2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換

1、2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)52020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5情境導(dǎo)學(xué)三角變換不同于代數(shù)式變換，后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換，變換內(nèi)容比較單一.而對(duì)于三角變換，不僅要考慮三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)方面的差異，還要考慮三角函數(shù)式所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換.從函數(shù)式結(jié)構(gòu)、函數(shù)種類、角與角之間的聯(lián)系等方面找一個(gè)切入點(diǎn)，并情境導(dǎo)學(xué)三角變換不同于代數(shù)式變換，后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式例1、解半角公式的推導(dǎo)例1、解半角公式的推導(dǎo)一、知識(shí)梳理一、知識(shí)梳理【半角公式】剛才的結(jié)果還可以表示為：以上三個(gè)公式稱為半角公式，符號(hào)由所在象限決定【記憶方法】半角公式帶根號(hào)，是正

2、是負(fù)看半角； 1 加或者減余弦，根號(hào)分母都是 2 .【問題】 與 之間有什么關(guān)系？【解答】【半角公式】剛才的結(jié)果還可以表示為：以上三個(gè)公式稱為半角 求證： 所以得證證法一：因?yàn)?求證： 求證： 又 即所以 得證證法二：因?yàn)?求證： 因?yàn)椴煌娜呛瘮?shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，常常要先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適當(dāng)?shù)墓竭@是三角恒等變換的一個(gè)重要特點(diǎn)歸納總結(jié) 因?yàn)椴煌娜呛瘮?shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而【萬能公式】萬能公式是半角的正切與一倍角之間的互換公式：有了萬能公式，只需要知

3、道一個(gè)角的正切，就可以求出二倍角的正弦余弦正切值. 不同的三角函數(shù)不僅有結(jié)構(gòu)形式的差異，而且還會(huì)存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，首先要尋找各個(gè)式子里的角的關(guān)系，再來選取適當(dāng)?shù)墓?，這是三角恒等變換的特點(diǎn)【萬能公式】萬能公式是半角的正切與一倍角之間的互換公式：有了思考1根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式把下列等式補(bǔ)充完整：sin()sin() ；sin()sin() ；cos()cos() ；cos()cos() .積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)2sin cos 2cos sin 2cos cos 2sin sin 思考1根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式把下列等

4、式補(bǔ)充完整：積化思考2由上述這四個(gè)等式不難得出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)的積化和差公式，請(qǐng)你試一試寫出這四個(gè)公式：sin cos ；cos sin ；cos cos ；sin sin .思考2由上述這四個(gè)等式不難得出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)的積化和差2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)52020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5例2、求證解(1) sin(+) sin cos +cos sin sin(-) sin cos -cos sin 兩式相加，得sin(+) + sin(-) 2sin cos 例2、求證解(1) sin(+) sin cos (2) 由(1)可得sin(+) + sin(-) 2sin cos 設(shè)+=，-

5、=把，的值代入，即得(2) 由(1)可得把，的值代入，即得2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5為第四象限角，為第四象限角，2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)52020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5解方法一180270，解方法一180270，方法二180270，sin 0，方法二180270，sin 0，練習(xí)2：已知一個(gè)等腰三角形的頂角的余弦等于 ，求這個(gè)三角形的底角的正切.【解】設(shè)等腰三角形的頂角為，底角為，則有由題意知 ，所以所以練習(xí)2：已知一個(gè)等腰三角形的頂角的余弦等于 ，求這 追問1什么樣結(jié)構(gòu)的函數(shù)便于求周期，最大值和最小值等性質(zhì)？一個(gè)角的一種三角函數(shù)的形式，如 、 等形式追問2前面學(xué)過的哪個(gè)公

6、式可以實(shí)現(xiàn)和差的形式化為 的形式？和（差）角公式逆用即可實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化輔助角公式 追問1什么樣結(jié)構(gòu)的函數(shù)便于求周期，最大值和最小值等性質(zhì)？2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5 （2）求函數(shù) 的周期，最大值和最小值：解：（2）解法一：設(shè)則于是于是 所以取A5，則由 可知，所求周期為 ，最大值為5，最小值為5 （2）求函數(shù) （2）求函數(shù) 的周期，最大值和最小值：解：解法二：設(shè)令 解得不妨取A5，則令故所求周期為 ，最大值為5，最小值為5則（2）求函數(shù) 2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5變形的目標(biāo)：化成一角一函數(shù)的結(jié)構(gòu)變形的策略：引進(jìn)一個(gè)“輔助角”變形的目標(biāo)：化成一角一函數(shù)的結(jié)構(gòu)變形的策略：引進(jìn)一個(gè)“輔

7、助角2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5思考2請(qǐng)寫出把a(bǔ)sin xbcos x化成Asin(x)形式的過程.答asin xbcos x結(jié)論：將同角的弦函數(shù)的和差化為“一個(gè)角”的“一個(gè)名”的弦函數(shù).ab思考2請(qǐng)寫出把a(bǔ)sin xbcos x化成Asin(x ABCDOQP 例5、如圖1，已知OPQ是半徑為1，圓心角為 的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形記POC，求當(dāng)角取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積分析:要求當(dāng)角取何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大, 可分二步進(jìn)行.找出S與之間的函數(shù)關(guān)系;由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值. ABCDOQP 例5、如圖1，已知OPQ

8、是半徑為1，圓解在RtOBC中,OB=cos,BC=sin在RtOAD中,設(shè)矩形ABCD的面積為S,則解在RtOBC中,OB=cos,BC=sin在RtO通過三角變換把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(+)的函數(shù),從而使問題得到簡(jiǎn)化。過程蘊(yùn)含了化歸思想.通過三角變換把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如34感受三角變換的魅力輔助角求函數(shù)遞增區(qū)間.36感受三角變換的魅力輔助角求函數(shù)遞增區(qū)間.例7、已知函數(shù)f(x)2cos x(sin xcos x)1，xR.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；解f(x)2cos x(sin xcos x)1因此，函數(shù)f(x)的最

9、小正周期為.例7、已知函數(shù)f(x)2cos x(sin xcos 2020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)52020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)52020人教A版新課程數(shù)學(xué)第一冊(cè)5(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.反思與感悟從本例可以看到，通過三角變換，我們把形如yasin xbcos x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如yAsin(x)的函數(shù)，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這個(gè)反思與感悟從本例可以看到，通過三角變換，我們把形如yasBBDDAA4.求函數(shù)f(x)3sin(x20)5sin(x80)的最大值.解3sin(x20)5sin(x80)3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 607sin(x20)，所以f(x)max7.4.求函數(shù)f(x)3sin(x20)5sin(x85.2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么cos 2的值等于 .由(cos sin