建立方程定解條件課件

1、1 建立方程、定解條件方程的導(dǎo)出定解條件和定解問題變分原理分離變量法1 建立方程、定解條件方程的導(dǎo)出1.方程的導(dǎo)出 本章研究調(diào)和方程（又稱拉普拉斯方程）以及泊松方程 的基本定解問題及解的性質(zhì)。(1.1)(1.2)1.方程的導(dǎo)出 本章研究調(diào)和方程（又稱拉普拉斯方程）以及泊松(1) 引力位勢(1) 引力位勢經(jīng)計算可得：直接計算可得：還可進(jìn)一步驗證：經(jīng)計算可得：直接計算可得：還可進(jìn)一步驗證：(2) 靜電場的電位勢 應(yīng)用高斯公式，上式可改寫為：(2) 靜電場的電位勢 應(yīng)用高斯公式，上式可改寫為：由區(qū)域G的任意性得：靜電場方程由于靜電場是無旋場，因而存在電勢u，從而靜電場的電勢u應(yīng)當(dāng)滿足泊松方程如果靜電

2、場的某一區(qū)域里沒有電荷，即=0，則靜電場方程在該區(qū)域上簡化為拉普拉斯方程由區(qū)域G的任意性得：靜電場方程由于靜電場是無旋場，因而存在電(3) 穩(wěn)定溫度分布 (3) 穩(wěn)定溫度分布 2.定解條件和定解問題(1) 第一邊值問題（Dirichlet問題） (2) 第二邊值問題（Neumann問題） 2.定解條件和定解問題(1) 第一邊值問題（Dirichle(3) Dirichlet外問題 (4) Neumann外問題 注：當(dāng)考慮外問題時，為保證解的唯一性，還需對解在無窮遠(yuǎn)的狀況加以限制。在三維情形，通常要求：(3) Dirichlet外問題 (4) Neumann外問其它邊界條件 (5) 第三類邊界條

3、件 (6) 等值面邊界條件 （總流量邊界條件） 其它邊界條件 (5) 第三類邊界條件 (6) 等值面邊界條件3.變分原理膜的平衡問題： 3.變分原理膜的平衡問題： 建立方程定解條件課件外力作功總位能應(yīng)變能外力作功總位能應(yīng)變能即：即：(1)問題2的解答：(1)問題2的解答：建立方程定解條件課件建立方程定解條件課件(3)(3)(5)(4)即(5)(4)即建立方程定解條件課件4.分離變量法求解Laplace方程(1) 矩形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題代入方程(1)得： 分離變量：4.分離變量法求解Laplace方程(1) 矩形區(qū)域上Lap由此得 X，Y 滿足得常微分方程：由邊界條件(2)知

4、：得固有值問題：解之得：由此得 X，Y 滿足得常微分方程：由邊界條件(2)知：得固有通解為其中Ak，Bk為任意常數(shù)。因此 是滿足方程(1)和邊界條件(2)的解。通解為其中Ak，Bk為任意常數(shù)。因此 是滿足方程(1)和邊界疊加所有的Uk ，即 代入邊界條件(3)，得： 疊加所有的Uk ，即 代入邊界條件(3)，得： 由傅里葉正弦展式的系數(shù)公式得解得：由傅里葉正弦展式的系數(shù)公式得解得：(2) 圓形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題(2) 圓形區(qū)域上Laplace方程的第一邊值問題(3)(4)即：(3)(4)即：由此得 R， 滿足得常微分方程：由周期性條件(4)得:固有值問題的討論：得固有值問題：(5)由此得 R， 滿足得常微分方程：由周期性條件(4)得:固有(6)(6)因此 是滿足方程(1)和自然邊界條件(3)以及周期性條件(4)的解。由疊加原理，滿足(1)(3)(4)的解可表為：因此 是滿足方程(1)和自然邊界條件(3)以及周期性條件由疊代入邊界條件(2)得：故代入邊界條件(2)得：故代入級數(shù)得：證明代入級數(shù)得：證明建立方程定解條件課件(3) 圓形區(qū)域上熱傳導(dǎo)方程的混合問題(3) 圓形區(qū)域上熱傳導(dǎo)方程的混合問題即：于是有：