車輛隨機振動介紹

1、頻域作用初探：所以很多在時域看似不可能做到數(shù)學操作，在頻域相反很輕易。這就是需要傅里葉變換（和其它變換）地方。從某條曲線中去除一些特定頻率成份，這在工程上稱為濾波，是信號處理最主要概念之一，只有在頻域才能輕松做到。如：sin（3x）+sin（5x）曲線圖，現(xiàn)在需要你把sin（5x）從圖里拿出去，看看剩下是什么。時域這基本是不可能做到。 不過在頻域呢？則簡單很，無非就是幾條豎線而已。求解微分方程。傅里葉變換（和其它變換）則能夠讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统ā５?章 隨機振動頻率特征車輛隨機振動介紹第1頁一、什么是頻域以時間作為參考來觀察動態(tài)世界方法我們稱其為時域分析。世間萬物都在伴隨時間不停

2、改變，而且永遠不會靜止下來。第5章 隨機振動頻率特征車輛隨機振動介紹第2頁一、什么是頻域用另一個方法來觀察世界話，你會發(fā)覺世界是永恒不變，這個靜止世界就叫做頻域。將以上兩圖簡化：時域：頻域：你眼中看似落葉紛飛改變無常世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好樂章。車輛隨機振動介紹第3頁傅里葉公式-任何周期函數(shù)，都能夠看作是不一樣振幅，不一樣相位正弦波疊加。在第一個例子里我們能夠了解為，利用對不一樣琴鍵不一樣力度，不一樣時間點敲擊，能夠組合出任何一首樂曲。而貫通時域與頻域方法之一，就是傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transform

3、ation) 。車輛隨機振動介紹第4頁二、傅里葉級數(shù)(Fourier Series)頻譜用前面說正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角矩形波來，你會相信嗎？ 車輛隨機振動介紹第5頁車輛隨機振動介紹第6頁車輛隨機振動介紹第7頁伴隨正弦波數(shù)量逐步增加，他們最終會疊加成一個標準矩形。伴隨疊加遞增，全部正弦波中上升部分逐步讓原本遲緩增加曲線不停變陡，而全部正弦波中下降部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。不過要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標準 90 度角矩形波呢？不幸告訴大家，答案是無窮多個。 不但僅是矩形，你能想到任何波形都是能夠如此方法用正弦波疊加起來。

4、車輛隨機振動介紹第8頁一個復(fù)雜信號能夠分解成不一樣頻率正弦信號，反之亦然。在信號研究和處理中采取分解過程比合成更多一些。一個復(fù)雜振動信號，能夠看成是由許多簡諧分量疊加而成；那許多簡諧分量及其各自振幅、頻率和初相，就叫做那復(fù)雜振動頻譜。把第一個頻率最低頻率分量看作“1”，基頻。車輛隨機振動介紹第9頁信號合成和分解車輛隨機振動介紹第10頁狄利克萊（Dirichlet)條件不是全部信號都能夠分解（哪怕無限多個）簡諧振動。數(shù)學上確立了確切條件，狄利克萊（Dirichlet)條件，任意一個區(qū)段內(nèi)，1)信號f(t)除有限個間斷點外都連續(xù)，2)僅有有限個極大和極小值。這是傅里葉級數(shù)展開充分必要條件。 能分解

5、振動曲線不能分解振動曲線車輛隨機振動介紹第11頁車輛隨機振動介紹第12頁車輛隨機振動介紹第13頁時間差并不是相位差。假如將全部周期看作2Pi或者360度話，相位差則是時間差在一個周期中所占百分比。將時間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。 車輛隨機振動介紹第14頁頻譜表示 討論周期函數(shù)（設(shè)自變量是時間t）付立葉展開。所謂周期函數(shù)，就是滿足以下條件函數(shù)： n=0，士1，士2， T是常量，單位為秒，是物理量u振動（視）周期。周期函數(shù)是無始無終，它改變情況，能夠用一個周期內(nèi)改變情況來完全地反應(yīng)。付立葉分析理論，滿足狄利克萊條件任意周期函數(shù)，都能夠展成付立葉級數(shù)，也就是展成許多諧振動函數(shù)和。 車輛隨機

