熱力學統(tǒng)計物理

1、1.9試證明：理想氣體在某一過程中的熱容量如果是常數(shù)，該過程一定C - C 一是多方過程，多方指數(shù)n = 一一p。假設(shè)氣體的定壓熱容量和定容熱容量是常量。C - Cn V解：根據(jù)熱力學第一定律，有dU = dQ + dW.（1）對于準靜態(tài)過程有dW = pdV,對理想氣體有dU = C dT,氣體在過程中吸收的熱量為dQ = C dT,因此式（1）可表為（C -C ）dT = pdV.（2）用理想氣體的物態(tài)方程pV = vRT除上式，并注意C - C = vR,可得（C -C ）虹=（C -C ）戲.（3）n v t p y V將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有（4）（4）（5）式（3）與式（

2、4）聯(lián)立，消去dT，有T(C - CV)dp + (C令n = np，可將式（5）表為C - CnV（6）如果c , Cv和Cn都是常量，將上式積分即得pVn = C （常量）。（7）式（7）表明，過程是多方過程。2.8證明2.8證明并由此導出c = C0 + TfV (祭dV,V VVo aT2 JvCp = C0 - TH斜 dp.0p根據(jù)以上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容呈只是溫度T的函數(shù).解：式（2.2.5）給出(as （1）T勺（1）Et JV以T，V為狀態(tài)參量，將上式求對V的偏導數(shù)，有avaT)avaT)T La = T (竺aTav) aT2 JV（2）其中第二步交換了

3、偏導數(shù)的求導次序，第三步應(yīng)用了麥氏關(guān)系（2.2.3）.由理 想氣體的物態(tài)方程pV = nRT知，在V不變時，p是T的線性函數(shù)，即官=0.aT 2 JV（aC 所以弟=0.av JT這意味著，理想氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù).在恒定溫度下將式（2） 積分，得C = C0 + Tf V性dV.（3）V VvaT 2V式（3）表明，只要測得系統(tǒng)在體積為V0時的定容熱容量，任意體積下的定容熱 容量都可根據(jù)物態(tài)方程計算出來.同理，式（2.2.8）給出Cp= T 1.p以Cp= T 1.p以T, p為狀態(tài)參量，將上式再求對p的偏導數(shù)，有(dCpapaTaT apaT2(5)Tp其中第二步交換了求偏導數(shù)

4、的次序，第三步應(yīng)用了麥氏關(guān)系(2.2.4).由理想 氣體的物態(tài)方程pV = nRT知，在p不變時V是T的線性函數(shù)，即(a 2V) =0.8T 2 )p所以(ac )TI =0.I ap)T這意味著理想氣體的定壓熱容量也只是溫度T的函數(shù).在恒定溫度下將式(5)積分，得.(a2V C = C0 + Tj P dp.pp aT 211p0U 1 7p式(6)表明，只要測得系統(tǒng)在壓強為p0時的定壓熱容量，任意壓強下的定壓熱 容量都可根據(jù)物態(tài)方程計算出來.3.12蒸氣與液相達到平衡.以虬表示在維持兩相平衡的條件下，蒸氣體 dT積隨溫度的變化率.試證明蒸氣的兩相平衡膨脹系數(shù)為E =1 (1 -L.V dT

5、 T RT)解：蒸氣的兩相平衡膨脹系數(shù)為(1)將蒸氣看作理想氣體，pVm = RT，則有在克拉珀龍方程中略去液相的摩爾體積，因而有將式（2）和式（在克拉珀龍方程中略去液相的摩爾體積，因而有將式（2）和式（3）代入式（1）,即有（2）(3)1 dV _ 1 VdfT4.1若將U看作獨立變量T,V,七,n的函數(shù)，試證明:（a（a）SU ni Sn(b)u =SU + u 竺i Sni SVi解：（a）多元系的內(nèi)能U = U（T,V,n，,n ）是變量V,n，,n的一次齊函數(shù).1 k1 k根據(jù)歐勒定理（式（4.1.4），有(1)式中偏導數(shù)的下標指全部k個組元，n j指除i組元外的其他全部組元.0）式

6、（4.1.7）已給出V = E氣v廣U = 咎（2）i其中vi保)iT, p, nj偏摩爾體積和偏摩爾內(nèi)能.將式（2其中vi保)iT, p, nj偏摩爾體積和偏摩爾內(nèi)能.將式（2）代入式 nu=Z n v.i i . lSV )ii(SU AT，ni+ ni l Sn i(3)T，V，nj上式對的任意取值都成立，故有(4)T,n.上式對的任意取值都成立，故有(4)4. 2證明日(T,p,n，/ )是，n的零次齊函數(shù)i1 k 1 ky EZ n2 n i- = 0.idn解：根據(jù)式（4.1.9），化學勢日是,組元的偏摩爾吉布斯函數(shù) i竺、1 T,p,n.G是廣延量，是，的一次齊函數(shù)，即1 kG（

7、T,p,Xn ,Xn ） = *G（7p, TOC o 1-5 h z ik將上式對人求導，有左方二gG（7p,人，人）跳1 kr?、G（T,p,Xn，人 ）g（人）dXn）i aXii異G（7，P，人七，漏.）ii= n.（T,p,Xn ）,i i1kkG(kG(T.p.n，/ )i kP，n，/ )1 k以L= G(T,=口(r,p,).i i1 k令式（3）與式（4）相等，比較可知pm，/ ).1 k日何,p,Xn，,）= pi（pm，/ ).1 k上式說明日是，/的零次齊函數(shù).根據(jù)歐勒定理（式（4.1.4）,有i 1 k(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(5)(6)7.13試證

8、明，單位時間內(nèi)碰到單位面積器壁上，速率介于u與u + du之間的 分子數(shù)為dr dr (v )二兀 n3-m2 e2kTv u3du.解：參照式（7.3.16），單位時間內(nèi)碰到法線方向沿z軸的單位面積器壁上， 速度在du du du范圍內(nèi)的子數(shù)為dr = fu du du du .（1）z 尤 y z用速度空間的球坐標，可以將式（1）表為dr = fu cos 0 u 2sin 0 dud。d0（2）n對d0和d中積分，0從0到，中從0到2n,有2上 sin 0 cos 0 d0 j2n dp = n.00因此得單位時間內(nèi)碰到單位面積器壁上，速率介于u與u + du之間的分子數(shù)為（3）dr (

9、u )= （3）8.7計算溫度為T時，在體積V內(nèi)光子氣體的平均總光子數(shù)，并據(jù)此估算（a）溫度為1000K的平衡輻射.（b）溫度為3K的宇宙背景輻射中光子的數(shù)密度.解：式（8.4.5）和（8.4.6）已給出在體積V內(nèi)，在到3 + do的圓頻率范 圍內(nèi)光子的量子態(tài)數(shù)為 TOC o 1-5 h z D 0）do = - 3 2do.（1）n 2 c 3溫度為T時平均光子數(shù)為N （3, T ）d3 = D f”3.（2）23 e kT 1因此溫度為T時，在體積V內(nèi)光子氣體的平均光子數(shù)為N（T）= 產(chǎn)怦.（3）n 2 c3 0-3e kT 1引入變量x = 33，上式可表示為/ V (kT )3 X2dxN(T)=Ln 2 c 31 方 J 0 e x -1k 3=2.404 VT 3.或n(T )= 2.404 T 3.(3)n 2 c 3 方3在1000K下，有n 機 2 x 1016 m -3.在3K下，有n 葛 5.5 x 108m-3.8.14試求絕對零度下自由電子氣體中電子的平均速率.解：根據(jù)式（8.5.4），絕對零度下