高中數(shù)學(xué)函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性奇偶性最值

1、-. z. 函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性經(jīng)典例題透析類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明1.證明函數(shù)上的單調(diào)性. 證明：在(0，+)上任取*1、*2(*1*2)， 令*=*2-*10 則*10，*20，上式0，y=f(*2)-f(*1)0 上遞減.總結(jié)升華：1證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；2如何比擬兩個(gè)量的大小？(作差)3如何判斷一個(gè)式子的符號(hào)？(對(duì)差適當(dāng)變形)舉一反三：【變式1】用定義證明函數(shù)上是減函數(shù).思路點(diǎn)撥：此題考察對(duì)單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.證明：設(shè)*1，*2是區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)，且*1*2，則 0*1*21 *1-*20，0*1*21 0*1*21 故，即f(*1)-f(*

2、2)0 *1*2時(shí)有f(*1)f(*2) 上是減函數(shù).總結(jié)升華：可以用同樣的方法證明此函數(shù)在上是增函數(shù)；在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)碰到這個(gè)函數(shù)，在此可以嘗試?yán)煤瘮?shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象.類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2. 判斷以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (1)y=*2-3|*|+2； (2)解：(1)由圖象對(duì)稱性，畫出草圖f(*)在上遞減，在上遞減，在上遞增.(2)圖象為f(*)在上遞增.舉一反三：【變式1】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=|*+1|； (2)(3).解：(1)畫出函數(shù)圖象， 函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+)；(2)定義域?yàn)椋?其中u=2*-1為增函數(shù)，在(-，0)與(0，+)為

3、減函數(shù)， 則上為減函數(shù)；(3)定義域?yàn)?-，0)(0，+)，單調(diào)增區(qū)間為：(-，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+).總結(jié)升華：1數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點(diǎn)與對(duì)稱軸相關(guān).3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).類型三、單調(diào)性的應(yīng)用(比擬函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值)3. 函數(shù)f(*)在(0，+)上是減函數(shù)，比擬f(a2-a+1)與的大小. 解： 又f(*)在(0，+)上是減函數(shù)，則.4. 求以下函數(shù)值

4、域： (1)； 1)*5，10； 2)*(-3，-2)(-2，1)；(2)y=*2-2*+3； 1)*-1，1； 2)*-2，2.思路點(diǎn)撥：(1)可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；(2)數(shù)形結(jié)合.解：(1)2個(gè)單位，再上移2個(gè)單位得到，如圖 1)f(*)在5，10上單增，； 2)；(2)畫出草圖 1)yf(1)，f(-1)即2，6； 2).舉一反三：【變式1】函數(shù).(1)判斷函數(shù)f(*)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)*1，3時(shí)，求函數(shù)f(*)的值域.思路點(diǎn)撥：這個(gè)函數(shù)直接觀察恐怕不容易看出它的單調(diào)區(qū)間，但對(duì)解析式稍作處理，即可得到我們相對(duì)熟悉的形式.，第二問即是利用單調(diào)性求函數(shù)值域.解：(1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增

5、； (2)故函數(shù)f(*)在1，3上單調(diào)遞增*=1時(shí)f(*)有最小值，f(1)=-2*=3時(shí)f(*)有最大值*1，3時(shí)f(*)的值域?yàn)?5. 二次函數(shù)f(*)=*2-(a-1)*+5在區(qū)間上是增函數(shù)，求：(1)實(shí)數(shù)a的取值*圍；(2)f(2)的取值*圍. 解：(1)對(duì)稱軸是決定f(*)單調(diào)性的關(guān)鍵，聯(lián)系圖象可知只需； (2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又a2，-2a-4f(2)=-2a+11-4+11=7.類型四、判斷函數(shù)的奇偶性6. 判斷以下函數(shù)的奇偶性： (1) (2)(3)f(*)=*2-4|*|+3 (4)f(*)=|*+3|-|*-3| (5)(6) (7)思路點(diǎn)撥：

6、根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)展判斷.解：(1)f(*)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此f(*)為非奇非偶函數(shù)；(2)*-10，f(*)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(*)為非奇非偶函數(shù)；(3)對(duì)任意*R，都有-*R，且f(-*)=*2-4|*|+3=f(*)，則f(*)=*2-4|*|+3為偶函數(shù) ；(4)*R，f(-*)=|-*+3|-|-*-3|=|*-3|-|*+3|=-f(*)，f(*)為奇函數(shù)；(5)，f(*)為奇函數(shù)；(6)*R，f(*)=-*|*|+* f(-*)=-(-*)|-*|+(-*)=*|*|-*=-f(*)，f(*)為奇函數(shù)；(7)，f(*)為奇函數(shù).舉一反三：【變式1】判斷以

