自動(dòng)控制原理電子課件教案-線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

1、第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3-1 系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)3-2 一階系統(tǒng)時(shí)域分析3-3 二階系統(tǒng)時(shí)域分析3-4 高階系統(tǒng)時(shí)域分析3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析3-1 系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)3-1-1 典型輸入信號3-1-2 動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程3-1-3 動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能 3-1-1 典型輸入信號 單位階躍函數(shù) 單位斜坡函數(shù) 單位加速度函數(shù) 單位脈沖函數(shù) 正弦函數(shù)單位階躍函數(shù)若則記為：0t1234-11t00t1234-11單位階躍函數(shù)：記為：back單位斜坡函數(shù)單位加速度函數(shù)0t123-11單位斜坡函數(shù)：記為：0t123-11單位加速度函數(shù)：記為：back單位脈

2、沖函數(shù)正弦函數(shù)back0t12-1單位脈沖函數(shù)：-2t正弦函數(shù)：103-1-2 動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程動(dòng)態(tài)過程：系統(tǒng)在典型信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。又稱過渡過程或瞬態(tài)過程。穩(wěn)態(tài)過程：系統(tǒng)在典型信號作用下，當(dāng)時(shí)間 t 趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。3-1-3 動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能：在零初始條件下，給系統(tǒng)一單位階躍輸入，其輸出為單位階躍響應(yīng)，記為h(t)。將h(t)隨時(shí)間變化狀況作為指標(biāo)，一般稱為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。詳細(xì)穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量，是指t時(shí)，輸出量與期望輸出的偏差。0246810121416182000.1

3、0.911.21.4h(t) h(inf) td tr ts t tp 0.55誤差帶動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)td 延遲時(shí)間，h(t)到穩(wěn)態(tài)值一半的時(shí)間；tr上升時(shí)間， h(t)從 10 到 90所用的時(shí)間，有時(shí)也取t=0 到第一次穿越的時(shí)間對有超調(diào)的系統(tǒng)；tp峰值時(shí)間；ts調(diào)節(jié)時(shí)間，進(jìn)入誤差帶且不超出誤差帶的最短時(shí)間； 超調(diào)量：3-2 一階系統(tǒng)時(shí)域分析3-2-1.一階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型3-2-2.單位階躍響應(yīng)3-2-3.單位脈沖響應(yīng)3-2-4.單位斜坡響應(yīng)3-2-5.單位加速度響應(yīng)3-2-1 一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3-2-2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)分量為瞬態(tài)分量(1).可用唯一的參數(shù)T 來度量輸出：(2).

4、單調(diào)上升，具體參數(shù)如下：單位階躍響應(yīng)曲線：0t00.511.5初始斜率=1/T T2T 3T 4T 0.632 0.865 c(t)=1-exp(-t/T) 3-2-3.單位脈沖響應(yīng)0T2T3T4T5T0c(t)=exp(-t/T)/T初始斜率0.369/T 0.135/T 0.05/T 1/T1/(2T)0.018/T 3-2-4.單位斜坡響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)分量為瞬態(tài)分量0246810121416-4-2024681012r(t)=t c(t)=t-T+T exp(-t/T) ctt 0.368T 1.135T 2.050T 3-2-5.單位加速度響應(yīng)跟蹤誤差：一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度輸入，這是因?yàn)椋?/p>

5、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：瞬態(tài)響應(yīng)：表(3-2) 一階系統(tǒng)對典型輸入信號的輸出響應(yīng)輸入信號輸出響應(yīng)back3-3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-3-1 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3-3-2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3-3-3 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析3-3-4 過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析3-3-5 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)3-3-6 二階系統(tǒng)性能改善3-3-1 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型其中，阻尼系數(shù)，自然無阻尼頻率特征方程：特征根：3-3-2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)從特征根可知：當(dāng)時(shí)，s12 為原系統(tǒng)的兩個(gè)正實(shí)根； ( a )時(shí)，s12為具有正實(shí)部的共軛復(fù)根； ( b )時(shí)，s12為一對共軛虛根點(diǎn)； ( c )時(shí)，s12為具有負(fù)

6、實(shí)部的共軛復(fù)根點(diǎn)； ( d )時(shí)，s12為相等的負(fù)實(shí)根點(diǎn)； ( e )時(shí)，s12為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根點(diǎn)； ( f ) (a)j0 (b)j0 (c)j0 (d)j0 (e)j0 (f)j0顯然，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是不穩(wěn)定的，單位階躍響應(yīng)分別為：或者當(dāng)當(dāng)時(shí)：時(shí)：下面分別討論系統(tǒng)穩(wěn)定特征根具有負(fù)實(shí)部的情況：(1) 欠阻尼若令：則有：或：其中：0ReIm(2) 無阻尼(3)臨界阻尼始終大于零， h(t) 是單調(diào)上升型。當(dāng) t 0 時(shí)，(4)過阻尼令在單位階躍輸入下：T1，T2為二階過阻尼系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，T1 T23-3-3 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析 (1) 延遲時(shí)間 (2)上升時(shí)間也可以近

