河南省林州市一中2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ ）ABCD2已知隨機變量服從正態(tài)分布, 且, 則 ( )ABCD3下列

2、等式不正確的是（ ）ABCD4若x1=，x2=是函數(shù)f(x)=(0)兩個相鄰的極值點，則=A2BC1D5函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)可能為（ ）ABCD6等比數(shù)列的前n項和為，若則=A10B20C20或-10D-20或107已知冪函數(shù) 的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，則（ ）A-B1或2C1D28在極坐標(biāo)系中，曲線，曲線，若曲線與交于兩點，則線段的長度為（ ）A2BCD19如圖，和都是圓內(nèi)接正三角形，且，將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用表示事件“豆子落在內(nèi)”，表示事件“豆子落在內(nèi)”，則（ ）ABCD10在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線按變換后的曲線的焦點坐標(biāo)為（ ）ABCD11函

3、數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（ ）ABCD12已知函數(shù)，則( )A-2B0C2D4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0有一個根為1+i，則14在長方體中，二面角的大小是_（用反三角表示）15的展開式中的系數(shù)為_.16在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，與交于兩點，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）若對任意實數(shù)都有函數(shù)的圖象與直線相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”，設(shè)函數(shù)，其中.（1）

4、討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)為“恒切函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；當(dāng)取最大值時，若函數(shù)也為“恒切函數(shù)”，求證：.18（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值;（2）當(dāng)時，證明：;（3）設(shè)函數(shù)的圖象與直線的兩個交點分別為，的中點的橫坐標(biāo)為，證明：.19（12分）已知命題：.（）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)命題：；若“”為真命題且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.20（12分）已知數(shù)列滿足：，且.（）求，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；（）試用數(shù)學(xué)歸納法證明（）中的猜想.21（12分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端

5、點在橢圓上，梯形面積為.（1）當(dāng)，時，求梯形的周長(精確到)；（2）記，求面積以為自變量的函數(shù)解析式，并寫出其定義域.22（10分）已知函數(shù)有兩個零點，.（）求的取值范圍；（）證明：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長,再求出其對角線長,然后根據(jù)正四棱柱的體對角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【詳解】依題意正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑, 的中點是球心,如圖: 依題意設(shè) ,則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接

6、球的直徑,所以外接球的半徑,則這個球的表面積是.故選C.【點睛】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.2、B【解析】先計算出，由正態(tài)密度曲線的對稱性得出，于是得出可得出答案【詳解】由題可知，由于，所以，因此，故選B.【點睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率，考查正態(tài)密度曲線的對稱性，解題時要注意正態(tài)密度曲線的對稱軸，利用對稱性來計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】根據(jù)排列組合數(shù)公式依次對選項，整理變形，分析可得答案【詳解】A，根據(jù)組合數(shù)公式，A不正確；B，故 B正確；C，故 C正確；D，故 D正確；故選：【點睛】本題考查排列組合數(shù)公式的計算

7、，要牢記公式，并進行區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題4、A【解析】從極值點可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式可得.【詳解】由題意知，的周期，得故選A【點睛】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)采取公式法，利用方程思想解題5、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號，然后結(jié)合所給的四個選項進行分析、判斷后可得正確的結(jié)論【詳解】由圖象可知，函數(shù)在時是增函數(shù)，因此其導(dǎo)函數(shù)在時，有（即函數(shù)的圖象在軸上方），因此排除A、C從原函數(shù)圖象上可以看出在區(qū)間上原函數(shù)是增函數(shù)，所以，在區(qū)間上原函數(shù)是減函數(shù)，所以；在區(qū)間上原函數(shù)是增函數(shù)，所以所以可排除C故選D【點睛】解題時注意導(dǎo)函數(shù)的符號

8、與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即函數(shù)遞增（減）時導(dǎo)函數(shù)的符號大（?。┯诹?，由此可判斷出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的相對位置，從而得到導(dǎo)函數(shù)圖象的大體形狀6、B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20S10，S30S20成等比數(shù)列即（S20S10）2S10（S30S20），代入可求【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，S10，S20S10，S30S20成等比數(shù)列，且公比為 （S20S10）2S10（S30S20）即 解 =20或-10（舍去）故選B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)（若Sn為等比數(shù)列的前n項和，且Sk，S2kSk，S3kS2k不為0，則其成等比數(shù)列）的應(yīng)用，注意隱含條件的運用7、C【解析】分析：由

9、為偶數(shù)，且，即可得結(jié)果.詳解：冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，為偶數(shù)，且，解得，故選C.點睛：本題考查冪函數(shù)的定義、冪函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查綜合利用所學(xué)知識解決問題的能力.8、B【解析】分別將曲線，的極坐標(biāo)方程化為普通方程，根據(jù)直線與圓相交，利用點到直線的距離公式結(jié)合垂徑定理，可得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，曲線曲線，則直線與圓相交，圓的半徑為，圓心到直線的距離為設(shè)長為，則有，即解得（舍負(fù)）故線段的長度為故選【點睛】本題主要考查的是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題9、D【解析】如圖所示，作三條輔助線，根據(jù)已知條件，這些小三角形全等，包含 個小三角形