7、下函數(shù)的奇偶性：(1)； (2)f(*)=|*+1|-|*-1|； (3)f(*)=*2+*+1；(4).思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)展判斷.解：(1)；(2)f(-*)=|-*+1|-|-*-1|=-(|*+1|-|*-1|)=-f(*) f(*)為奇函數(shù)；(3)f(-*)=(-*)2+(-*)+1=*2-*+1 f(-*)-f(*)且f(-*)f(*) f(*)為非奇非偶函數(shù)；(4)任取*0則-*0，f(-*)=(-*)2+2(-*)-1=*2-2*-1=-(-*2+2*+1)=-f(*) 任取*0，則-*0 f(-*)=-(-*)2+2(-*)+1=-*2-2*+1=-(*2+2*-

8、1)=-f(*) *=0時(shí)，f(0)=-f(0) *R時(shí)，f(-*)=-f(*) f(*)為奇函數(shù).舉一反三：【變式2】f(*)，g(*)均為奇函數(shù)，且定義域一樣，求證：f(*)+g(*)為奇函數(shù)，f(*)g(*)為偶函數(shù).證明：設(shè)F(*)=f(*)+g(*)，G(*)=f(*)g(*)則 F(-*)=f(-*)+g(-*)=-f(*)-g(*)=-f(*)+g(*)=-F(*) G(-*)=f(-*)g(-*)=-f(*)-g(*)=f(*)g(*)=G(*) f(*)+g(*)為奇函數(shù)，f(*)g(*)為偶函數(shù).類型五、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(求值，求解析式，與單調(diào)性結(jié)合)7.f(*)=*5+a

9、*3-b*-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(*)=f(*)+8易證g(*)為奇函數(shù)g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)*0時(shí)，f(*)=*2-*，求當(dāng)*0時(shí)，f(*)的解析式，并畫出函數(shù)圖象.解：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， *0時(shí)，-y=(-*)2-(-*)即y=-*2-

10、*又f(0)=0，如圖9. 設(shè)定義在-3，3上的偶函數(shù)f(*)在0，3上是單調(diào)遞增，當(dāng)f(a-1)f(a)時(shí)，求a的取值*圍.解：f(a-1)f(a) f(|a-1|)f(|a|)而|a-1|，|a|0，3.類型六、綜合問題10.定義在R上的奇函數(shù)f(*)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(*)在區(qū)間的圖象與f(*)的圖象重合， 設(shè)ab0，給出以下不等式，其中成立的是_.f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)； f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)；f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)； f(a)-f(-b)g(b)-g(-a).答案：.11. 求以下函數(shù)的值域： (1) (2) (3)思路點(diǎn)撥：(

11、1)中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；(2)由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；(3)單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問題得到解決，需注意此時(shí)t*圍.解：(1)；(2)經(jīng)觀察知，；(3)令.12. 函數(shù)f(*)=*2-2a*+a2-1. (1)假設(shè)函數(shù)f(*)在區(qū)間0，2上是單調(diào)的，*數(shù)a的取值*圍；(2)當(dāng)*-1，1時(shí)，求函數(shù)f(*)的最小值g(a)，并畫出最小值函數(shù)y=g(a)的圖象.解：(1)f(*)=(*-a)2-1 a0或a2(2)1當(dāng)a-1時(shí)，如圖1，g(a)=f(-1)=a2+2a 2當(dāng)-1a1時(shí)，如圖2，g(a)=f(a)=-1 3當(dāng)a1時(shí)，如圖3，

12、g(a)=f(1)=a2-2a，如圖13. 函數(shù)f(*)在定義域(0，+)上為增函數(shù)，f(2)=1，且定義域上任意*、y都滿足f(*y)=f(*)+f(y)，解不等式：f(*)+f(*-2)3.解：令*=2，y=2，f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2再令*=4，y=2，f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3f(*)+f(*-2)3可轉(zhuǎn)化為：f*(*-2)f(8).14. 判斷函數(shù)上的單調(diào)性，并證明.證明：任取0*1*2， 0*1*2，*1-*20，*1*20 (1)當(dāng)時(shí) 0*1*21，*1*2-10 f(*1)-f(*2)0即f(*1)f(*2) 上是減函數(shù).

