遼寧省錦州市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某種技術(shù)競賽，決出了第一名到第五名的五個名次，甲、乙去詢問成績，組織者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”.從組織者的回答分析，這五個人的名次排列的不同情形種數(shù)共有（ ）ABC

2、D2古印度“漢諾塔問題”：一塊黃銅平板上裝著A,B,C三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱A上套著個大小不等的環(huán)形金盤，大的在下、小的在上.將這些盤子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動規(guī)則如下：一次只能將一個金盤從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤子放在較小盤子上面.若A柱上現(xiàn)有3個金盤（如圖），將A柱上的金盤全部移到B柱上，至少需要移動次數(shù)為（ ）A5B7C9D113若的二項展開式各項系數(shù)和為，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果為（ ）ABCD4在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）A-832B-672C-512D-19252017年1月我市某校高三年級1600名學(xué)生參加了全市高三期末聯(lián)考，已知數(shù)學(xué)考試成績（

3、試卷滿分150分）統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次期末聯(lián)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為A120B160C200D2406已知隨機(jī)變量，若，則（ ）A0.1B0.2C0.32D0.367已知某企業(yè)上半年前5個月產(chǎn)品廣告投入與利潤額統(tǒng)計如下：月份12345廣告投入（萬元）9.59.39.18.99.7利潤（萬元）9289898793由此所得回歸方程為，若6月份廣告投入10（萬元）估計所獲利潤為（ ）A97萬元B96.5萬元C95.25萬元D97.25萬元8若曲線在點(diǎn)（0，n）處的切線方程x-y+1=0，則（）A，B，C，D，9設(shè)函數(shù)f(x)axA193

4、B163C1310一物體的運(yùn)動方程為（為常數(shù)），則該物體在時刻的瞬時速度為（ ）ABCD11己知命題P：單位向量的方向均相同，命題q：實(shí)數(shù)a的平方為負(fù)數(shù)。則下列說法正確的是A是真命題B是真命題C是假命題D是假命題12設(shè)全集，集合，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，是某球面上不共面的四點(diǎn)，且，則此球的表面積等于_.14若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，則該切線方程為_15在棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，則到平面的距離等于_.16函數(shù)f（x）sinx+aex的圖象過點(diǎn)（0，2），則曲線yf（x）在（0，2）處的切線方程為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、

5、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖,在一個水平面內(nèi),河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個邊長為2(單位:千米)的等邊三角形的三個頂點(diǎn)處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側(cè)的河岸所在直線恰經(jīng)過BC的中點(diǎn)D.現(xiàn)欲在河岸上A,D之間取一點(diǎn)E,分別修建電纜CE和EA,EB.設(shè)DCE=,記電纜總長度為f() (單位:千米).(1)求f()的解析式；(2)當(dāng)DCE為多大時,電纜的總長度f()最小,并求出最小值.18（12分）如圖，圓柱的軸截面是，為下底面的圓心，是母線，.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.19（12分）如圖，已知三棱柱，底面，為的中點(diǎn).（I）證明：面；

6、（）求直線與平面所成角的正弦值.20（12分）已知正項數(shù)列中，且（1）分別計算出的值，然后猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.21（12分）某理財公司有兩種理財產(chǎn)品A和B，這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立）：產(chǎn)品A投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率產(chǎn)品B投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率pq注：p0，q0（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品A和產(chǎn)品B投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；（2）若丙要將家中閑置的10萬元人民幣進(jìn)行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，則選用哪種產(chǎn)品投資較理想？2

7、2（10分）已知橢圓:的上頂點(diǎn)為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)分別為、.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)A的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且,試探究直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.詳解：先排乙，有種，再排甲，有種，最后排剩余三人，有種因此共有，選D.點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題“插空法”；(3)元素有順序限制

8、的排列問題“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題“間接法”； （5） “在”與“不在”問題“分類法”.2、B【解析】設(shè)細(xì)柱A上套著n個大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動次數(shù)記為an，則a【詳解】設(shè)細(xì)柱A上套著n個大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動次數(shù)記為an要把最下面的第n個金盤移到另一個柱子上，則必須把上面的n-1個金盤移到余下的一個柱子上，故至少需要移動an-1把第n個金盤移到另一個柱子上后，再把n-1個金盤移到該柱子上，故又至少移動an-1次，所以aa1=1，故a2【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求根據(jù)問題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.3、

9、C【解析】分析：利用賦值法求得，再按復(fù)數(shù)的乘方法則計算詳解：令，得，故選C點(diǎn)睛：在二項式的展開式中，求系數(shù)和問題，一般用賦值法，如各項系數(shù)為，二項式系數(shù)和為，兩者不能混淆4、A【解析】求出展開式中 的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即可.【詳解】含的項的系數(shù)即求展開式中 的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即含的項的系數(shù)是故選A.【點(diǎn)睛】本題考查二項式定理，屬于中檔題5、C【解析】結(jié)合正態(tài)分布圖象的性質(zhì)可得：此次期末聯(lián)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為 . 選C.6、A【解析】由求出，進(jìn)而，由此求出.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得或（舍），由，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查二項分布、正態(tài)分布等

10、基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.7、C【解析】首先求出的平均數(shù)，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程中求出的值，然后寫出回歸方程，然后將代入求解即可【詳解】代入到回歸方程為，解得將代入，解得故選【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于線性回歸方程的題目，解答本題的關(guān)鍵是求出線性回歸方程，屬于基礎(chǔ)題。8、A【解析】根據(jù)函數(shù)的切線方程得到切點(diǎn)坐標(biāo)以及切線斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求解即可【詳解】曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，曲線方程為，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 即，即，則，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

