選修2-1數學教案：212求曲線的方程

1、文檔編碼 : CU4D4W9Q8T10 HR3F9M3B2P6 ZU5J4L9I10T7求曲線方程學案課前預習學案 一、預習目標 回憶圓錐曲線的定義,并會利用定義和性質求圓錐曲線的方程；二、預習內容1到頂點F5 ,0和定直線x16的距離之比為5 的動點的軌跡方程是 452直線 l 與橢圓x2y21交于 P、Q兩點,已知 l過定點（ 1, 0）,就弦 PQ中點的軌跡方4程是y21上任一點,過P 作 x 軸的垂線,垂足為Q,就 PQ中點 M3已知點 P 是雙曲線x2a2b2的軌跡方程是2 ,0 ,B,20 ,且AC、AB、BC成等差數列,4在ABC 中,已知A就 C點軌跡方程為 課堂探究學案【學習

2、目標】1明白用坐標法爭辯幾何問題的方法,明白解析幾何的基本問題 2懂得曲線的方程、方程的曲線的概念,能依據曲線的已知條件求出曲線的方程,了 解兩條曲線交點的概念3通過曲線方程概念的教學,培養(yǎng)同學數與形相互聯系、對立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀 點4. 通過求曲線方程的教學,培養(yǎng)同學的轉化才能和全面分析問題的才能,幫忙同學懂得解析幾何的思想方法. 5. 進一步懂得數形結合的思想方法【學習重難點】學習重點： 嫻熟把握求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數法、參數法等,并能靈敏應用；學習難點 ：曲線方程的概念和求曲線方程的方法【學習過程】一、 新 課分析 解析幾何主要爭辯兩大類問題：一是依據題設條件

3、,求出表示平面曲線的方程；二是通過方程, 爭辯平面曲線的性質求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一 . 求符合某種條件的動點的軌跡方程,其實質就是利用題設中的 幾何條件,用“ 坐標化” 將其轉化為尋求變量間的關系 . 這類問題除了考查同學對圓錐曲線的定義,性質等基礎學問的掌握,仍充分考查了各種數學思想方法及確定的推理才能和運算才能,因此這類問題成為高考命題的熱點, 也是同學們的一大難點. 解答軌跡問題時,如能充分挖掘幾何關系,就往往可以簡化解題過程二、典型例題PA例 1設動直線 l 垂直于 x 軸,且與橢圓x22y24交于A、By 兩點, P 是 l 上中意PB1的點,求點P 的軌跡方程

4、；x O B 方法點撥： 用直接法： 如曲線上的動點中意的條件是一些幾何量的等量關系,就只需直接把這種關系“ 翻譯” 成關于 動點的坐標 x、y 的方程；經化簡所得同解的最簡方程,即為所求軌跡方程；其一般步驟為：建系設點列式代換化簡檢驗；例 2如圖,在RtABC中,BAC90,A 21,、B21, ,SABC2平方單位,動點P 在曲線 E y1 上運動,如曲線E 過點 C且中意PAPB的值為常數；（1）求曲線 E 的方程；Q、R,求線段 QR的中點 M y B （2）設直線 l 的斜率為 1,如直線 l 與曲線 E 有兩個不同的交點的軌跡方程；C A O x 方法點撥： 用圓錐曲線的定義求方程

5、；假如題目中的幾何條件能夠中意圓、橢圓、 雙曲線,拋物線的第一、二定義,就直接利用曲線定義寫出其軌跡方程；2 2例 3如以下圖,過橢圓 E：x y 1 上任一點 P,作右準線 l 的垂線 PH,垂足為3 2H；延長 PH到 Q,使 HQ= PH 0 （1）當 P點在 E 上運動時,求點 Q的軌跡 G的方程；（2 ）當 取何值時, 軌跡 G是焦點在平行于 y 軸的直線上的橢圓？證明這些焦點都在同 一個橢圓 E 上,并寫出橢圓的方程；（3）當 取何值時,軌跡 G是一個圓？判定這個圓與橢圓 E 的右準線 l 的位置關系；方法點撥： 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一；求符合某種條件的動點的