6、振動介紹第15頁諧振動函數(shù)表示同一個諧振動，能夠用形式不一樣函數(shù)來表示。 式中A、和分別是振幅、圓頻率和初相位。假如按三角學公式將上式展開，又能夠?qū)懗?其中 是兩個常量。上式實際上是兩個初相為零諧振動疊加，a、b是它們振幅。車輛隨機振動介紹第16頁諧振動函數(shù)歐拉表示假如引用復(fù)數(shù)，用歐拉（Euler）公式得到式中為振動函數(shù)u1(t)基頻，基頻倍數(shù)n稱泛頻車輛隨機振動介紹第17頁歐拉式關(guān)鍵作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單指數(shù)形式。歐拉公式所描繪，是一個伴隨時間改變，在復(fù)平面上做圓周運動點，伴隨時間改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。假如只看它實數(shù)部分，也就是螺旋線在左側(cè)投影，就是一個最基礎(chǔ)余弦函數(shù)。而右

7、側(cè)投影則是一個正弦函數(shù)。車輛隨機振動介紹第18頁一個復(fù)雜信號u（t）傅立葉級數(shù)也有三種表示方法，三種開展式且完全等效。注意系數(shù)Cn普通是復(fù)數(shù) 傅里葉級數(shù)，在時域是一個周期且連續(xù)函數(shù)，而在頻域是一個非周期離散函數(shù)。 周期信號只有在基頻整數(shù)倍處才存在Cn 車輛隨機振動介紹第19頁頻譜圖示 周期函數(shù)分立譜(離散譜)注意：圖中橫坐標是用基頻整數(shù)倍表示。車輛隨機振動介紹第20頁頻譜分析車輛隨機振動介紹第21頁當車輛隨機振動介紹第22頁當幅值為零時第一次幅值為零時當 譜線加密，成為連續(xù)譜。車輛隨機振動介紹第23頁5.2 傅里葉變換及其性質(zhì)5.2.1 傅里葉變換引入傅里葉變換，則是將一個時域非周期連續(xù)信號，

8、轉(zhuǎn)換為一個在頻域非周期連續(xù)信號（傅里葉變換實際上是對一個周期無限大函數(shù)進行傅里葉變換）車輛隨機振動介紹第24頁當信號周期無限大時，基頻變得無限小，離散正弦波離得越來越近，逐步變得連續(xù) 車輛隨機振動介紹第25頁5.2 傅里葉變換及其性質(zhì)5.2.1 傅里葉變換 原來離散譜疊加，變成了連續(xù)譜累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。車輛隨機振動介紹第26頁5.2.2 傅立葉變換傅立葉變換將原來難以處理時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析頻域信號（信號頻譜）,能夠利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。離散形式傅立葉物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵響應(yīng)能夠經(jīng)過組合其對不一樣頻率正弦信號響應(yīng)

9、來獲取;。車輛隨機振動介紹第27頁車輛隨機振動介紹第28頁車輛隨機振動介紹第29頁車輛隨機振動介紹第30頁上面兩式分別為傅立葉變換和傅立葉逆變換。車輛隨機振動介紹第31頁 在頻譜分析中, 傅氏變換F()又稱為f(t)頻譜函數(shù), 而它模|F()|稱為f (t)振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).因為是連續(xù)改變, 我們稱之為連續(xù)頻譜, 對一個時間函數(shù)f (t)作傅氏變換, 就是求這個時間函數(shù)f (t)頻譜.車輛隨機振動介紹第32頁5.2.3 傅立葉變換基本性質(zhì)對稱性和疊加性奇偶虛實性尺度變換特征時移特征和頻移特征微分和積分特征卷積車輛隨機振動介紹第33頁一、對稱性若已知則證實：車輛隨機振動介紹第34頁若f(