13、(2)當(dāng)*1，*2(1，+)時(shí)，上是增函數(shù).難點(diǎn)：*1*2-1的符號(hào)確實(shí)定，如何分段.15. 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(*)=*2+|*-a|+1，*R，試討論f(*)的奇偶性，并求f(*)的最小值.解：當(dāng)a=0時(shí)，f(*)=*2+|*|+1，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(*)=*2+|*-a|+1，為非奇非偶函數(shù).(1)當(dāng)*a時(shí)， 1 且 2上單調(diào)遞增，上的最小值為f(a)=a2+1.(2)當(dāng)*a時(shí)， 1上單調(diào)遞減，上的最小值為f(a)=a2+1 2上的最小值為綜上：.學(xué)習(xí)成果測評(píng)根底達(dá)標(biāo)一、選擇題1下面說法正確的選項(xiàng)( )A函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是函數(shù)的定義域B函數(shù)的多個(gè)單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增

14、區(qū)間C具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象一定是奇函數(shù)的圖象2在區(qū)間上為增函數(shù)的是( )A B C D3函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是( )A. B. C. D. 4假設(shè)偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則以下關(guān)系式中成立的是( )ABCD5如果奇函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)且最大值為，則在區(qū)間上是( )A增函數(shù)且最小值是 B增函數(shù)且最大值是C減函數(shù)且最大值是 D減函數(shù)且最小值是6設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是( )A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù).7以下函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是( )A B C D8函數(shù)f(*)是定義在-6，6上的偶函數(shù)，且在-6，0上是減

15、函數(shù)，則( )A. f(3)+f(4)0 B. f(-3)-f(2)0 C. f(-2)+f(-5)0 D. f(4)-f(-1)0二、填空題1設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋僭O(shè)當(dāng)時(shí)， 的圖象 如右圖，則不等式的解是_.2函數(shù)的值域是_.3，則函數(shù)的值域是_.4假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是_.5函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且，則當(dāng)，_.三、解答題1判斷一次函數(shù)反比例函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性.2函數(shù)的定義域?yàn)椋彝瑫r(shí)滿足以下條件：(1)是奇函數(shù)；(2)在定義域上 單調(diào)遞減；(3)求的取值*圍.3利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；4函數(shù). 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值； *數(shù)的取值*圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).能力提升

16、一、選擇題1以下判斷正確的選項(xiàng)是( )A函數(shù)是奇函數(shù) B函數(shù)是偶函數(shù)C函數(shù)是非奇非偶函數(shù) D函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2假設(shè)函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值*圍是( ) A B CD3函數(shù)的值域?yàn)? )A B CD4函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值*圍是( )A B C D5以下四個(gè)命題：(1)函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是增函數(shù)；(2)假設(shè) 函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)，則且；(3) 的遞增區(qū)間 為；(4) 和表示相等函數(shù).其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )A B C D6定義在R上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，則( )A B C D二、填空題1函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.2定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，_.

17、3假設(shè)函數(shù)在上是奇函數(shù)，則的解析式為_.4奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為8，最小值為-1， 則_.5假設(shè)函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值*圍為_.三、解答題1判斷以下函數(shù)的奇偶性(1) (2)2函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，證明：(1)函數(shù)是上的減函數(shù)；(2)函數(shù)是奇函數(shù). 3設(shè)函數(shù)與的定義域是且，是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)，且，求和的解析式.4設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，.(1)討論的奇偶性；(2)求的最小值.綜合探究1函數(shù)，則的奇偶性依次 為( )A偶函數(shù)，奇函數(shù) B奇函數(shù)，偶函數(shù)C偶函數(shù)，偶函數(shù) D奇函數(shù)，奇函數(shù)2假設(shè)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)椋以谏鲜菧p函數(shù)，則的 大小關(guān)系是( )A

18、B C D3，則_.4假設(shè)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值*圍是_.5函數(shù)的定義域是，且滿足，如果對(duì)于，都有，(1)求；(2)解不等式.6當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.7在區(qū)間內(nèi)有一最大值，求的值.8函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng)，求的值.答案與解析根底達(dá)標(biāo)一、選擇題 1.C.2.B.3.B. 奇次項(xiàng)系數(shù)為4.D. 5.A. 奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，左右兩邊有一樣的單調(diào)性6.A. 7.A. 在上遞減，在上遞減，在上遞減8.D.二、填空題1. 奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，補(bǔ)足左邊的圖象2. 是的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，3. 該函數(shù)為增函數(shù)，自變量最小時(shí)，函數(shù)值最??；自變量最大時(shí)，函數(shù)值最大4. 5.三、解答題1解：當(dāng)，在是增函數(shù)，當(dāng)，在是減函數(shù)； 當(dāng)，在是減函數(shù)， 當(dāng)，在是增函數(shù)； 當(dāng)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)， 當(dāng)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù).2解：，則， 3解：，顯然是的增函數(shù)，4解：對(duì)稱軸 (2)對(duì)稱軸當(dāng)或時(shí)，在