6、軌跡方程,其實質就是利用題設中的幾何條件,通過“ 坐標互化” 將其轉化為變量間的關系；在確定了軌跡方程之后,有時需要對方程中的參數進行爭辯,由于參數取值的變化會使方程表示不同的曲線,會使其與其他曲線的位置關系不同,會引起另外某些變量取值范疇的變化；例 4設橢圓方程為x2y2,1,過點M01, 的直線 l 交橢圓于點A、B,O 是坐標4原點,點 P中意OP1OA點 N的坐標為1,1,當 l 繞點 M旋轉時,求：OB222（1）動點 P 的軌跡方程；（2） NP 的最小值與最大值；方法點撥： 此題是運用參數法求的軌跡；當動點 P 的坐標x、y之間的直接關系不易建立時,可適當地選取中間變量 t,并用

7、t表示動點 P 的坐標 x、y,從而得到動點軌跡的參數方程x f t ,消去參數 t ,便可得到動點 P 的軌跡一般方程；其中應留意方程的等價性,即y g t 由 t 的范疇確定出 x、y 范疇；三、小結 : 求曲線方程的兩類問題：一是動點變動的根本緣由,二是動點變動的約束條件；求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數法、參數法等；課后題高與練習2 21. 如點 M（x,y ）中意 x 3 y 1 | x y 3 | 0,就點 M的軌跡是（）A. 圓 B. 橢圓 C.雙曲線 D拋物線 . 2. 點 M為拋物線 y x 上的一個動點, 連結原點 O與動點 M,以 OM為邊作一個正方形 2M

8、NPO,就動點 P 的軌跡方程為（）2 2 2 2A. y x B. y x C. y x D. x y2 2 2 23. 方程 x 6 y x 6 y 20 化簡的結果是（）2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x y x yA. 1 B. 1 C. 1 D. 1100 36 100 64 36 100 64 1002 2 2 24. 一動圓 M與兩定圓 C 1 : x 4 y 1, C 2 : x 4 y 9 均外切,就動圓圓心 M的軌跡方程是. 25. 拋物線 y 4 x 關于直線 l : y x 2 對稱的曲線方程是. 2 2. 橢圓與橢圓 x 3 y 2 1 關于直線 x y

9、 0 對稱,橢圓的方程是（）9 42 2 2 2A. x 2 y 3 1 B. x 2 y 3 14 9 9 42 2 2 2C. x 2 y 3 1 D. x 2 y 3 19 4 4 9. 以下四個命題：圓 x 2 2 y 1 21 關于點 A1,2 對稱的曲線方程是 x 3 2 y 3 21；2 2以點（ 2, 3）和點（ 2,1）為焦點的橢圓方程可以是 x 2 y 11；10 14頂點在原點,對稱軸為坐標軸且過點 4, 3 的拋物線方程只能是 y 2 9x ；42 2雙曲線 x y1 右支上一點 P到左準線的距離為 18,就 P點到右焦點的距離為 29；16 9 2以上正確的命題是.

10、（將正確命題的序號都 填上）8. 設曲線 C：y x 22 x 2 和直線 l : y kx . 記 l 與 C的兩個交點為 A、B,求線段 AB中點的軌跡方程；如線段 AB上的點 Q中意 2 1 1,求點 Q的軌跡方程；OQ OA OB在點 Q 的軌跡上是否存在點 Q0,使得經過曲線 C 的焦點的弦被點 Q0 平分？證明你的結論. 答案： 1、 C ；2、 C ；3、 B ；22 y4、x 1 x 1 解析：應用圓錐曲線的定義,留意只有一支 . 1525、 x 2 4 y 2；、留意焦點所在位置的變化；7、；8、略解：（1）設 AB 中點 M , x y ,聯立方程組得： k 21 y 22

11、 ky 2 k 20,就y k2 , x 1,消云 k 得 x 2y 2x ,留意到 0,2k 1,得 x 21 k 1 k 21 2 2 1AB 中點的軌跡方程是 x y x 2 . 2 4（2）點 Q 的軌跡方程是 x 2, 2 y 2,是一條線段（無故點）. （3）曲線 C 的焦點 F1, 2 ,設過 F 的直線方程為 y m x 1 2,與曲線 C 的方程2聯立,得弦的中點的橫坐標為 x 0 1 2 m2 m2 ,解得 m 2 6. 1 m 2當 m 2 6時,弦的中點的縱坐標 y 0 2,2；當 m 2 6時,弦的中2 2點的縱坐標 y 0 2,2 .綜上,存在點 Q 0 2 y 0