10、t)為偶函數(shù)，則時域和頻域完全對稱直流和沖激函數(shù)頻譜對稱性是一例子車輛隨機振動介紹第35頁FT對稱性 t 換成 換成車輛隨機振動介紹第36頁二、線性（疊加性） 若 則 車輛隨機振動介紹第37頁三、 奇偶虛實性不論f(t)是實函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，下面均成立時域反摺頻域也反摺車輛隨機振動介紹第38頁實偶函數(shù)傅立葉變換仍為實偶函數(shù) f(t)0t0車輛隨機振動介紹第39頁四、尺度變換特征若則車輛隨機振動介紹第40頁時域中壓縮（擴展）等于頻域中擴展（壓縮） f(t/2)壓縮擴展車輛隨機振動介紹第41頁五、時移特征若 則證實：車輛隨機振動介紹第42頁帶有尺度變換時移特征若a 0， ，求過程功率譜密度。 解：應(yīng)

11、將積分按 和 分成兩部分進行 車輛隨機振動介紹第87頁車輛隨機振動介紹第88頁例：設(shè) 為隨機相位隨機過程其中， 為實常數(shù) 為隨機相位，在 均勻分布。能夠推導(dǎo)出這個過程為廣義平穩(wěn)隨機過程，自相關(guān)函數(shù)為 求 功率譜密度 。車輛隨機振動介紹第89頁解：注意此時 不是有限值，即不可積，所以 付氏變換不存在，需要引入 函數(shù)。車輛隨機振動介紹第90頁 上式表示功率集中在處，功率譜密度為在處函數(shù)。O車輛隨機振動介紹第91頁車輛隨機振動介紹第92頁例：設(shè)隨機過程 ,其中 皆為常數(shù)， 為含有功率譜密度 平穩(wěn)隨機過程。求過程 功率譜密度。 解： 車輛隨機振動介紹第93頁 下表給出了平穩(wěn)隨機過程、自相關(guān)函數(shù)和功率譜

12、密度之間對應(yīng)關(guān)系。這些關(guān)系證實可依據(jù)維納辛欽定理及傅里葉變換初等性質(zhì)得到。車輛隨機振動介紹第94頁 右表列出了幾個常見自相關(guān)函數(shù)及其所對應(yīng)功率譜密度。車輛隨機振動介紹第95頁求自相關(guān)函數(shù) 所對應(yīng)譜密度 解 所要求譜密度為對應(yīng)譜密度如圖所表示: 此圖說明了譜密度是怎樣表明噪聲以外周期信號. 車輛隨機振動介紹第96頁已知譜密度求平穩(wěn)過程 X( t ) 自相關(guān)函數(shù)和均方值. 解由公式知自相關(guān)函數(shù) 利用留數(shù)定理, 可算得 車輛隨機振動介紹第97頁均方值為說明有理譜密度 車輛隨機振動介紹第98頁方法2車輛隨機振動介紹第99頁5.5.2 功率譜密度函數(shù)性質(zhì)（1） 是偶函數(shù)。（2）是非負函數(shù)。（3）車輛隨機

13、振動介紹第100頁（4）證實：車輛隨機振動介紹第101頁5.6 窄帶與寬帶隨機過程（1）了解何為窄帶、寬帶隨機過程？（2）何為白噪聲？（3）能計算幾個經(jīng)典信號相關(guān)函數(shù)、功率譜密度。5.7 互功率譜密度和想干函數(shù)（自學）車輛隨機振動介紹第102頁5.6 窄帶與寬帶隨機過程因為自功率譜密度函數(shù)Sxx(f)（或Gxx(f)）反應(yīng)了平穩(wěn)隨機過程平均能量隨頻率分布特征，能夠依據(jù)它分類一些經(jīng)典平穩(wěn)隨機振動過程，方便把握它們本質(zhì)特征。車輛隨機振動介紹第103頁1) 窄帶平穩(wěn)過程經(jīng)典譜密度函數(shù)，相關(guān)函數(shù)和時域樣本函數(shù)分別以下列圖 (a)，(b)和（c）。譜帶寬相比于它中心頻率wc大約要小一個數(shù)量級。譜分量主要

