三角形三條高線交于一點(diǎn)證明剖析

1、三角形三條高線交于一點(diǎn)的證明證法一：運(yùn)用同一法證三條高兩兩訂交的交點(diǎn)是同一點(diǎn)。已知：ABC的兩條高BE、CF訂交于點(diǎn)O，第三條高AD交高BD于點(diǎn)Q，交高CF于點(diǎn)P。求證：P、Q、O三點(diǎn)重合證明：如圖，BEAC，CFABAEB=AFC=90又BAE=CAFABEACFABAE，ACAFAFEPOQBDC即ABAF=ACAE又ADBCAEQADC，AFPADBAEAD，AFAPADAQADAB即ACAE=ADAQ，ABAF=ADAPABAF=ACAE，ACAE=ADAQ，ABAF=ADAPADAQ=ADAPAQ=AP點(diǎn)Q、P都在線段AD上點(diǎn)Q、P重合AD與BE、AD與CF交于同一點(diǎn)兩條不平行的直線

2、只有一個(gè)交點(diǎn)BE與CF也交于此點(diǎn)點(diǎn)Q、P、O重合。1證法二：連結(jié)一極點(diǎn)和兩高交點(diǎn)的線垂直于第三邊，運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)。已知：ABC的兩條高AD、BE訂交于點(diǎn)O，第三條高CF交高AB于點(diǎn)F，連結(jié)CO交AB于點(diǎn)F。求證：CFAB。證明:ADBC于D，BEAC于EA、B、D、E四點(diǎn)共圓1ABEAEFO同理212ABE123BDCABE+BAC90，2+BAC90即CFAB。注：證法一和證法二是證明共點(diǎn)線的常用方法。2證法三：證明兩條高的交點(diǎn)在第三條高線上，建立直角坐標(biāo)系運(yùn)用代數(shù)方法證明。證明：如圖6，以直線BC為x軸，高AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,a),B(b,0),C(c,0),由兩條直線

3、垂直的條件kBE1c,kCF1bykACakABa則三條高的直線方程分別為：AD：x0(1)BE：yc(xb)(2)aCF：yb(xc)(3)aAFEDBOCx解（2）和（3）得c(xb)b(xc),(bc)x0aabc(b0,c0)x0這說明BE和CF得交點(diǎn)在AD上，所以三角形的三條高訂交于一點(diǎn)。注：有時(shí)考慮直角坐標(biāo)系這一有力的數(shù)形結(jié)合工具可以有效地解決問題。證法四：轉(zhuǎn)變成證明另一個(gè)三角形的三條中垂線（或中線）交于一點(diǎn)。已知：AD、BE、CF是ABC的三條高。求證：AD、BE、CF訂交于一點(diǎn)。證明：過點(diǎn)A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線ML、MN、NLAMBC，MBAC四邊形AMBC是

4、平行四邊形AMBCAMLE同理，ALBCFAMALBCDADMLAD是ML的垂直均分線N同理，BE、CF分別是MN、NL的垂直均分線3而三角形的三條垂直均分線訂交于一點(diǎn)AD、BE、CF訂交于一點(diǎn)。注：三角形的三條中線（可中垂線、角均分線）訂交于一點(diǎn)，這事實(shí)學(xué)生容易理解，也不難證明，把證明三角形的三條垂線訂交于一點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)變成另一三角形的三條中線（中垂線）訂交于一點(diǎn)，這種化陌生為熟悉、化難為易的轉(zhuǎn)變方法必定讓學(xué)生理解掌握。證法五：運(yùn)用錫瓦（Ceva）定理證明。已知：AD、BE、CF是ABC的三條高。求證：AD、BE、CF訂交于一點(diǎn)。證明：如圖，ADBC于E，BEAC于EABDCBFBDAB（1）BFCBAFEOBDC同理，由ADCBEC得CECB，（2）CDCA由AFCAEBAFAC（3）AEAB三式相乘得BDCEAFABCBAC1BFCDAECBCAAB即BDCEAF1DCEAFBAD、BE、CF訂交于一點(diǎn)。注：錫瓦定理是證明共點(diǎn)線的有力工具，誠然中學(xué)不作要求，但對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生不如引導(dǎo)他們自己研究，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。錫瓦定理可以用梅涅勞（Mene