7、似為令，得：，故有：在中：當(dāng)不變（即不變）時(shí)，若，則當(dāng)不變時(shí)，（即），則 (3) 峰值時(shí)間將 h(t) 求導(dǎo)，令其(當(dāng) t = tp 時(shí))為零：可得：，因?yàn)楣视校海煞逯禃r(shí)間定義可得： (4) 超調(diào)量其中按定義超調(diào)量為：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100可見超調(diào)量與無關(guān)，(5) 調(diào)節(jié)時(shí)間 ts可取近似值：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，觀察歸一化的單位階躍響應(yīng)的阻尼比與各參數(shù)的關(guān)系。3-3-4 過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析過阻尼二階系統(tǒng)響應(yīng)較為緩慢，但無超調(diào)。近似公式為：1延遲時(shí)間 ：2上升時(shí)間 ：3調(diào)節(jié)時(shí)間 ：3-3-5 二階系統(tǒng)的單位斜坡響

8、應(yīng)(1) 欠阻尼 (2) 臨界阻尼 (3) 過阻尼(1) 欠阻尼：其中：或：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：瞬態(tài)響應(yīng)：斜坡響應(yīng)誤差：對 e(t) 求導(dǎo)，求出誤差最大的峰值為：最大偏移量，調(diào)節(jié)時(shí)間(2) 臨界阻尼(3) 過界阻尼，例：p95 例 3-3 如以下圖系統(tǒng)試求 KA 分別等與13.5，解：可得當(dāng)KA=13.5 時(shí)，此時(shí)相當(dāng)于一階系統(tǒng)，等效時(shí)間常數(shù)200 和 500 時(shí)的誤差表達(dá)式并估算其性能指標(biāo)。當(dāng)KA=200 時(shí)，欠阻尼從而有，當(dāng)KA=1500 時(shí)，欠阻尼從而有，K=13.5K=200K=1500例3-3系統(tǒng)在不同的KA下的斜坡響應(yīng)曲線例 3-3 參數(shù)影響斜坡響應(yīng)的討論：增大放大器的增益使阻尼比減

9、小，同時(shí)使響應(yīng)加快；KA的增大使穩(wěn)態(tài)誤差減小，對斜坡響應(yīng)來說有利；但是，阻尼比過小會(huì)使階躍響應(yīng)振蕩劇烈；斜坡響應(yīng)的要求與階躍響應(yīng)的要求有矛盾；單靠增大放大器增益的方法來設(shè)計(jì)系統(tǒng)，不能同時(shí)滿足斜坡響應(yīng)和階躍響應(yīng)的要求；必須尋求另外的方法來改善系統(tǒng)性能，關(guān)鍵要使兩個(gè)重要參數(shù)z ， wn能分開調(diào)節(jié)。3-3-6 二階系統(tǒng)性能改善(1) 比例微分控制1稱為開環(huán)增益，令則，其中(2) 測速反饋控制其中：3-4 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3-4-1 三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3-4-2 高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3-4-3 閉環(huán)主導(dǎo)節(jié)點(diǎn)3-4-4 高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能估算3-4-1 三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形

10、式：其中，-S0當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)，且z 1，輸出量的拉氏變換為：式中：三階系統(tǒng)在z 0)去乘D(s)，如：Routh表：新的新 Routh 表： 從而可以判出該Routh表第一列變號兩次，該特征方程有兩個(gè)具有正實(shí)部的特征根。 back用 s + 3 乘以 D(s) ，不改變其特征根穩(wěn)定性判別。Routh 表出現(xiàn)全零行：全零行說明特征方程中存在與原點(diǎn)對稱的根。用全零行的上一行輔助方程求導(dǎo)，構(gòu)成新一行取代全零行。例，設(shè)系統(tǒng)為：解：列 Routh 表：出現(xiàn)全零行，令則從而有：Routh 表第一列變號一次，系統(tǒng)不穩(wěn)定。back3-6.線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算3-6-1.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差3-6-2.系統(tǒng)類