14、集中在中心頻率附近，說明振動能量主要在wc附近。 車輛隨機振動介紹第104頁圖 (a)窄帶過程單邊譜 (b)相關(guān)函數(shù)Rx(t) (c)時域樣本函數(shù)x(t)車輛隨機振動介紹第105頁普通隨機振動經(jīng)過緩沖系統(tǒng)后，響應(yīng)往往是窄帶隨機振動。比如汽車在凹凸不平道路上行駛時，車身振動即為窄帶隨機振動。這是因為汽車含有緩沖系統(tǒng)，只有車身部件固有頻率附近頻帶振動才能傳至車身，使車身在比較窄頻帶范圍振動。 車輛隨機振動介紹第106頁 觀察窄帶隨機振動時域歷程曲線能夠發(fā)覺，它峰值改變是隨機，但卻近似地含有周期性，好像是峰值隨時間隨機改變正弦振動，所以有時也稱它為準正弦振動。 車輛隨機振動介紹第107頁2) 寬帶平

15、穩(wěn)過程 寬帶平穩(wěn)過程譜帶寬分布于較寬范圍，帶寬與中心頻率相比是同數(shù)量級，或更大。其經(jīng)典譜密度函數(shù)，相關(guān)函數(shù)和時域樣本函數(shù)分別以下列圖。 車輛隨機振動介紹第108頁圖 (a)寬帶過程單邊譜 (b)相關(guān)函數(shù)Rx(t) (c)時域樣本函數(shù)x(t)車輛隨機振動介紹第109頁3) 理想白噪聲過程白噪聲過程是寬帶平穩(wěn)過程極限特例。對此過程有Sxx(f)=So(或Gxx(f)=2So)，So為常數(shù)。譜密度在整個頻率軸(,)上均勻分布，即頻帶寬達整個頻率軸。白噪聲過程自相關(guān)函數(shù)為Rxx(t)=2pS0d(t)，是集中在t=0處強度為2pSo脈沖函數(shù)。 車輛隨機振動介紹第110頁而t=0處等于無窮大，t0處都等

16、于零d函數(shù)性質(zhì)說明白噪聲過程“自己”與“自己”相關(guān)性為無窮大，任何不是“自己”兩點間相關(guān)性為零。車輛隨機振動介紹第111頁因為能量被要求均勻分布于整個頻率軸，白噪聲過程均方值為sxx2= Ex2(t)= Rxx(0)=。這要求其平均能量為無窮大，這在物理上是不可實現(xiàn)。所以理想白噪聲只有理論上意義。車輛隨機振動介紹第112頁在某一有限頻帶內(nèi)有常數(shù)譜密度So有限帶寬白噪聲過程物理上是可能實現(xiàn)；假如該有限頻帶帶寬“相對”較大，能夠一定程度上視為理想白噪聲過程。 車輛隨機振動介紹第113頁第六章 線性系統(tǒng)動態(tài)特征車輛隨機振動介紹第114頁 任何振動系統(tǒng)都有輸入，輸出和系統(tǒng)特征三個部分系統(tǒng)輸入輸出對于工