10、，同時又在內(nèi)的小三角形共有 個，所以 ，故選D.10、D【解析】把伸縮變換的式子變?yōu)橛帽硎?，再代入原方程即可求出結(jié)果.【詳解】由 可得，將其代入可得：，即故其焦點為：.故選：D.【點睛】本題考查的是有關(guān)伸縮變換后曲線方程的求解問題，涉及到的知識點有伸縮變換規(guī)律對應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，確定函數(shù)的單調(diào)性【詳解】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為，故選：【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是識圖，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】令，則，據(jù)此可得：本題選擇D選項.二、填空題：本題共4小題

11、，每小題5分，共20分。13、0【解析】由題意可得1-i也是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個虛數(shù)根,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出p和q的值,即可求得p+q【詳解】由于復(fù)數(shù)1+i是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個虛數(shù)根,故1-i也是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個虛數(shù)根,故1+i+1-i=-p,(1+i)(1-i)=q,故q=-2,p=2,故p+q=0【點睛】本題主要考查實系數(shù)的一元二次方程虛根成對定理,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】根據(jù)二面角平面角的定義可知為二面角的平面角，在直角三角形中表示出，進而求得結(jié)果.【詳解】由長方體特點可知

12、：平面又平面，平面 ，即為二面角的平面角又， 即二面角的大小為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查二面角的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)二面角平面角的定義確定平面角，將平面角放到直角三角形中來進行求解.15、56【解析】利用二項式展開式的通項公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】的展開式的通項公式為.令，解得，故其系數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用二項式通項公式求指定項系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.16、8【解析】將曲線極坐標(biāo)方程化為化為直角坐標(biāo)方程，將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得到韋達定理的形式；利用可求得結(jié)果.【詳解】曲線的直角坐標(biāo)方程為：，把直線代入得：，則.故答案為：.【點睛】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程中

13、的弦長問題的求解，涉及到極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)，直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義等知識的應(yīng)用；關(guān)鍵是明確直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)的幾何意義，利用幾何意義知所求弦長為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）設(shè)切點為，求出，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出故實數(shù)的取值范圍為；當(dāng)取最大值時，因為函數(shù)也為“恒切函數(shù)”，故存在，使得，由得，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.詳解：（1）.當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，得，由得，由得，得函數(shù)

14、在上單調(diào)遞減，在上遞增.（2）若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，則函數(shù)的圖象與直線相切，設(shè)切點為，則且，即，.因為函數(shù)為“恒切函數(shù)”，所以存在，使得，即，得，設(shè).則，得，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而故實數(shù)的取值范圍為.當(dāng)取最大值時，因為函數(shù)也為“恒切函數(shù)”，故存在，使得，由得，設(shè)，則，得，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，1.在單調(diào)遞增區(qū)間上，故，由，得；2. 在單調(diào)遞增區(qū)間上，又的圖象在上不間斷，故在區(qū)間上存在唯一的，使得，故.此時由，得，函數(shù)在上遞增，故.綜上所述，. 點睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較

15、難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設(shè)計綜合題.18、（1）取得極大值，沒有極小值（2）見解析（3）見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)極值的定義，即可求解函數(shù)的極值；（2）由，整理得整理得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解（3）不妨設(shè)，由（1）和由（2），得，利

16、用單調(diào)性，即可作出證明【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值，沒有極小值;（2）由得整理得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，從而有（3）證明：不妨設(shè)，由（1）知，則，由（2）知，由在上單調(diào)遞減，所以，即，則，所以.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題19、（） ；（）.【解析】

17、（）若為真命題，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義域可得，解不等式組求得答案；（）“”為真命題且“”為假命題，則真假或假真，解出命題，對真假和假真兩種情況進行討論，從而得到答案【詳解】（）因為，所以可得 ，所以當(dāng)命題為真命題時，解得；（）易知命題：.若為真命題且為假命題，則真假或假真，當(dāng)真假時，方程組無解；當(dāng)假真時，解得；綜上，為真命題且為假命題時，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查利用命題與復(fù)合命題的真假關(guān)系求變量的取值范圍，屬于一般題20、（），猜想.（）證明見解析【解析】（）令，可得，的值，根據(jù)，可猜想數(shù)列的通項公式；（）當(dāng)時，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)時猜想成立，通過證明當(dāng)時，猜想也成立，從而得到證明.

18、【詳解】解：（）由遞推公式可得，猜想.（）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.當(dāng)時，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，則時，由，得，即當(dāng)時，猜想也成立，由可知，對任意均成立.【點睛】本題主要考查歸納推理及用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.21、（1）周長是；（2），定義域.【解析】分析：（1）以下底所在直線為軸，等腰梯形所在的對稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，可得橢圓方程為，由題，則代入橢圓方程得，可求，由此可求求梯形的周長.（2）由題可得，由此可求，進而得到定義域.詳解：（1）以下底所在直線為軸，等腰梯形所在的對稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，可得橢圓方程為，代入橢圓方程得，所以梯形的周長是；（2）得，定義域.點睛：本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)定義域的問題，是綜合性題目22、（）（）見解析【解析】分析：（1）先令，再求出，再研究函數(shù)的圖像得到a的取值范圍