2021-2022學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1為客觀了解上海市民家庭存書(shū)量，上海市統(tǒng)計(jì)局社情民意調(diào)查中心通過(guò)電話調(diào)查系統(tǒng)開(kāi)展專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查，成功訪問(wèn)了位市民，在這項(xiàng)

2、調(diào)查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（ ）A總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是B總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是C總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民，樣本的容量是D總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民，樣本的容量是2設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）ABCD4已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為( )A2B3C4D55某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD6平面向量，（），且與的夾角等于與的夾角，則（ ）ABCD7函數(shù)的遞增區(qū)間為（

3、 ）ABCD8若一圓柱的側(cè)面積等于其表面積的，則該圓柱的母線長(zhǎng)與底面半徑之比為（ ）A1：1B2：1C3：1D4：19設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是ABCD10如圖，在正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則異面直線DE與所成角的大小為（）ABCD11對(duì)于問(wèn)題：“已知x,y,z是互不相同的正數(shù)，求證：三個(gè)數(shù)x+1Ax+1z,y+1Cx+1z,y+112已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的解析式 不可能是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)_.14若，則的最小值為_(kāi)15直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi).16從一堆蘋(píng)果中任取5只，稱(chēng)得它們

4、的質(zhì)量如下（單位：克）125 124 121 123 127，則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差 （克）（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).證明：（1）在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；（2）有且僅有個(gè)零點(diǎn).18（12分）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線過(guò)點(diǎn),求的值;(2)是否存在實(shí)數(shù),使恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理山 .19（12分）設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）令，求的表達(dá)式；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20（12分）盒子中有大小和形狀完全相同的個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑球，從中不放回地依次抽取個(gè)球.（1）求在第次抽到紅球的條件

5、下，第次又抽到紅球的概率；（2）若抽到個(gè)紅球記分，抽到個(gè)白球記分，抽到個(gè)黑球記分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列.21（12分）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且.（1）證明：；（2）若，且的面積為，求.22（10分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，是中點(diǎn)，求的長(zhǎng).參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)總體、樣本及樣本的容量的概念，得到答案.【詳解】根據(jù)題目可知，總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查總體、樣本及樣本的容量的概念，屬于

6、簡(jiǎn)單題.2、A【解析】先求出，再判斷得解.【詳解】，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（3,5），故復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)位于第一象限.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性得出，再由可計(jì)算出答案【詳解】由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，因此，故選B【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布概率的計(jì)算，充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】由題意得，根據(jù)，可得的值可以是：，共有5個(gè)值，所以集合中共有5個(gè)元素，故選D.考點(diǎn)：集合的概念及集合的表示.5、A【解析】由三視圖得出

7、該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為4的圓柱挖掉右上半圓柱而形成的幾何體，在利用體積公式求解，即可得到答案.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為4的圓柱挖掉右上半圓柱而形成的幾何體，故該幾何體的體積為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.6、D【解析】,與的夾角等于與的夾角 ,解得,故選D.【考點(diǎn)定位】向

8、量的夾角及向量的坐標(biāo)運(yùn)算.7、D【解析】f(x)=lnx4x+1定義域是x|x0當(dāng)f(x)0時(shí),.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)關(guān)鍵是分離參數(shù)k，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f(x)0(或f(x)0)恒成立問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式，要注意“”是否可以取到8、B【解析】設(shè)這個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，根據(jù)已知條件列等式，化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】設(shè)這個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，則，化簡(jiǎn)得，即，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式，考查了圓柱的表面積公式，屬于基

9、礎(chǔ)題.9、D【解析】令，則在上有兩個(gè)不等實(shí)根，有解，故, 點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與極值問(wèn)題，要注意轉(zhuǎn)化，函數(shù)()在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上有兩個(gè)不等實(shí)根，所以有解，故,只需要滿(mǎn)足解答此類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用10、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，先求得向量的夾角的余弦值，即可得到異面直線所成角的余弦值，得到答案.【詳解】分別以所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得,所以，所以，所以異面直線和所成的角的余弦值為，所以異面直線和所成的角為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用

10、向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】找到要證命題的否定即得解.【詳解】“已知x，y，z是互不相同的正數(shù)，求證：三個(gè)數(shù)x+1z，y+1x，而它的反面為：三個(gè)數(shù)x+1z，y+1x，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，命題的否定，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】根據(jù)奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求得的值.在根據(jù)單調(diào)性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即，故函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上遞增，故在上遞減.對(duì)于A選項(xiàng)，符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)，符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)，在上遞減，不符合題意，故本小題選D.【點(diǎn)