17、程實際對象而言又可稱為系統(tǒng)激勵和響應(yīng)激勵指外界干擾或初始干擾，響應(yīng)是系統(tǒng)在輸入作用下輸出振動研究主要問題之一是分析系統(tǒng)在激勵作用下響應(yīng)分析系統(tǒng)響應(yīng)首先要掌握系統(tǒng)動態(tài)特征，而線性系統(tǒng)是最基本系統(tǒng)，所以我們開始學習線性系統(tǒng)動態(tài)特征車輛隨機振動介紹第115頁6-1 隨機振動分類 1. 按自由度分（）單自由度(SDOF)（）多自由度(MDOF). 按統(tǒng)計特征分（）平穩(wěn)隨機振動：統(tǒng)計特征與時間無關(guān)（）非平穩(wěn)隨機振動：統(tǒng)計特征與時間相關(guān)如車輛勻速行駛振動如發(fā)動機加速振動，地震波. 按系統(tǒng)本身特征分（）線性隨機振動（）非線性隨機振動車輛隨機振動介紹第116頁6- 頻率響應(yīng)函數(shù) 對于任一線性系統(tǒng)，如圖所表示系

18、統(tǒng)時域輸入，輸出為和，系統(tǒng)頻域輸入，輸出為和當時，振幅相位發(fā)生改變，系統(tǒng)輸出改變由系統(tǒng)動態(tài)特征決定要同時描述系統(tǒng)輸入，輸出振幅和相位改變只能引入復(fù)數(shù)而頻率響應(yīng)函數(shù)恰恰是為此而提出在普通情況下，頻率響應(yīng)函數(shù)是一個復(fù)數(shù)，記為為幅頻特征，為相頻特征頻率響應(yīng)函數(shù)是用頻率描述系統(tǒng)動態(tài)特征函數(shù)，即反應(yīng)系統(tǒng)輸入，輸出之間振幅和相位改變車輛隨機振動介紹第117頁例:求單質(zhì)量車輛振動系統(tǒng)幅頻特征解：振動微分方程為是系統(tǒng)本身固有特征如圖：當時，是靜態(tài)特征；當時，系統(tǒng)共振，最大令車輛隨機振動介紹第118頁6- 脈沖響應(yīng)函數(shù)及其頻率響應(yīng)函數(shù)關(guān)系 6-. 脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)在單位脈沖作用下響應(yīng)，即當時，車輛

19、隨機振動介紹第119頁6-. 單自由度有阻尼系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)振動微分方程為表明，強迫振動相當于含有初始條件自由振動初始條件為：令，則車輛隨機振動介紹第120頁由，得于是，有6-. 脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)關(guān)系依據(jù)傅立葉變換可知：當時，所以于是有車輛隨機振動介紹第121頁6- 系統(tǒng)在任意輸入下響應(yīng)當系統(tǒng)在任意輸入作用下時，系統(tǒng)響應(yīng)不能直接求解，需要把任意函數(shù)看成一系列脈沖疊加系統(tǒng)任意輸入令，則該式為系統(tǒng)在任意輸入下響應(yīng)該式表明：若已知系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)，則脈沖響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)輸入卷積即為系統(tǒng)響應(yīng)車輛隨機振動介紹第122頁6.5 線性系統(tǒng)在隨機激勵下響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)受到平穩(wěn)隨機激勵為 ，它一個 樣本函數(shù) ，引發(fā)響應(yīng)可依據(jù)Duhamel積分得到：討論線性振動系統(tǒng)只受一個平穩(wěn)隨機激勵時情況。全部樣本函數(shù)引發(fā)響應(yīng)全體 為一個隨機過程，討論： 統(tǒng)計性質(zhì)以及它與 激勵 統(tǒng)計性質(zhì)關(guān)系。車輛隨機振動介紹第123頁1 響應(yīng)均值 對于平穩(wěn)過程： 所以 車輛隨機振動介紹第124頁2. 響應(yīng)自相關(guān)函數(shù) 依據(jù)Duhamel積分，有 車輛隨機振動介紹第125頁所以 線性振動系統(tǒng)受到平穩(wěn)過程激勵后響應(yīng)也是平穩(wěn)過程。假如激勵是各態(tài)遍歷過程，則響應(yīng)也是各態(tài)遍歷過程。