第三 全微分精品課件

1、第三 全微分第1頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六一元函數(shù) y = f (x) 的微分概念：若函數(shù)的增量：能表示為：則稱函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn) x 處是可微的，并稱 為函數(shù)的微分當(dāng)例如：存在時(shí)，第2頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六考慮邊長(zhǎng)分別為 x 和 y 的矩形的面積：當(dāng)兩邊長(zhǎng)分別取得增量 和 時(shí)的改變量 第一部分是 的線性函數(shù) 第二部分第3頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六 第一部分是 的線性函數(shù) 第二部分第4頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六定義 ：如果函數(shù) z = f ( x ,

2、y ) 的全增量可以表示為其中 A 、B 與 x , y 無關(guān) ( 僅與 x , y 有關(guān) )則稱 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處可微，并稱 A x + B y 為 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處的全微分，記作 d z 或 第5頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六證明： 第6頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六定義 ：如果函數(shù) z = f ( x , y ) 的全增量可以表示為則稱 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處可微，記作問題1：函數(shù) z = f ( x , y

3、 ) 在什么條件下可微？問題2：在可微的條件下，A = ？，B = ？第7頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六如果 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y )可微，必存在，證明：因?yàn)?z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 可微，故且 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處的微分可表示為定理1（必要條件）則函數(shù)在該點(diǎn) ( x , y ) 處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)第8頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六（1）令 ，得（2）令 ，同理得：第9頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六所以，當(dāng)

4、函數(shù)可微時(shí)，全微分可寫成 若分別取 z = x 和 z = y ，則記分別稱為 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x 和 y 的偏微分。第10頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六疊加原理：二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏 微分之和。疊加原理也適用于二元以上的多元函數(shù)的情形。如設(shè) u = f ( x , y , z ) 則有（1）對(duì)于一元函數(shù)，可微 可導(dǎo)；幾點(diǎn)說明：（2）對(duì)于多元函數(shù)，可微一定連續(xù)，（3）對(duì)于多元函數(shù)，若可微，則偏導(dǎo)數(shù)一定存在，問題3：對(duì)于多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)是否一 定可微？ 第11頁，共28頁，2022年，5月20日，22

5、點(diǎn)29分，星期六例1但 f ( x , y ) 在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微。證明：第12頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六證明：用反證法證明函數(shù)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微。如果 f ( x , y ) 在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處可微，則必有由定理1即有例1但 f ( x , y ) 在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微。第13頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六因此必有但當(dāng)即有與k有關(guān) 矛盾！所以函數(shù)在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微。第14頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六上述例子有兩個(gè)重要性（1）它具體說

6、明了即使函數(shù)在某點(diǎn)處的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)可微。（2）它給出了證明函數(shù)在某點(diǎn)不可微的一般方法。定理2（可微的充分條件）: 如果 z = f ( x , y ) 的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) ( x , y ) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，則 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處可微。問題1：函數(shù) z = f ( x , y ) 在什么條件下可微？第15頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）證第16頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六同理第17頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、

7、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在第18頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六例2：計(jì)算解：在點(diǎn) ( 2 , 1 ) 處的全微分。全微分的計(jì)算當(dāng)函數(shù)可微時(shí)，全微分可表示為 所以全微分的計(jì)算實(shí)際上就是偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問題。第19頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六例3：計(jì)算函數(shù) 的全微分解：第20頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六解第21頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六解答思考題：若 f ( x , y ) 在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義若 f ( x , y ) 在點(diǎn) ( 0 , 0

8、 ) 處可微，則必有若 f ( x , y ) 在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 處不可微，則表達(dá)式可以存在，但它不代表函數(shù)在 ( 0, 0 ) 處的微分。第22頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六四、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用也可寫成第23頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六解由公式得第24頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六例7 有一圓柱體，受壓后發(fā)生形變，它的半徑由20cm增大到20.05cm, 高度由100cm減少到99cm求此圓柱體體積變化的近似值。代入 ，得即此圓柱體在受壓后體積約減少了200第25頁，共28頁，2022年，5

9、月20日，22點(diǎn)29分，星期六第八章作業(yè)第三節(jié)：全微分習(xí)題93: 1(1, 3), 2,3, 4 第26頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六定義 ：如果函數(shù) z = f ( x , y ) 的全增量可以表示為其中 A 、B 與 x , y 無關(guān) ( 僅與 x , y 有關(guān) )則稱 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處可微，并稱 A x + B y 為 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處的全微分，記作 d z 或 內(nèi)容回顧第27頁，共28頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)29分，星期六定理1（必要條件）： 如果 z = f ( x , y ) 在點(diǎn) ( x , y ) 處可微，則函數(shù)在該點(diǎn) (