方陣的行列式可逆矩陣與逆矩陣

1、第三節(jié) n階方陣的行列式1、定義：設(shè) A = ( aij )nn 為 n階方陣 . 由A 中所有的元素按它們?cè)?A 中的排列位置構(gòu)成的n階行列式稱為方陣A 的行列式,記作det A, 即1方陣與行列式的區(qū)別方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，n2 個(gè)數(shù)按一定方式排成的n 階方陣是所確定的一個(gè)數(shù)要清楚兩者的含義數(shù)表. 而 n 階行列式是按行列式的定義注：及記號(hào)的區(qū)別.22、性質(zhì)（1）設(shè) A ，B 均為n 階方陣（2）（3）推廣：為同 階方陣,則(4)3例1 設(shè)解 求4注：例2 設(shè) 其中 是數(shù), 求 及解 一般地 53、退化矩陣：設(shè) A 為n 階方陣, 若則稱 A是非若則稱 A是退化如：A是非退化矩陣。

2、退化的或非奇異的；的或奇異的。6第四節(jié) 可逆矩陣與逆矩陣一、逆矩陣的定義 二、逆矩陣判斷及計(jì)算 三、逆矩陣的性質(zhì)7概念的引入：單位陣 具有與數(shù)1在數(shù)的乘法中類似的性質(zhì).在矩陣乘法中，對(duì)于任意n階方陣A都有類似地,引入逆矩陣的概念而對(duì)于任意數(shù) ，若,則存在 使得8對(duì)于n 階方陣A，如果存在n階方陣B，使得成立，則矩陣A稱為可逆矩陣， B 稱為A 的定義：逆矩陣或逆陣。說明： (1)不是任意方陣都是可逆的。如零矩陣不是可逆矩陣。(2)若方陣A是方陣B的逆陣，則B也是A的逆陣。即A和B互為逆矩陣。一、逆矩陣的定義9這是因?yàn)?(3)如果方陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯 一的.所以A的逆矩陣是唯一的.

3、將A的逆矩陣記作 .若B、C 都是 A 的逆矩陣,則有則若A 可逆,就有 注并不是A的-1次方，不能寫成的形式。10當(dāng) 都不為零時(shí),有單位陣：特殊矩陣的逆陣:對(duì)角陣：11從而 一般地,若 都不為零,則有000012例 是否可逆？問題: （1）如何判別一個(gè)方陣是否可逆？（2）若A為可逆矩陣，如何求13二. 矩陣可逆的判別、逆矩陣的求法方陣可逆的必要條件：命題：設(shè)A可逆, 則它有逆矩陣使得從而若A可逆, 則證：所以14伴隨矩陣:稱為矩陣A 的伴隨矩陣.設(shè)行列式的各所構(gòu)成的如下矩陣個(gè)元素的代數(shù)余子式注：中第i行第j列處的元素是而不是問題：上述必要條件是不是充分的？即若, A一定可逆嗎？若A可逆,如何

4、求A-1？15例1. 設(shè)求A 的伴隨矩陣.解:1617例2:設(shè)A 為n階方陣, 是A 的伴隨矩陣,計(jì)算18所以 同理故有當(dāng)時(shí)，我們有從而A可逆, 且19 這樣我們得到下述定理：說明：定理: n階方陣A是可逆的充分必要條件是 即A是非退化的, 而且 該定理給出了判斷一個(gè)矩陣是否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法，稱之為伴隨矩陣法。20例3：設(shè)判斷A是否可逆？若可逆，求出解：因?yàn)樗訟可逆，且21因?yàn)樗?2下面給出判別矩陣可逆的更簡便的方法：命題： 設(shè)A、 B為n階方陣，若則A、B 都可逆，且因?yàn)樗砸虼擞泄蔄、 B 都可逆,則有證：23說明： 該命題給出了判斷一個(gè)方陣是否可逆的一種方法，同時(shí)又可以立即寫出可逆矩陣的逆矩陣?yán)?:設(shè)方陣A、B 滿足A-E 可逆，并求其逆。試證解： 24例5:設(shè)方陣A 滿足 A 和 A +2E 都可逆，并求它們的逆矩陣。試證解：25若A可逆，則也可逆，且性質(zhì)1： 性質(zhì)2： 若A可逆，則也可逆，且因?yàn)樗宰C：三. 性質(zhì)26若A可逆，數(shù) 則kA可逆, 且若A、 B 都可逆，則AB 也可逆，且因?yàn)?所以證：性質(zhì)3： 性質(zhì)4： 27若n階方陣可逆，則若A可逆，則因?yàn)锳可逆，所以推廣：證：性質(zhì)5： 28例6：設(shè)A為n階方陣，且求解：29解例7設(shè)三階矩陣A、 B 滿足關(guān)系3031設(shè)