11、(1) 已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2) 己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3) 巳知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn)) 求切點(diǎn), 設(shè)出切點(diǎn)利用求解.9、D【解析】由題，求導(dǎo)，將x=-1代入可得答案.【詳解】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)=3ax解得a=10故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】對運(yùn)動方程為求導(dǎo)，代入，計算得到答案.【詳解】對運(yùn)動方程為求導(dǎo)代入 故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的意義，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.11、D【解析】先判斷命題P，命題q均為假.再逐項判斷每個選項的正誤.【詳解】命題P：單位向量的方向可以是任意的，假命題命題q：實(shí)數(shù)a的平方為非負(fù)數(shù)，假命題為假

12、命題，A錯誤為假命題，B錯誤是真命題，C錯誤是假命題，D正確故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題的判斷，正確判斷命題的正誤是解決此類題型的關(guān)鍵.12、A【解析】先化簡集合A,B,再判斷每一個選項得解.【詳解】，由此可知，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】把已知三棱錐補(bǔ)形為正方體，可得外接球的半徑，則答案可求【詳解】解：如圖，把三棱錐ABCD補(bǔ)形為棱長為的正方體，可得為球的直徑，則球的半徑為，球的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維

13、能力，正確補(bǔ)形是關(guān)鍵，是中檔題14、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)處的切線斜率為1，可得，所以，切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，可得切點(diǎn)為，即有切線的方程為，即為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】由題意畫出正方體，求出的面積，利用等體積法求解到平面的距離.【詳解】由題意，畫出正方體如圖所示，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，在中，所以，所以，設(shè)到平面的距離為，由，得，解得，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查求點(diǎn)到平面距離的方法、棱錐體

14、積公式、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，考查等體積法的應(yīng)用和學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計算能力，屬于中檔題.16、【解析】先根據(jù)求得的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.【詳解】由可得，從而， 故在處的切線方程為，即切線方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)解析式的求法，考查在函數(shù)圖像上一點(diǎn)處切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f()=2-sincos+3，03【解析】分析：易得CE=EB=1cos，ED=tan，AE=3-tan，f()=2-sincos+3，03. (2)求導(dǎo)f()=-cos2詳解：(1)易得AD垂直平分BC，C

15、D=BD=1則CE=EB=1cos，ED=于是f()=1cos因?yàn)镋在CD之間,所以0故f()=2-sin(2) f()=-cos2令f()=0,得sin=故當(dāng)06，f()0，當(dāng)63.,所以,當(dāng)=6時, f()答:當(dāng)DCE=6時, f()最小值為點(diǎn)睛：此題為三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，解題時要注意分析題目中的條件，常常跟正余弦定理，三角函數(shù)比值關(guān)系等幾何關(guān)系結(jié)合在一起考查，不難，但是綜合性強(qiáng)；第二問求最值如果不能轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求得最值，那就通過導(dǎo)數(shù)來分析.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用三角形中位線定理證明，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）先利用面面垂直的性質(zhì)

16、證明平面，可得點(diǎn)到平面的距離為，由，結(jié)合棱錐的體積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接.四邊形是矩形，是的中點(diǎn).點(diǎn)為的中點(diǎn)，.又平面，平面，平面.（2），.在三棱柱中，由平面，得平面平面.又平面平面，平面，點(diǎn)到平面的距離為，且.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理、以及棱錐體積，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.19、（I）

17、證明見解析；（）.【解析】（I）連接，交于，則為的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明平面；（）以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，計算出平面的一個法向量，記直線平面所成角為，于是得出可得出直線與平面所成角的正弦值。【詳解】（）證明：連接，交于，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)樵诿鎯?nèi)，不在面內(nèi)，所以面；（）以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系（不妨設(shè)）.所以，設(shè)面的法向量為，則，解得.因?yàn)?，記直線平面所成角為.所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的計算，常見的有定義法和空間向量法，可根據(jù)題中的條件來選擇，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于

18、中等題。20、（1）；（2）見解析.【解析】（1）逐個計算計算出的值，再通過觀察可猜。（2）先檢驗(yàn)n=1滿足，再假設(shè)時（*）式成立，即，下證即可證明?！驹斀狻浚?） 令得化簡得，解得或 . 令得化簡得，解得或 令得化簡得，解得或 猜想（*）.當(dāng)時，（*）式成立； 假設(shè)時（*）式成立，即，那么當(dāng)時， 化簡得 所以當(dāng)時，（*）式也成立. 綜上：由得當(dāng)時，【點(diǎn)睛】本題考查歸納-猜想-證明，這一常見思維方式，而與自然數(shù)相關(guān)的結(jié)論證明我們常用數(shù)學(xué)歸納法。21、（1）；（2）當(dāng)時，E(X)E(Y)，選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個；當(dāng)時，E(X)E(Y)，選擇

19、產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品A；當(dāng)時，E(X)E(Y)，選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品B【解析】（1）先表示出兩人全都不獲利的概率，再求至少有一人獲利的概率，列出不等式求解；（2）分別求出兩種產(chǎn)品的期望值，對期望中的參數(shù)進(jìn)行分類討論，得出三種情況.【詳解】（1）記事件A為“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”，事件B為“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”，事件C為“一年后甲，乙兩人中至少有一人投資獲利”，則，所以，解得又因?yàn)?，q0，所以所以 （2）假設(shè)丙選擇產(chǎn)品A進(jìn)行投資，且記X為獲利金額（單位：萬元），則隨機(jī)變量X的分布列為X40-2p則假設(shè)丙選擇產(chǎn)品B進(jìn)行投資，且記Y為獲利金額（單位：萬元），則隨機(jī)變量Y的分