2.4.2拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)優(yōu)質(zhì)課件

1、22一、溫故知新(一) 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義 平面內(nèi)，到定點(diǎn)F的距離與到定直線(xiàn)l的距離比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)e1時(shí)，是雙曲線(xiàn) .當(dāng)0e0)(2)開(kāi)口向左y2 = -2px (p0)(3)開(kāi)口向上x(chóng)2 = 2py (p0)(4)開(kāi)口向下x2 = -2py (p0)一、溫故知新(一) 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義 平面內(nèi)范圍1、由拋物線(xiàn)y2 =2px（p0）有 所以?huà)佄锞€(xiàn)的范圍為二、探索新知如何研究拋物線(xiàn)y2 =2px（p0）的幾何性質(zhì)?范圍1、由拋物線(xiàn)y2 =2px（p0）有 所以?huà)佄锞€(xiàn)的范圍對(duì)稱(chēng)性2、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線(xiàn)上,故 拋物線(xiàn)y2 = 2px(p0)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).則 (-y)

2、2 = 2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線(xiàn)上, 即滿(mǎn)足y2 = 2px，對(duì)稱(chēng)性2、關(guān)于x軸即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線(xiàn)上,故 拋?lái)旤c(diǎn)3、 定義：拋物線(xiàn)與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)。y2 = 2px (p0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線(xiàn)y2 = 2px (p0)的頂點(diǎn)（0，0）.頂點(diǎn)3、 定義：拋物線(xiàn)與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的離心率4、P(x,y) 拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線(xiàn)的距離之比，叫做拋物線(xiàn)的離心率。 由定義知， 拋物線(xiàn)y2 = 2px (p0)的離心率為e=1.離心率4、P(x,y) 拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距xyOFABy2=2px2p過(guò)焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦AB，稱(chēng)為拋物線(xiàn)的通

3、徑，利用拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線(xiàn)基本特征的草圖.|AB|=2p通徑5、2p越大，拋物線(xiàn)張口越大.xyOFABy2=2px2p過(guò)焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦AB，稱(chēng)連接拋物線(xiàn)任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式：焦半徑6、xyOFP連接拋物線(xiàn)任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的焦半徑。|PF|=方程圖形準(zhǔn)線(xiàn)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸x軸x軸y軸y軸xFOylxFOylxFOylxFOyl方程圖形準(zhǔn)線(xiàn)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸x軸x軸y軸y軸xFOylxFOylx歸納: (1)、拋物線(xiàn)只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線(xiàn)； (2)、拋物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸,沒(méi)有

4、對(duì)稱(chēng)中心; (3)、拋物線(xiàn)只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線(xiàn)； (4)、拋物線(xiàn)的離心率e是確定的為, 、拋物線(xiàn)的通徑為2P, 2p越大，拋物線(xiàn)的張口越大.歸納:因?yàn)閽佄锞€(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，），解:所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線(xiàn)上：所以：因此所求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為：例：已知拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、典例精析因?yàn)閽佄锞€(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)探照燈、汽車(chē)前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽(yáng)灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線(xiàn)繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置上，通過(guò)鏡面反射就

5、變成了平行光束，這就是探照燈、汽車(chē)前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理。平行光線(xiàn)射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線(xiàn)都經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，這就是太陽(yáng)灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。探照燈、汽車(chē)前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽(yáng)灶的鏡面都例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線(xiàn)的一部分，光源位于拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。xyO(40,30)解:所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, x軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得A (40,30),代入方程得:302=2p40解之: p=故所求拋物線(xiàn)的標(biāo)

6、準(zhǔn)方程為: y2= x,焦點(diǎn)為( ,0)例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線(xiàn)的一部分，光源xyO(4024l例3:圖中是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米. 水下降1米后，水面寬多少？xoAy若在水面上有一寬為2米,高為1.6米的船只，能否安全通過(guò)拱橋？思考題2BA（2,2）x2=2yB（1，y）y=0.5B到水面的距離為1.5米不能安全通過(guò)y=3代入得例題324l例3:圖中是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面 （1）已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)的距離是5，則P = 。 （2）拋物線(xiàn) 的弦AB垂直x軸，若|AB|= ， 則焦點(diǎn)到AB的距離為 。 42（3）

7、已知直線(xiàn)x-y=2與拋物線(xiàn) 交于A(yíng)、B兩 點(diǎn)，那么線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 。 四、課堂練習(xí) （1）已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線(xiàn)（2）拋物線(xiàn) 5.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，若P是拋物線(xiàn) 上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 4、求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在直線(xiàn)x-2y-4=0上.(2)焦點(diǎn)在軸x上且截直線(xiàn)2x-y+1=0所得的弦長(zhǎng)為6、已知Q(4,0)，P為拋物線(xiàn) 上任一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為( ) A. B. C. D.BC5.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，若P是拋物線(xiàn) 五、歸納總結(jié)拋物線(xiàn)只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)

8、，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線(xiàn)；拋物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸,沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心;拋物線(xiàn)的離心率是確定的，等于；拋物線(xiàn)只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線(xiàn)；拋物線(xiàn)的通徑為2P, 2p越大，拋物線(xiàn)的張口越大.1、范圍：2、對(duì)稱(chēng)性：3、頂點(diǎn)：4、離心率：5、通徑：6、光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，通過(guò)拋物線(xiàn)反射就變成了平行光束. 五、歸納總結(jié)拋物線(xiàn)只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延2.4.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2)2.4.2拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(2)復(fù)習(xí)： 1、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)圖 形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)范圍頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2

9、 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸y軸1復(fù)習(xí)： 1、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)圖 形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)范圍頂點(diǎn)2、通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度：2PP越大,開(kāi)口越開(kāi)闊3、焦半徑： 連接拋物線(xiàn)任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的焦半徑。焦半徑公式： 下面請(qǐng)大家推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線(xiàn)的焦半徑公式。2、通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)，|PF|=x0+p/2 通過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦。xOyFA補(bǔ)、焦點(diǎn)弦

10、：焦點(diǎn)弦公式： 下面請(qǐng)大家推導(dǎo)出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦公式。B 通過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)，與拋物xOyFA補(bǔ)、焦點(diǎn)弦：焦點(diǎn)方程圖形范圍對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0 xRlFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）方程圖范圍對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)焦半徑焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度 例1、斜率為1的直線(xiàn) 經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)。例1、斜率為1的直線(xiàn) 經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn) 例2、已知過(guò)拋

11、物線(xiàn) 的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 兩點(diǎn)。 （1） 是否為定值？ 呢？ （2） 是否為定值？ xOyFAB這一結(jié)論非常奇妙,變中有不變,動(dòng)中有不動(dòng).例2、已知過(guò)拋物線(xiàn) xyOABDFlxyOABDFl例3、過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)D，求證：直線(xiàn)DB平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸。xyOFABD例3、過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋?zhàn)兪筋}（2001年高考題） 設(shè)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且BC|x 軸，證明：直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O。xOABDFly變式題（2001年高考題）xOA

12、BDFly 由此可得|y1|=|y2|,，即線(xiàn)段AB關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。因?yàn)閤軸垂直于A(yíng)B，且 ，例4、正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn) 上，求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)。解：如圖，設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A、B在拋物線(xiàn)上，且坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),則又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxoAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10，X20，2p0,X1=X2.所以(x1,y1)(x2,y2) 由此可得|y1|=|y2|,，即線(xiàn)段例5.已知拋物線(xiàn)y=x2,動(dòng)弦AB的長(zhǎng)為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值。.xoyFABMCND解：例5.已知拋物線(xiàn)y=