12、,使得經過曲線 C 的焦點的弦被點 Q0平分 . 求曲線的方程【教學目標】1明白用坐標法爭辯幾何問題的方法,明白解析幾何的基本問題 2懂得曲線的方程、方程的曲線的概念,能依據曲線的已知條件求出曲線的方程,了 解兩條曲線交點的概念點3通過曲線方程概念的教學,培養(yǎng)同學數與形相互聯系、對立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀4. 通過求曲線方程的教學,培養(yǎng)同學的轉化才能和全面分析問題的才能,幫忙同學懂得解析幾何的思想方法 . 5. 進一步懂得數形結合的思想方法【教學重難點】教學重點： 嫻熟把握求曲線方程的常用方法：定義法、代入法、待定系數法、參數法 等,并能靈敏應用；教學難點 ：曲線方程的概念和求曲線方程的方法【教

13、學過程】一、課前預習1到頂點F50,和定直線x16的距離之比為5 的動點的軌跡方程是 452直線 l 與橢圓x2y21交于 P、Q兩點,已知 l過定點（ 1,0）,就弦 PQ中點的4軌跡方程是y21上任一點,過P作 x 軸的垂線,垂足為Q,就 PQ3已知點 P 是雙曲線x2a2b2中點 M的軌跡方程是4在ABC 中,已知A ,20 ,B20,且AC、AB、BC成等差數列,就C 點軌跡方程為示答案：15x2y21（提示y：設動點x ,y,就169x52y2y ,x2y21；）；2x2x4y20； 3x a2y21（提2x16 54169b242y.將Px ,2代入線程得就Px ,雙曲：設Mx ,

14、方2 x2y21x2y212；）；4x16y21 y0（提示：2ABACBC,Ca2b2a2b212到 AB 的距離之和為8；）4二、新課分析解析幾何主要爭辯兩大類問題：一是依據題設條件,求出表示平面曲線的方程；二是通過方程,爭辯平面曲線的性質求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一 . 求符合某種條件的動點的軌跡方程,其實質就是利用題設中的幾何條件,用“ 坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系 . 這類問題除了考查同學對圓錐曲線的定義,性質等基礎學問的把握,仍充分考查了各種數學思想方法及確定的推理才能和運算才能,因此這類問題成為高考命題的熱點,也是同學們的一大難點 . 解答軌跡問題時,如能充

15、分挖掘幾何關系,就往往可以簡化解題過程三、典型例題PA例 1設動直線 l 垂直于 x 軸,且與橢圓x22y24交于A、y B兩點, P 是 l 上中意 l PB1的點,求點P 的軌跡方程；A O x B 方法點撥： 用直接法： 如曲線上的動點中意的條件是一些幾何量的等量關系,就只需直接把 這種關系“ 翻譯” 成關于動點的坐標 x、y 的方程；經化簡所得同解的最簡方程,即為所求軌跡方程；其一般步驟為：建系設點列式代換化簡檢驗；例 2如圖,在RtABC中,BAC90,A 21, 、B 2 1, ,SABC2平方單位,動點P 在曲線 E y1 上運動,如曲線E 過點 C且中意PAPB的值為常數；（1

16、）求曲線 E 的方程；Q、R,求線段 QR的中點 M y B （2）設直線 l 的斜率為 1,如直線 l 與曲線 E 有兩個不同的交點的軌跡方程；C A O x 方法點撥：用圓錐曲線的定義求方程；假如題目中的幾何條件能夠中意圓、橢圓、雙曲線,拋物線的第一、二定義,就直接利用曲線定義寫出其軌跡方程；例 3如以下圖,過橢圓E：x2y21上任一點 P,作右準線 l 的垂 線 PH,垂足為32H；延長 PH到 Q,使 HQ= PH 0 （1）當 P點在 E 上運動時,求點 Q的軌跡 G的方程；（2）當 取何值時,軌跡 G是焦點在平行于 y 軸的直線上的橢圓？證明這些焦點都在同一個橢圓 E 上,并寫出橢

17、圓的方程；（3）當 取何值時,軌跡 G是一個圓？判定這個圓與橢圓 E 的右準線 l 的位置關系；y P H Q x O l 方法點撥：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之 一；求符合某種條件的動點的軌跡方程, 其實質就是利用題設中的幾何條件,通過“ 坐標互化”將其轉化為變量間的關系；在確定了軌 跡方程之后,有時需要對方程中的參數進行爭辯,由于參數取值的變化會使方程表示不同的曲線,會使其與其他曲線的位置關系不同,會引起另外某些變量取值范疇的變化；例 4設橢圓方程為x2y2,1,過點M01, 的直線 l 交橢圓于點A、B,O 是坐標4原點,點 P中意OP1OA點 N的坐標為1,1,當 l 繞點 M旋轉時