八個(gè)有趣模型-搞定空間幾何體地外接球與內(nèi)切球

1、八個(gè)有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一、有關(guān)定義1球的定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫球面，簡(jiǎn)稱球.2外接球的定義：若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面 體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.3內(nèi)切球的定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體， 這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法1性質(zhì)：性質(zhì) 1：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì) 2：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì) 3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平

2、面（類比：圓的垂徑定理）；性質(zhì) 4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì) 5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心（類比：在同圓中， 兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）.2結(jié)論：結(jié)論 1：長(zhǎng)方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)是球心；結(jié)論 2：若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長(zhǎng)方體的外接球相同；結(jié)論 3：長(zhǎng)方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心，換言之， 就是：底面的一條對(duì)角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；結(jié)論 4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的

3、圓心連一段中點(diǎn)處；結(jié)論 5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線（外接圓直徑）是球的直徑；結(jié)論 6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論 7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結(jié)論 8：圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論 9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3終極利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求線段長(zhǎng)度）；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直.（與直線切圓的結(jié)論有一致性）.2內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.（類比

4、：與多邊形 的內(nèi)切圓）.3正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.5基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法（等體積法）.四、與臺(tái)體相關(guān)的，此略.五、八大模型第一講 柱體背景的模型類型一、墻角模型（三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）C圖1-1cCBa圖1-2圖1-3PcC圖1-4C圖1-1cCBa圖1-2圖1-3PcC圖1-4方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2 R)2 =a2 + b2 + c2，即 2R =寸。2 + b2 + c2 ，求出 R例1 (1)已知各頂點(diǎn)都在同一球面

5、上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是( C )A. 16A. 16兀B. 20kC. 24kD. 32kC(3)題-1(引理)C(3)題C(3)題-1(引理)C(3)題-2(解答圖)解：V = a 2 h =16 , a = 2 , 4 R 2 = a 2 + a 2 + h 2 = 4 + 4 +16 = 24 , S = 24k ，選C;(2 )若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為3，則其外接球的表面積是 9k解: 4 r 2 = 3 + 3 + 3 = 9 , s = 4kR 2 = 9k ；(3 )在正三棱錐S - ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且AM丄

6、MN，若側(cè)棱SA = 23，則正三棱錐S - ABC外接球的表面積是.36k解：引理： 正三棱錐的對(duì)棱互相垂直.證明如下：如圖(3)-1，取AB, BC的中點(diǎn)D, E，連接AE, CD , AE, CD交于H，連接SH ,則H是底面正三角形ABC的中心，SH 丄平面 ABC SH 丄 AB ,0 AC = BC , AD = BDCD丄 ABAB丄平面SCD ,.AB丄SC，同理：BC丄SA , AC丄SB，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直， 本題圖如圖（3）-2, 0 AM 丄 MN , SB/MN ,. AM 丄 SB ， 0 AC 丄 SB ， . SB 丄 平面 SAC ，.SB 丄 SA ,

7、SB 丄 SC ,0 SB 丄 SA , BC 丄 SA ,.SA丄平面SBC , . SA丄SC , 故三棱錐S - ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2 二(23)2 + (2 2 + (2 2 二 36，即 4R2 = 36，/.正三棱錐S - ABC外接球的表面積是36(4)在四面體S - ABC中，SA丄平面ABC , Zbac二120。, SA二AC二2, ab二1,則該四面體的外接球的表面積為( D )A.llnA.llnB.7 兀C.10 “d.40 “解：在 AABC 中，BC2 = AC2 + AB2 - 2AB - BC - cos120。= 7 , BC =、訂,

8、AABC 的外接球直徑為BCsin ZBAC(2RBCsin ZBAC(2R)2 二(2r)2 + SA2 二+4 二 40，選D5 )如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6 、4、3，那么它的外接球的表面積是 解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a，b，c( a, b, c g R +)，則ab = 12bc = 8，. abc 二 24，. a 二 3，b 二 4，c 二 2，(2r)2 二 a2 + b2 + c2 二 29，s = 4兀R2 = 29兀，ac = 6(6)已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體外

9、接球的體積為3解: (2R)2 = a2 + b2 + c2 = 3R2 = R =222類型二、對(duì)棱相等模型(補(bǔ)形為長(zhǎng)方體)題設(shè)：三棱錐(即四面體)中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑( AB = CD ，AD = BC ，AC =BD)第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步：設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a，b，c , ad = BC = x ,AB = CD = y , AC = BD = z ,列方程組，a 2 + b 2 = x 2 a 2 + b 2 = x 2 b 2 + c 2 = y 2 nc 2 + a 2 = z 2(2 R )2 = a 2 + b 2