11、睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查含有絕對(duì)值函數(shù)的理解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，從而列方程求解即可.【詳解】隨機(jī)變量，其正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由于，所以與關(guān)于對(duì)稱(chēng).，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性及概率的簡(jiǎn)單計(jì)算.14、【解析】由題可得，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用“整體乘1”的方法和基本不等式的性質(zhì)來(lái)求最值，注意基本不等式的前提是正數(shù).15、4【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

12、求出圓心坐標(biāo)與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用勾股定理即可求出截得的弦長(zhǎng)【詳解】由圓可得則圓心坐標(biāo)為，半徑圓心到直線的距離直線被圓截得的弦長(zhǎng)為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了求直線被圓所截的弦長(zhǎng)，由弦長(zhǎng)公式，分別求出半徑和圓心到直線的距離，然后運(yùn)用勾股定理求出弦長(zhǎng)16、2【解析】因?yàn)闃颖酒骄鶖?shù)，則樣本方差所以三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）令，然后得到，得到的單調(diào)性和極值，從而證明在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；（2）根據(jù)的正負(fù)，得到的單調(diào)性，結(jié)合，的值，得到的圖像，從而得到的單調(diào)性，結(jié)合和的值，從而判斷出有且僅有個(gè)零

13、點(diǎn).【詳解】（1）令，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，.在遞增，.故存在使得，時(shí)，時(shí)，.綜上，在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn).（2）由（1）可得時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增.且， .故的大致圖象如下：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，單調(diào)遞增，而.故存在，使得故在上，的圖象如下：綜上，時(shí)，時(shí)，時(shí)，.在遞增，在遞減，在遞增，而，又當(dāng)時(shí)，恒成立.故在上的圖象如下：有且僅有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于中檔題.18、（1）或（2）存在，使得不等式成立，詳見(jiàn)解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率，寫(xiě)出切線方程，由切線過(guò)點(diǎn)可求得參數(shù)，從而得切線方程；（2），要使恒成立，則是的極小值點(diǎn)，先由

14、此結(jié)論求出參數(shù)，然后驗(yàn)證是極小值，也是最小值點(diǎn)【詳解】（1）曲線在處的切線方程為又切線過(guò)點(diǎn)或（2）的定義域?yàn)?，要使恒成立，則是的極小值點(diǎn).，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值1， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即 當(dāng)時(shí)，恒成立，【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極值本題通過(guò)不等式恒成立及，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為就是極小值，從而先求出參數(shù)的值，然后再證明恰是極小值即可19、（1）；（2）.【解析】分析：（1）求出的解析式，依次計(jì)算即可得出猜想；（2）已知恒成立，即 恒成立設(shè) (x0)，則(x)=， 對(duì) 進(jìn)行討論，求出 的最小值，令 恒成立即可；詳解：由題設(shè)得，g

15、(x) (x0) (1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得gn(x). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，g1(x)，結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即gk(x).那么，當(dāng)nk1時(shí)，gk1(x)g(gk(x)，即結(jié)論成立由可知， 結(jié)論對(duì)nN成立所以gn(x). (2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立設(shè)(x)ln(1x) (x0)，則(x)=， 當(dāng)a1時(shí)，(x)0(僅當(dāng)x0，a1時(shí)等號(hào)成立)，(x)在0，)上單調(diào)遞增，又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1時(shí)，ln(1x)恒成立(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立) 當(dāng)a1時(shí)，對(duì)x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1

16、上單調(diào)遞減，(a1)1時(shí)，存在x0，使(x)0，故知ln(1x)不恒成立 綜上可知，a的取值范圍是(，1 點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷與最值計(jì)算，數(shù)學(xué)歸納法證明，分類(lèi)討論思想，屬于中檔題20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)“第1次抽到紅球”為事件A，“第2次抽到紅球”事件B，則“第1次和2次都抽到紅球”就是事件AB，利用條件概率計(jì)算公式能求出在第1次抽到紅球的條件下，第2次又抽到紅球的概率（2）隨機(jī)變量X可能取的值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列【詳解】（1）設(shè)“第次抽到紅球”為事件，“第次抽到紅球”事件，則“第次和次都抽到紅球”就是事件 （2）隨機(jī)變量可能取的值為，. 隨機(jī)變量的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查條件概率計(jì)算公式、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題21、（1）見(jiàn)解析（2）2【解析】試題分析：（1）由，根據(jù)正弦定理可得 ，利用兩角和的正弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)后可得，所以，；（