三角級數(shù)正交函數(shù)系

1、三角級數(shù)正交函數(shù)系三角級數(shù)正交函數(shù)系一、三角級數(shù)正交函數(shù)系在科學實驗與工程技術中，常會碰到周期運動，最簡單的周期運動，可用正弦函數(shù)來描寫。這樣的周期運動也稱為簡諧振動，其中A為振幅， 為初相角， 為角頻率。較為復雜的周期運動，則常是幾個簡諧振動的疊加。一、三角級數(shù)正交函數(shù)系在科學實驗與工程技術中，常會碰到周期第十五章 傅立葉級數(shù)Fourier Series第十五章 傅立葉級數(shù)Fourier Series非正弦周期函數(shù):矩形波不同頻率正弦波逐個疊加非正弦周期函數(shù):矩形波不同頻率正弦波逐個疊加三角級數(shù)正交函數(shù)系三角級數(shù)正交函數(shù)系三角級數(shù)正交函數(shù)系三角級數(shù)正交函數(shù)系三角級數(shù)正交函數(shù)系由以上可以看到：

2、一個比較復雜的周期運動可 以看作是許多不同頻率的簡諧振動的疊加由以上可以看到：一個比較復雜的周期運動可 以看作是許多不同由無窮多個簡諧振動疊加就得到函數(shù)項級數(shù)記由無窮多個簡諧振動疊加就得到函數(shù)項級數(shù)記則級數(shù)可改寫為(4)(4)式的級數(shù)稱為三角級數(shù)它是由三角函數(shù)列組成則級數(shù)可改寫為(4)(4)式的級數(shù)稱為三角級數(shù)它是由三角函數(shù)定理15.1 若級數(shù)收斂，則級數(shù)（4）在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂。定理15.1 若級數(shù)收斂，則級數(shù)（4）在整個數(shù)軸上絕對三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系中任何兩個不相同函數(shù)的乘積在 上的積分都等于零，即三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系中任何兩個不相同函數(shù)的乘積在三角級數(shù)正交函數(shù)

3、系以2為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)以2為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)定理15.2 若在整個數(shù)軸上且上式右邊的級數(shù)一致收斂，則有定理15.2 若在整個數(shù)軸上且上式右邊的級數(shù)一致收斂，證可得證可得可得可得可得可得稱為 的Fourier系數(shù)，以 的Fourier系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)稱為 的Fourier級數(shù)。記為稱為 的Fourier系數(shù)，以 的Four問題: 滿足什么條件時有問題: 滿足什么條件時有三、收斂定理定理15.3 若以2為周期的函數(shù) f 在 -, 上按段光滑，則在每一點 x-, ，有三、收斂定理定理15.3 若以2為周期的函數(shù) f 在三角級數(shù)正交函數(shù)系解解和函數(shù)圖象為和函數(shù)圖象為所

4、求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為注(一)對于非周期函數(shù),如果函數(shù) 只在區(qū)間 上有定義,并且滿足狄立克雷充分條件,也可展開成傅立葉級數(shù).作法:注(一)對于非周期函數(shù),如果函數(shù) 只在區(qū)間解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在收斂于 .解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 拓廣的周期函三角級數(shù)正交函數(shù)系所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式為所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式為推廣:利用傅立葉級數(shù)展開式求出幾個特殊級數(shù)的和推廣:利用傅立葉級數(shù)展開式求出幾個特殊級數(shù)的和三角級數(shù)正交函數(shù)系正弦級數(shù)和余弦級數(shù)(Sine series and cosine series) 一般說來,一個函數(shù)的

5、傅里葉級數(shù)既含有正弦項,又含有余弦項.但是,也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項或者只含有常數(shù)項和余弦項.1.定理 設 是周期為 的函數(shù),且可積,則正弦級數(shù)和余弦級數(shù)(Sine series and cos證明證明同理可證(2)2.定義定理證畢.同理可證(2)2.定義定理證畢.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象三角級數(shù)正交函數(shù)系解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個數(shù)軸上連續(xù).解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, 在整個數(shù)軸上連續(xù).三角級數(shù)正交函數(shù)系三角級數(shù)正交函數(shù)系非周期函數(shù)的周期性開拓則有如下兩種情況注(二)非周期函數(shù)的周期性開拓則有如下兩種情況注(二)1.奇延拓1.奇延拓2.偶延拓2.偶延拓解(1)求正弦級數(shù).解(1)求正弦級數(shù).三角級數(shù)正交函數(shù)系(2)求余弦級數(shù)(2)求余弦級數(shù)1.基本概念 三角級數(shù)及其正交性,傅立 葉系數(shù),傅立葉級數(shù),周期延拓,奇、偶延拓,正弦級數(shù),余弦級數(shù)；2.函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)定理 狄利克雷充分條件定理,周期的