量子力學基礎09級

1、上次課內容回顧普朗克能量子假說首次引入量子概念1愛因斯坦的光量子假說光的波粒兩象性。2第四節(jié).實物粒子的波動粒子兩象性1924年11月24日，巴黎大學理學院舉行博士論文答辯會。答辯的內容令參加答辯的教授驚訝萬分。答辯人叫Louis de Broglie,是一名世襲的法國親王，原來是學歷史的，后來轉攻物理學。3德布洛意物質波假說德布洛意認為，愛因斯坦把原來僅具有波動性的電磁波賦予了粒子性，并成功地解釋了光電效應，那么反過來，粒子應該有波動性！即波粒兩象性同樣適用于實物粒子！在愛因斯坦理論中，光的波粒兩象性集中體現在以下公式中德布洛意假定所有實物也都具有波動性，也符合上述公式4德布洛意物質波假說與

2、實物粒子相聯系的波稱為德布洛意波(物質波)5德布洛意物質波假說由于德布洛意的想法太過創(chuàng)新，答辯委員們都將信將疑，但其從物理學最基本原理的假定出發(fā)所作的推理的嚴密性確實無懈可擊，答辯委員會還是決定授予德布洛意博士學位。6德布洛意物質波假說雖然論文答辯通過了，但由于沒有實驗證據，教授們也認為物質波的概念沒有什么實際意義。直到愛因斯坦由于朗之萬的推薦，注意到了德布洛意的思想，意識到這一思想的深刻意義，才引起物理學界的重視。三年后電子的波動性獲得實驗證實，物質波概念也第一次獲得實驗驗證，兩年之后，即1929年，德布洛意獲得諾貝爾獎。7實物粒子波動性實驗1927年美國的戴維孫和革末實驗證實了實物粒子波動

3、性觀察到在晶體表面電子的衍射現象與x射線的衍射現象相類似電子槍探測器鎳單晶加速電極-電子具有波動性8實物粒子波動性實驗同年，小湯姆遜的電子束穿過多晶薄膜后的衍射實驗，得到了與x射線實驗極其相似的衍射圖樣x-射線電子戴維孫和小湯姆遜同獲1937年諾貝爾物理學獎大量實驗證實除電子外，中子、質子以及原子、分子等都具有波動性，且符合德布洛意公式-一切微觀粒子都具有波動性9第二章 波函數和薛定格（ Schrdinger）方程 第一節(jié) 德布洛意波的統(tǒng)計解釋愛因斯坦和德布洛意都把波和粒子混在一起，那么到底應該如何理解？（1）經典粒子具有“顆粒性”、“原子性”，即它在空間占據一個小小的局部位置。有確定的大小，

4、有固有質量、電荷等等，而且在它們與其他物質相互作用時是整體地發(fā)生作用，即所謂的“整體性”（2）經典粒子具有一條確切的運動軌道。（3）經典粒子的狀態(tài)用它的物理量來表征。這些物理量在任何時刻均取確定值，且可以取連續(xù)變化的值。狀態(tài)的運動方程為牛頓第二定律。10第一節(jié) 德布洛意波的統(tǒng)計解釋從經典波動概念來看：（1）經典波是指可以在空間任何地方進行傳播的周期性擾動（如水波、聲波、電磁波等）（2）經典波總是意味著某種實際的物理量在空間分布的周期性變化。描述波的物理量是頻率和波矢。不同原因引起的波動遵守各自的波動方程，如電磁波遵守麥克斯韋方程。波動的最基本的特征是呈干涉和衍射的現象。干涉和衍射的本質在于波的

5、疊加性。 11第一節(jié) 德布洛意波的統(tǒng)計解釋從經典理論的觀點出發(fā)，“微粒性”和“波動性”是完全無法統(tǒng)一起來的。但在微觀粒子一身之上卻兼有二職，即表現有微粒性又表現有波動性，這種現象應該如何理解呢？物理學家費曼（ Feynman ）曾說過： “電子即不是粒子也不是波” ，同樣也可以說電子既是粒子也是波。但它即非經典意義下的粒子，也非經典意義下的波。電子所表現出來的“粒子性”只是指經典粒子的“原子性”和“整體性”，即總是以具有一定的質量、電荷等屬性的客體存在著。電子所出現的“波動性”也只是僅僅指波的“疊加性”。 12第一節(jié) 德布洛意波的統(tǒng)計解釋物質波在空間某處的強度與在該處發(fā)現粒子的幾率成正比，即與