10、+ c 2 = 補(bǔ)充：圖2-1中，abc x 4 =1 abc .A-BCD63第三步:根據(jù)墻角模型，2 R =、a2 + b 2 + c 2 =、：x 2 + y2 + Z 22圖2-1R = x圖2-1R = x2 + y2 + z2 R = A思考：如何求棱長(zhǎng)為a的正四面體體積，如何求其外接球體積？例2(1)如下圖所示三棱錐A - BCD，其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,則該三棱錐外接球的表面積為.解：對(duì)棱相等，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖2-1,設(shè)長(zhǎng)寬高分別為。，b，c，2(a2 + b2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110，(1

11、)題圖a2 + b2 + c2 = 55，4R2 = 55，S = 55兀(1)題圖(2)在三棱錐 A BCD 中，AB = CD = 2 ， AD = BC = 3 ， AC = BD = 4，則三棱錐 A BCD 夕卜接 TOC o 1-5 h z 球的表面積為.兀2解：如圖2-1,設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為a，b,c，則a2 + b2 = 9，b2 + c2 = 4 ，c2 + a2 = 162(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29 ，2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29 ，292929a 2 + b 2

12、 + c 2 =一 4 R 2 =一 S =兀222（3 ）正四面體的各條棱長(zhǎng)都為丫2，則該正面體外接球的體積為3）解答題3）解答題解：正四面體對(duì)棱相等的模式，放入正方體中，2R 7，R弓,V二4”甲兀4 ）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如下圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是.類型三、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）題設(shè)：如圖3-1，圖3-2，圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：確定球心0的位置，O是AABC的外心，則OO丄平面ABC ;第二步：算出小圓O的半徑AO = rOOi=2

13、 AA1=2h（ AAi=h 第二步：算出小圓O的半徑AO = r解出 R第三步：勾股定理：OA2二纟A2 + Op2 = R2 = + r 2 = R飛r 2 +解出 R例3 （ 1 ）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為8 解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，則a=1，2正六棱柱的底面積為 S = 6- （ ）2 =，V = Sh = h =，： h = -f3 ，4R2 = 12 + Gl.；3）2 = 4 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l b

14、ookmark19 o Current Document 428 柱88也可r2=（）2+（殲）2=1）/ r=1，球的體積為v =； HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 22球 3（2）直三棱柱ABC - A1BC1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB = AC = A = 2, ABAC = 120。，則此球的表面積等于.3）題解: BC = 2J3，2r = % = 4，r = 2，R =、占，S = 25 ； sinl20。3）題（3）已知AEAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB = 3, AD = 2, ZAEB =

15、 60。，則多面體 E ABCD 的外接球的表面積為. 16兀解：折疊型，法一：AEAB的外接圓半徑為r =品，OO = 1，R = JTT3 = 2 ；,3；733 13法二：OM =匸，r2 = O2D = F，R 2 =4 + J = 4，R = 2，=；法三：補(bǔ)形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略.換一種方式，通過算圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)來求球的直徑：（2 R ）2=（2 6+22=16，/=6 ；（4 ）在直三棱柱ABC-ABC中，AB = 4,AC = 6,A = AA = 4 ,則直三棱柱ABC-ABC的外接 球的表面積為.160兀3解：法一：BC2=16

16、+36 - 2 -4 -6 - 2 =28, BC 二2 戸,2r =等=呂（竺）2 （竺）2 =空 + 4 = 40233160表3法二：求圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)得球直徑，此略.第二講 錐體背景的模型類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑正弦定理求大圓直徑是通法）圖4-1類型四、切瓜模型（兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑正弦定理求大圓直徑是通法）圖4-1圖4-2圖4-3圖4-41如圖4-1,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC為小圓的直徑），且P的射影是AABC的外 心O三棱錐P - ABC的三條側(cè)棱相等O三棱P - ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓

17、 錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心0的位置，取AABC的外心O，則P, O, O三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓O的半徑AO = r，再算出棱錐的高PO = h （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2 = O A2 + O O2 n R2 = （h 一 R）2 + r2，解出 R ；事實(shí)上，AACP的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出R .2 如圖4-2，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC為小圓的直徑），且PA丄AC，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 = PA2 + （2r）2 0 2R = JPA2 + （2r）2 ； R2 = r2 + OO2 O R

18、= i r2 + OO 21 、 1如圖4-3，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即AC為小圓的直徑)OC2 = O C2 + O O2 o R2 = r2 + O O2 o AC 二 2 補(bǔ)R2 O O2 iii、1題設(shè)：如圖4-4，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即AC為小圓的直徑)第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC二2r ；第二步：在APAC中，可根據(jù)正弦定理丄=丄=亠 =2R，求出R.sin A sin B sin C例4(1 )正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上若該棱錐的高為1底面邊長(zhǎng)為2芒則該球的表面積為.解：法一：由正弦定

