分析的基本思想仍為：將信號分解為基本信號之和或積分的形式，再求系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，從而求出系統(tǒng)對給定信號的響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011

2、Aspose Pty Ltd.在第二章中我們以為基本信號將任意信號進行分解其中h(t)反映了系統(tǒng)的特性。(虛指數(shù)函數(shù)) 為基本信號本章以正弦函數(shù)或任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦或 虛指數(shù)函數(shù)之和。任意非周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦或虛 指數(shù)函數(shù)積分。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.具有一定幅度和相位，角頻率為的虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI連續(xù)系統(tǒng)時，所引起的響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))是同頻率的

3、虛指數(shù)函數(shù)，可表示為： 系統(tǒng)的影響表現(xiàn)為頻率響應(yīng)函數(shù)，它是信號角頻率的函數(shù)，而與時間t無關(guān)，用于系統(tǒng)分析的獨立變 量為，故稱之為頻域分析。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.信號分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的 概念相似。 為各相應(yīng)方向的正交單位矢量。 它們組成一個二維正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中的任意信號均可

4、表示成它們的線性組合。4.1 信號分解為正交函數(shù)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（3）完備正交函數(shù)集之外不存在函數(shù) 如果在正交函數(shù)集 滿足等式 ，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。 在區(qū)間 內(nèi)組成完備正交函數(shù)集。對于復(fù)函數(shù):若復(fù)函數(shù)集 在區(qū)間 滿足 ，則稱此復(fù)函數(shù)集為正交函數(shù)集。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client

5、Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.復(fù)函數(shù)集 在區(qū)間 內(nèi)是完備的正交函數(shù)集。 其中 。二、信號分解為正交函數(shù)設(shè)有n個函數(shù) 在區(qū)間 構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù) 用這 個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為： Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4.2 傅里葉級數(shù) 將周期信號 在區(qū)間 內(nèi)展開成完備正交信號空間中的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)

6、集 是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的 無窮級數(shù)就分別稱為“三角形傅里葉級數(shù)”或“指數(shù)形傅 里葉級數(shù)”，統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.一、周期信號的分解設(shè)有一個周期信號 ，它的周期是 ，角頻率 ，它可分解為：其中 稱為傅里葉系數(shù)， 。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Prof

7、ile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.那么,傅里葉系數(shù)如何求得呢?式中：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由上式可見， 是 的偶函數(shù) ， 是 的奇函數(shù)， 由于是同頻率項,因此可將其合并 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Cop

8、yright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.式中： 則有 可見， 是 的偶函數(shù)，即有 而 是的奇函數(shù)，即有 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.可見，任何滿足狄里赫利條件的周期信號均可分解為直 流分量 ，一次諧波或基波 ，它的角 頻率與原周期信號相同，二次諧波 ， 以此類推，三次，四次等諧波。 一般而言 稱為 次諧波 ， 是 次諧波的振幅， 是其初相角。 *結(jié)論：周期信號可分解為各次諧

9、波分量之和。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Pro

10、file .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.TT/ 20t(a)基波0T/ 2Tt(b)基波+三次諧波0T/ 2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波0T/ 2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波+七次諧波圖 4.2-3 方波的組成Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（1）所取項愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號。（2）所取項數(shù)愈多，在間斷點附近，

11、尖峰愈靠近間斷點。（3）即使 ，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，有 的偏差。但在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。 (吉布斯現(xiàn)象）主體 -低頻 細(xì)節(jié)-高頻Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.若給定的 有某些特點，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零從而式計算較為簡便。（1） 為偶函數(shù)則有 ，波形對稱于縱坐標(biāo)。 二、奇偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)Evaluation only.Created with Aspos

12、e.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.從而有 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（2） 為奇函數(shù)則有 ，波形對稱于原點。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Cop

13、yright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.進而有這時有Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.如果 的前半周期波形移動 后，與后半周期波形 對稱于橫軸即： ，稱為奇諧函數(shù)。 此時傅里葉級數(shù)展開式中將只含有奇次諧波分量，而不 含有偶次諧波分量。即 0t-TT-T/ 2f (t)T/ 21-1圖 4.2-6 奇諧函數(shù)（3） 為奇諧函數(shù)Evaluation only.Created with

14、Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例4.2-2 正弦交流信號 經(jīng)全波或半波整流后的波形分別如下圖所示。求它們的傅里葉級數(shù)展開式。（a）全波整流信號 （b）半波整流信號解 （1）全波整流信號圖（a）的全波整流信號可寫成（其周期 ， 為原正弦信號角頻率 ） Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose

15、 Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.可見，它除直流外，僅含有 的偶次諧波。 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.想一想：本題中若把 f1(t)看成以T/2為周期，則 Evaluation only.

16、Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.由于它仍是的偶函數(shù)，故 ，Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.令 ，則 對上式進行變量替換: Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Cli

17、ent Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.（2）半波整流信號圖（b）的半波整流信號可寫為（其周期 ）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Asp

18、ose Pty Ltd.它的傅里葉級數(shù)可直接由下式求出Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides fo

19、r .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.本題也可將它分解成奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分： Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-20

20、11 Aspose Pty Ltd.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.討論 關(guān)于n的奇偶性。是n的偶函數(shù)。是n的奇函數(shù)。是n的偶函數(shù)。是n的奇函數(shù)。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式將上式

21、第三項中的 用 代換，并考慮到 是 的偶函數(shù)，即 ； 是 的奇函數(shù), 則上式可寫為 :Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.如將上式中的 寫成 （ ）， 則上式可以寫成:Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.令復(fù)數(shù)量 ，

22、稱其為復(fù)傅里葉 系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。其模為 ，相角為 ， 則得傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式為 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.復(fù)傅里葉系數(shù) Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile .Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.這就是求指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù) 的公式。 任意周期信號 可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號 之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）為 。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Cli