6、位置的幾率成正比。量子力學就是在物質波假說及其統(tǒng)計解釋的基礎上建立和發(fā)展起來的。 根據實驗資料的分析，德國物理學家玻恩在 1927 年提出了物質波的統(tǒng)計解釋：13第一節(jié) 德布洛意波的統(tǒng)計解釋14第二節(jié) 狀態(tài)及狀態(tài)的描述所謂已知狀態(tài)，無論是經典的還是量子的，無非是指已知特征體系物理性質的全部物理量。 在經典力學中，質點的力學狀態(tài)，是用它的全部物理量（如位置、動量、能量等等）及其隨時間變化的表征。只要知道了質點的軌道函數和初始條件，就可以完全知道其他如動量、能量等物理量及其隨時間的變化，達到完全描述該質點狀態(tài)的目的。15第二節(jié) 狀態(tài)及狀態(tài)的描述對體系物理量進行測量的結果或者理論計算的結果都表明，質

7、點在完全相同的條件下，在任何時刻，標志其物理性質的全部物理量都取完全確定的值。在量子理論中，描述量子體系狀態(tài)的不是相應物理量的取值，而是相應物理量的取值幾率，以及物理量取值幾率隨時間的變化。16第二節(jié) 狀態(tài)及狀態(tài)的描述也就是說要想知道量子體系在某一宏觀條件下，在某一時刻的狀態(tài)，只要知悉在此時刻所有力學量的幾率分布就可以了。隨著時間的變化體系的狀態(tài)發(fā)生變化，其力學量的取值幾率也變化了。與經典力學相似，為了能夠定量地描述量子體系的狀態(tài)，同樣應該要求用來描述狀態(tài)的函數能夠預言出量子體系所有力學量的取值幾率分布及其隨時間的變化。17第二節(jié) 狀態(tài)及狀態(tài)的描述描述波的數學表達式稱為波函數（r,t)，波的強

8、度就是波振幅的平方在量子理論體系中用波函數來作為描述狀態(tài)的函數。18波函數沿x方向傳播的平面波波動方程為上式為下面復數形式的實數部分為區(qū)別一般的波，奧地利物理學家薛定格提出用物質波波函數描述微觀粒子的運動狀態(tài).1933年獲得諾貝爾物理學獎19波函數經典波描寫實在物理量在空間中的傳播過程根據波恩的統(tǒng)計解釋，微觀粒子的位置幾率正比于波的強度,那么在t時刻，在r點發(fā)現粒子的幾率就是幾率波不代表實在物理量的傳播過程，波函數本身沒有直接的物理意義20波函數 對能量為E、動量為p的自由粒子，其平面物質波波函數為自由粒子在三維空間運動時有21波函數波函數的強度為-幾率密度是 的共軛復數根據波恩的統(tǒng)計解釋，微

9、觀粒子的位置幾率正比于波的強度,那么在t時刻，在r附近的小體積元 內發(fā)現粒子的幾率就是22波函數 在整個空間總能找到粒子，應有從而，粒子的幾率密度公式為23波函數如果粒子的狀態(tài)用 （c為復常數）來描述， 事實上，兩個波函數給出的全部物理信息是完全相同的。這說明，波函數相差一個常數因子時，所描述的狀態(tài)是一樣的！24波函數波函數的標準條件單值:某時刻粒子出現在某點的概率唯一有限:粒子出現的概率應有限（平方可積）連續(xù):不應出現突變(可導)波函數的這個特點使得我們可以選擇一個恰當的常數因子構成波函數，以使這樣選出的波函數可以大大簡化我們的計算。這樣的波函數就是歸一化波函數，相應的常數稱歸一化因子，選擇

10、歸一化因子的過程叫歸一化過程。25第二節(jié) 狀態(tài)及狀態(tài)的描述正像經典力學中軌道函數和初始條件可以完全描述質點的狀態(tài)，在量子體系中，利用波函數和初始條件就可以描述粒子體系的所有物理量取值幾率，也就知道的量子體系的狀態(tài)。量子理論的第一條基本原理：量子體系的任意狀態(tài)，總可以用相應的波函數加以完全的描述。26第二節(jié) 狀態(tài)及狀態(tài)的描述對于波函數為 的一個粒子，在 t 時刻在空間r處發(fā)現該粒子的幾率是量子理論的第二條基本原理是狀態(tài)疊加原理，若量子體系具有一系列互異的可能狀態(tài)： 則它們的線性組合也是該體系一個可能的狀態(tài)。27量子力學中的狀態(tài)疊加原理比經典波動理論的疊加原理所包含的內容要深刻得多。設量子體系處于