19、理(用大圓求外接球直徑)；法二：找球心聯(lián)合勾股定理，2R 二 7，S = 4兀R 2 = 49兀；(2 )正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為才2，各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球體積為_ 解：方法一：找球心的位置，易知r二1，h二1，h二r，故球心在正方形的中心ABCD處，R二1 ,V =竺3方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是ASAC的外接圓，此處特殊，RtASAC的斜邊是球半徑，4兀2 R 二 2，R 二 1，V =.3( 3 )一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是( )D .亙12解：高h(yuǎn)二R二1，底面外接圓的半

20、徑為R =1，直徑為2R = 2 ,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則2R = 2 , a =、； 3 , S二a 2二，三棱錐的體積為V = Sh二； TOC o 1-5 h z sm 60o4434(4 )在三棱錐P - ABC中，PA二PB二PC二呂側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60o，則該三棱錐外 接球的體積為( )A .兀B. -C. 4兀D.竺33解：選D,由線面角的知識(shí)，得AABC的頂點(diǎn)A，B，C在以r二上3為半徑的圓上，在圓錐中求解，R二1 ；2(5 )已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上,AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球O的直徑，且SC二2，則此棱錐的體積為()AB解: 00

21、 = R2 B解: 00 = R2 r216 7 276 T，h SD更2V _ 1 Sh _ 1昭2屆邁球 33 436類型五、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面)1題設(shè)：如圖5, PA丄平面ABC，求外接球半徑.圖5圖5解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過球心0；第二步：0為AABC的外心，所以00丄平面ABC，算出小圓0的半徑0 D r (三角形的外接圓直 徑算法：利用正弦定理，得-2r), 00 PA ；sin A sin B sin C1 2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2 PA2 + (2r)2

22、o 2R ：-PA2 + (2r)2 ； R2 r2 + 002 o R r2 + 00 21中12 題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形，P的射影是AABC的外心O三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等o三棱錐P ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).AOB圖5-2O1A圖5-3圖5-7圖5-8第一步：確定球心o的位置，取AABC的外心0，則p, o, o三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓O的半徑AO = r，再算出棱錐的高po = h (也是圓錐的高);第三步：勾股定理：OA2 二 O A2 + O O2 n R2 二(h - R)2 + r2，解出 R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用

23、正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例 5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為( )CD以上都不對(duì)A. 3兀B. 2D以上都不對(duì)解答圖解：選 C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上，216（屮3 R）2 +1 = R2 R = S = 4兀R2 =兀；33法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形 PMN 的外接圓是大圓，于是2 R 圓，于是2 R =2= 4sin 60o 鋁下略；第三講 二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）CB圖6CB圖6第一步：先畫出如圖6所示

24、的圖形，將ABCD畫在小圓上，找出ABCD和AABD的外心h和H?;第二步：過生和H分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心0，連接0EQC ； 第三步：解A0EH，算出0H，在RtAOCH、中，勾股定理：OH 2 + CH 2 = OC2注：易知0, H , E,H四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓，證略.12例6（1）三棱錐P ABC中，平面PAC丄平面ABC， PAC和1）題ABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P ABC外接球的半1）題徑為解：如圖，2r = 2r122_ 4sin 60o3r _r12_；l，O徑為解：如圖，2r = 2r122_ 4sin 60o3r _r12_；l

25、，O2H 詁R2145_ OH 2 + r 2 _+_ , R _21333v15法二：， AH _ 1，515R2 _ AO2 _ AH2 + OH2 + OO2 _, R _；i 133(2 )在直角梯形ABCD中，AB / CD , ZA _ 90。, ZC _ 45。, AB _ AD _ 1，沿對(duì)角線BD折成四面體A-BCD，使平面ABD丄平面BCD，若四面體A-BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該項(xiàng)球的表面積為4 兀(2)題-1C(2)題-2(3)題解：如圖，易知球心在BC的中點(diǎn)處，冬_汰；(3(3)在四面體S - ABC 中，AB 丄 BC，AB _ BC _、.：2二面角S -AC

26、-B的余弦值為-f，則四 TOC o 1-5 h z 面體S - ABC的外接球表面積為6兀解：如圖，法一：cos ZSOB _ cos(ZOOO +) _乜，ii 22336sin ZOO O _，cos ZOO O _，123，123 zO o込1 3OO _12_ R2 _ 1 + _ S _4兀R2 _6兀 ；cos ZOOO22 212法二:延長(zhǎng)BO到D使DO _ BO _ r ，由余弦定理得SB _ 7 6 ，SD _邁，大圓直徑為2R _ SB _ J6 ；(4 )在邊長(zhǎng)為2呂的菱形ABCD中，ZBAD = 60。，沿對(duì)角線BD折成二面角A - BD - C為120。的四面體AB