11、型3-6-3.單位階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與kp3-6-4.斜坡作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與kv3-6-5.加速度作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與ka3-6-6.動(dòng)態(tài)誤差系統(tǒng)3-6-7.擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差3-6-8.減少或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施3-6-1.誤差與穩(wěn)態(tài)誤差誤差期望輸出與實(shí)際輸出之差。誤差信號 e ( t )單位反響時(shí) 誤差為 e ( t ) = r ( t ) c ( t )非單位反響時(shí)誤差為 e ( t ) = r ( t ) b ( t )由于非單位反響可化為單位反響，以下討論提及誤差均指 e ( t ) = r ( t ) c ( t )。單位反饋非單位反饋穩(wěn)態(tài)誤差誤差傳遞函數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差是誤差

12、的穩(wěn)態(tài)值：可能是常數(shù)（包括0），也可能是時(shí)間的函數(shù)，如：若 sE(s) 全部極點(diǎn)位于 s 左半平面或原點(diǎn)，則有：必須注意，用終值定理求的是 t的數(shù)值，不能求得ess隨時(shí)間變化的規(guī)律(如 sin 等)，因而有一定局限性。例、設(shè)單位反響系統(tǒng)如圖：，和輸入為：試求穩(wěn)態(tài)誤差。（1）則，而穩(wěn)態(tài)誤差：此時(shí)，sE(s) 滿足求極值條件，也可以用公式：解：那么，2其中：即：此時(shí)，sE(s) 不滿足只在 s 左半平面或原點(diǎn)上有極點(diǎn)，因而不能利用終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差。3-6-2 系統(tǒng)類型設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：k 為開環(huán)增益，為時(shí)間常數(shù)，r 是純積分環(huán)節(jié)的次數(shù)，稱系統(tǒng)的型次。令則 G(s)H(s) 可表達(dá)為：從而

13、此式可以看出，穩(wěn)態(tài)誤差與以下因數(shù)有關(guān)：1、輸入信號中1S的階次；2、系統(tǒng)的型次與k，系統(tǒng)的型次影響是決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是0或者 ，k 在某些情況下有作用。設(shè)則有，3-6-3.單位階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與Kp：3-6-4.斜坡作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與Kv：另外，當(dāng)時(shí)，式中：稱靜態(tài)位置誤差系數(shù)。顯然，則有另外，當(dāng)時(shí)，式中：稱靜態(tài)速度誤差系數(shù)。對應(yīng)地：試分別確定當(dāng) kh=1和kh=0.1時(shí)系統(tǒng)在輸出端的穩(wěn)態(tài)誤差。例、設(shè)系統(tǒng)如右圖，其中：，輸入為解：誤差系數(shù)，當(dāng) kh=1 時(shí)，系統(tǒng)誤差信號的分析結(jié)果即為系統(tǒng)的輸出誤差，此時(shí)系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)誤差為：當(dāng) kh= 0.1 時(shí)，此時(shí)，系統(tǒng)的期望輸出為：因此，折算導(dǎo)系統(tǒng)輸

14、出端的穩(wěn)態(tài)誤差為：3-6-5.加速度下的穩(wěn)態(tài)誤差與 Ka則有當(dāng)時(shí)，式中：稱靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。上述討論結(jié)果可得如下表：p124表3-5輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)型別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入加速度輸入位置誤差速度誤差加速度誤差0000IK00IIK00III0003-6-6.動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)上面討論的Kp，Kv，Ka反映了t 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的品質(zhì)，它們只取三種值：0，常數(shù)， ；對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差也只有三種值： 0，常數(shù)， 。不能反映其它輸入信號下的穩(wěn)態(tài)誤差，和當(dāng)t 隨時(shí)間的變化的情況。 將誤差傳遞函數(shù)在 s=0 的鄰域內(nèi) Taylor 展開：即，將 E(S)也 展開成了 s=0 (即t )的級數(shù)

15、：式中：式中：稱ci為誤差級數(shù)系數(shù)，為區(qū)別于Kp，Kv，Ka稱ci為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)，ci反映了當(dāng) t 時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差隨時(shí)間變化的情況。求取ci可以采用上述公式，也可以用長除法。例、單位反饋系統(tǒng)求其在輸入為1(t)，t，時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，當(dāng)輸入為：其穩(wěn)態(tài)誤差又將如何？解：用靜態(tài)誤差系數(shù)分析：時(shí)，當(dāng)，以及時(shí)，均有。用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)分析：用長除法可求得：所以：(1)、對于，；(2)、當(dāng)時(shí)，ess 當(dāng) t 時(shí)隨時(shí)間線性增長。(3)、當(dāng)時(shí)，ess 當(dāng) t 時(shí)隨時(shí)間拋物線增長。(4)、對于，所以：，例 3-14.單位反響系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)輸入，試求穩(wěn)態(tài)誤差。解：其動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)為：代入ess(t)表達(dá)式可得當(dāng)因此，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：