11、用 描述的狀態(tài)，測得某一力學量值為 L1 ；而該體系處于 描述狀態(tài)時，測得該力學量之值為 L2 ，則 和 的疊加態(tài)為當該體系處于用 描述的狀態(tài)時，測該力學量的值已不再得到唯一的一個值了，或者是 L1 或者是 L2 ，但不會出現其他的值，并且出現 L1 的幾率和出現 L2 的幾率是相對確定的。這里要注意：疊加導致了觀測結果的不確定性。28不確定關系（測不準原理）經典力學：運動物體具有完全確定的位置、動量、能量、角動量等微觀粒子：由于波動性，粒子以一定的幾率在空間出現-粒子在任一時刻不具有確定的位置同樣，動量、能量和角動量等也是不確定的。29不確定關系（測不準原理）1927年德國物理學家海森伯由量

12、子力學得到位置與動量不確定量之間的關系1932年獲諾貝爾物理學獎30不確定關系（測不準原理）說明：不確定性關系說明微觀粒子不可能同時具有確定的位置和動量；粒子位置的不確定量越小，動量的不確定量就越大，反之亦然不確定性關系僅是波粒二象性及其統(tǒng)計關系的必然結果，而不是測量儀器對粒子的干擾，也不是儀器的誤差所致31不確定關系（測不準原理）例設電子在原子中運動的速度為 106m/s，原子的線度約為10-10m，求原子中電子速度的不確定量解：原子中的電子位置的不確定量由不確定性關系32第三節(jié) 薛定格方程在經典理論中，質點在 時刻，具有特定的位置和動量，當它受力后，在 時，它的位置和動量均可唯一確定，這一

13、因果關系由牛頓方程給出33第三節(jié) 薛定格方程在量子體系中也存在著因果關系。不過因為波函數具有統(tǒng)計的意義，因此只能給出統(tǒng)計的因果關系：在給定的力場下，量子體系在初始時刻的狀態(tài)，唯一地決定了它在以后任意時刻的狀態(tài)。在量子體系中與牛頓第二定律具有相似作用的方程就是薛定格方程。 34第三節(jié) 薛定格方程自由粒子：設自由粒子沿x方向運動，波函數為又35自由粒子的薛定格方程在勢場U(x,t)中：粒子的總能量為即又36自由粒子的薛定格方程-勢場中一維運動粒子的含時薛定諤方程推廣到三維空間37第三節(jié) 薛定格方程則薛定格方程可寫成量子力學的第三個基本原理： 所有量子狀態(tài)的波函數均滿足薛定格方程。薛定格方程揭示了微

14、觀領域中的物質運動規(guī)律，提供了定量地系統(tǒng)地處理一系列量子現象的理論基礎。引入拉普拉斯（ Laplace ）算符動能算符以及哈密頓 (Hamilton) 算符38算符化規(guī)則量子力學中的算符表達式及方程式，一般地可以利用算符化規(guī)則從經典力學中相應的表達式得到。經典力學中的動量 ，在量子力學中用算符 代之，即(1) 基本的算符化規(guī)則是：經典力學中的能量 E ，在量子力學中用算符 代之，即其中39算符化規(guī)則利用算符化規(guī)則，薛定格方程就可以從經典力學方程，得到，即 使用算符化規(guī)則時要注意兩點：1）要在笛卡兒坐標系中應用算符化規(guī)則。2）對稱化規(guī)則。若在經典公式中出現 項，則應該用 代之后再算符化。40第四

15、節(jié) 幾率流密度與粒子數守恒定律薛定格方程是非相對論量子力學的基本方程。在低能情況下，不存在實物粒子的產生和消滅的現象，所以在隨時間變化的過程中，粒子數將始終保持不變。稱為粒子數守恒。就一個粒子來說，在整個空間發(fā)現這個粒子的幾率不隨時間變化，它總等于1，這就是幾率守恒。粒子數守恒和幾率守恒是對一個物理事實的兩種不同說法。41第四節(jié) 幾率流密度與粒子數守恒定律42幾率流密度43第四節(jié) 幾率流密度與粒子數守恒定律對上式在空間任意有限體積V中作積分高斯定理將上式的有限體積擴展到整個無窮大空間，由于波函數具有平方可積性，按照J的定義，其在無限遠的面上趨于零。44第四節(jié) 幾率流密度與粒子數守恒定律如果初始