27、CD，則此四面體的外接球表面積為 28兀(4)題圖解:如圖，取BD的中點(diǎn)M，AABD和ACBD的外接圓半徑為r = r = 2，AABD和ACBD的外心O , O1 2 1 2到弦BD的距離(弦心距)為d =d = 1， 12法一：四邊形OOMO的外接圓直徑OM = 2，R =、訂，S二28n ；1 2法二：OO二品，r = 77 ；法三：作出 ACBD 的外接圓直徑 CE，則 AM 二 CM = 3， CE 二 4，ME = 1，AE =亡7，AC = .3，廠 7 +16一271/刀廠 3#3AC3j3 2 7斤cos ZAEC = ， sin ZAEC =，2R = 2、：7 ，R =、

28、：7 ；.茁.42盯2 戸sin ZAEC 婕2/7在四棱錐 ABCD 中，ZBDA = 120。，ZBDC = 150。，AD = BD = 2，CD =、打，二面角 A BD C的平面角的大小為120。，則此四面體的外接球的體積為.解：如圖，過兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心，（5）題解答圖-1C抽象化1（5）題解答圖（5）題解答圖-1C抽象化1（5）題解答圖-2AB = 2x：3 ，r = 2，弦心距O M = *3 ，BC 13 ，r - 13，弦心距O M = 23 ，2 2 1 1oo ，om - O1O2 -2x7，1 2sin120。法一： r2 = OD2=MD2+

29、OM 2 =29，R - 29，.氣=憐法二: OO2 OM 2 O M 2 25R2 OD2 r2 + OO2 29 R 寸 29 /. V 11隊(duì) 292222球3類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同,也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐）模型題設(shè)：如圖7, ZAPB = ZACB = 90。，求三棱錐P - ABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O ,連接OPQC，則OA = OB = OC = OP =1 AB，. o為三棱錐P ABC外接球球心，然后在OCP中2求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都 為定值.例7（1）在矩形

30、ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B - AC - D，則四面體ABCD的外接球的體積為（a. 125 “12解：（1） 2R = AC = 5125兀6(2)在矩形ABCD中，AB = 2 , BC = 3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐A 125兀6的外接球的表面積為解：BD的中點(diǎn)是球心O，2R二BD =.門3，S = 4兀R2 = 13兀.第四講 多面體的內(nèi)切球問題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問題.題設(shè)：如圖8-1，三棱錐P - ABC上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖， E,H 分別是兩個(gè)三角形的外心； 第二

31、步：求DH = 1BD，PO = PH - r，PD是側(cè)面AABP的高;第三步：由apoe相似于apdh，建立等式：=pd，解出r.題設(shè)：如圖8-2，四棱錐P - ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖， P,O,H 三點(diǎn)共線；第二步：求FH = L BC，PO二PH - r，PF是側(cè)面APCD的高; 2C圖8-1圖8-2第三步：由ApG相似于屮，建立等式：F =罟，解出C圖8-1圖8-2.題設(shè)：三棱錐P - ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法： 等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切

32、球的半徑為r，建立等式：V 二V + V + V + V nP- ABC O-ABCO-PABO-PACO-PBCV =1S- r +1S - r +1S - r +1S - r = L( S+ S + S + S ) - rP- ABC3 AABC3 PAB3 PAC3 PBC3AABCAPABPACAPBC3VP ABC第三步：解出r3VP ABCS+ S + S + SOABCOPABOPACOPBCa3V = V .，P - ABC 3 正方體又 V=a3V = V .，P - ABC 3 正方體又 V=4丄Sr二4丄巨P-ABC334a 2 r =、3a2r，3v3a 2a3r 3(ar_2T6內(nèi)切球的表面積為(1)題S表=伽2渾（注：還有別的方法，此略）（2 ）正四棱錐S - ABCD的底面邊長(zhǎng)為2 ,側(cè)棱長(zhǎng)為3，則其內(nèi)切球的半徑為解：如圖，正四棱錐S - ABCD的高h(yuǎn)二、汀，正四棱錐S - ABCD的體積為VS-ABCD3側(cè)面斜高h(yuǎn) = 2.2，正四棱錐S - ABCD的表面積為S主=4 + 8邁，1表(2)題正四棱錐S - ABCD的體積為V 1S r 4 + 8邁 r(2)題戶（2邁-1）2申-、汀戶（2邁-1）2申-、汀（3 ）三棱錐P - ABC中，底面AABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA丄底