16、時刻t0時波函數已經歸一化則任意時 刻，波函數自動滿足歸一化條件凡滿足薛定格方程的波函數，其歸一化在時間過程中始終保持不變。45第四節(jié) 幾率流密度與粒子數守恒定律單位時間內，在體積V中增加或（減少）的幾率，等于單位時間內穿過體積V的包圍面S而流進（或流出）V的幾率。右邊的積分表示穿過整個封閉面S的幾率流量。J的方向表示幾率流動的方向，J的絕對值是單位時間流過與其垂直的單位面積的幾率大小，所以我們稱J為幾率流密度連續(xù)性方程46第四節(jié) 幾率流密度與粒子數守恒定律表示粒子的（平均）電荷密度表示粒子的（平均）電流密度電荷守恒定律的表達式47第三章定態(tài)薛定格方程及一維定態(tài)問題 第一節(jié) 定態(tài)薛定格方程 從

17、運動學的觀點來討論，量子體系的狀態(tài)是多種多樣的，但其中有一類狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)卻具有十分重要的實際意義。穩(wěn)定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)，簡稱定態(tài)。這類狀態(tài)，即使時間變了，狀態(tài)的其他性質可以發(fā)生很大的變化，但它的能量取值卻一定不變。 定態(tài)時勢能函數與時間無關，即48第一節(jié) 定態(tài)薛定格方程一、定態(tài)薛定格方程的建立在保守勢場中，可以用分離變量法來求解方程。令A49一、定態(tài)薛定格方程的建立方程（ 1 ）的解是 在數學上它叫做算符的本征方程(或稱特征方程) 根據一般的波動形式可以說A/h 。由物質波假說，頻率與粒子的能量 E 的關系為 E/h 。所以A E 。方程（ 2 ）就可以寫成定態(tài)薛定格方程50一、定態(tài)薛定

18、格方程的建立算符作用在某函數上常數乘以同一函數 本征值；本征函數；本征值譜。定態(tài)薛定格方程是能量算符的本征方程，兩者之間有以下對應關系：定態(tài)薛定格方程定態(tài)波函數 時能量的可測量值 E體系在實驗上可測得的全部能量值物理上數學上能量算符 的本征方程能量算符 的本征函數能量算符 的一個本征值 E能量算符 的本征值譜51一、定態(tài)薛定格方程的建立定態(tài)問題實際上就是求解能量算符的本征方程。這個本征方程是微分方程，但它不是一個普通的微分方程，而是含有一個待定常數 E ，而 E 本身又有確定物理含義的微分方程。 簡并度：如果對應一個 E 值，有 f 個線性獨立的波函數，滿足本征方程，則稱對應這個能量 E 是

19、f 度簡并的，簡并度有時也稱退化度。 52二、定態(tài)的特點和實現定態(tài)的條件1、定態(tài)的特點 （1） 任何時刻，能量的取值不變！前面講過，與時間相關的定態(tài)波函數為其中E是分離常數，不僅與 無關，而且也與t無關?？傊?，只要體系所處力場不變（V不變），若在某一時刻，體系的能量取確定值，則在以后的任何時刻，狀態(tài)的其他性質可以發(fā)生很多的變化，但其能量取值卻一定不變！53二、定態(tài)的特點和實現定態(tài)的條件（2）對于定態(tài)，所有不顯含時間t的物理量，其取值幾率與平均值都不隨時間改變。說明在定態(tài)時，位置幾率密度與時間無關。2。實現定態(tài)的條件初始時刻，狀態(tài)處于定態(tài)，才能保證以后時刻也為定態(tài)！54第一節(jié) 定態(tài)薛定格方程1.求波函數的步驟：由體系的勢能寫出薛定諤方程解方程得一般解根據標準條件和歸一化條件確定有關常數項2.求粒子出現概率極大、極小的位置求概率密度函數 令 ，解出 x=xm55第二節(jié) 梯形位梯形位的位能形式描述電子在金屬邊緣時的運動，常用這種類型的位加以近似處理V056第二節(jié) 梯形位57第二節(jié) 梯形位0V0EV0 時，X0區(qū)域，沒有向左運動的波，D0E0區(qū)域，為保證波函數有限，D058第二節(jié) 梯形位令當 時59第二節(jié) 梯形位按連接條件60第二節(jié) 梯形位6162第二節(jié) 梯形位當 時按連接條件63第二節(jié) 梯形位X0的區(qū)間，波函數呈指數衰減，很快降低到零，因此可以認為是沒有透射