分析力學的形成及其不同的表示

1、分析力學的形成及其不同的表示摘要：分析了分析力學的歷史背景及發(fā)展歷程，介紹了分析力學的一些重要方程 和幾種不同的表示方法.關(guān)鍵詞：約束力；虛功原理；非慣性系；拉格朗日方程；哈密頓原理；哈密頓正 則方程；積分形式；微分形式引言：分析力學的基本內(nèi)容是闡述力學的普遍原理,由這些原理出發(fā)導出質(zhì)點系 的基本運動微分方程 ,并研究這些方程本身以及它們的積分方法 .分析力 學作為一般力學的一個分支 ,以廣義坐標為描述質(zhì)點系的變量 ,以虛位移 原理和達朗貝爾原理為基礎(chǔ)，運用數(shù)學分析方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學問 題,不必考慮理想約束,可以很方便地建立力學體系的運動微分方程 ,對一 些力學問題的解法進行優(yōu)化，可以更

2、加快速的求解.近 20 年來,又發(fā)展出 用近代微分幾何的觀點來研究分析力學的原理和方法 .分析力學是經(jīng)典物 理學的基礎(chǔ)之一,也是整個力學的基礎(chǔ)之一.它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機器動 力學與振動、航天力學、多剛體系統(tǒng)和機器人動力學以及各種工程技術(shù)領(lǐng) 域,也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學和相對論力學.一、分析力學的歷史背景分析力學是 18 世紀后葉隨著工業(yè)革命的迅速發(fā)展而建立起來的. 到現(xiàn)在為止，我們所研究的力學問題基本上是以牛頓運動定律來求解的，但是在求質(zhì)點 組的運動問題時，常常要解算大量的微分方程組，如果質(zhì)點組受到約束，則因約束反力都是 未知的，所以并不能因此減少甚至增加了問題的復雜性.18、19 世紀，

3、隨著工業(yè)革命的迅速 發(fā)展，在工程技術(shù)上迫切需要解決的又正好是這一類問題.因此，迫切需要尋求另外的方法 來解決這些問題.許多科學家將分析的方法用于力學解決了許多當時沒有解決的問題，分析 力學正是在這種歷史的大背景下產(chǎn)生的.二、分析力學的發(fā)展歷程1788 年拉格朗日出版的分析力學是世界上最早的一本分析力學的著作.分析力學是 建立在虛功原理和達朗貝爾原理的基礎(chǔ)上.兩者結(jié)合，可得到動力學普遍方程，從而導出分 析力學各種系統(tǒng)的動力方程.17601761年，拉格朗日用這兩個原理和理想約束結(jié)合，得到 了動力學的普遍方程，幾乎所有的分析力學的動力學方程都是從這個方程直接或間接導出 的 .1834 年，漢密爾頓

4、推得用廣義坐標和廣義動量聯(lián)合表示的動力學方程，稱為正則方程 . 漢密爾頓體系在多維空間中，可用代表一個系統(tǒng)的點的路徑積分的變分原理研究完整系統(tǒng)的 力學問題.從1861 年有人導出球在水平面上作無滑動的滾動方程開始，到1899年阿佩爾在 理性力學中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束的理論.20世紀分析 力學對非線性、不定常、變質(zhì)量等力學系統(tǒng)作了進一步研究，對于運動的穩(wěn)定性問題作了廣 泛的研究.三、分析力學的形成(一)分析力學的基本方程及條件 對于完整保守系統(tǒng)，其基本方程及條件如下： 1、廣義速度廣義位移關(guān)系V 二 dq/dt 二 q，(3.1.1)式中廣義速度向量V二tv 1(t

5、), V 2 C ),Vn (t )，廣義位移向量2、廣義動量廣義速度關(guān)系2、廣義動量廣義速度關(guān)系3.1.2)p = 6L / dv ,3.1.2)式中廣義動量向量p二p ), p 2 C), , pnC)1 , Lagrange 函數(shù) llG ,v,t).3、運動方程p 3、運動方程p = 6L / dq ,3.1.3)q q 0二 q 6)= q o,p0 = p(0)= p0，(3.1.4b)二)虛功原理3.1.4a)設(shè)受有k個幾何約束的某力學體系處于平衡狀態(tài).取體系中任意一點pi,并且作用在此質(zhì)點上主動力的合力為E，約束力的合力為R.，則因在此體系中每一質(zhì)點都必須處于平衡狀態(tài)中，故此時

6、必有F + 狀態(tài)中，故此時必有F + R 二 0 i = 6,2,n) .現(xiàn)在讓每一個質(zhì)點自它的位置發(fā)生一虛位移心，則由(3.2.1)式，得 F -6產(chǎn) + R 產(chǎn)=0i = (1,2,n)i ii i把式(3.2.2)中各等式相加，就得到工 F.d +R.-6產(chǎn)=0i ii ii =1i =13.2.1)3.2.2)3.2.3)但如為理想約束，則根據(jù)習R. -6 r . = 0，因此，如果這樣的力學體系處于平衡狀態(tài),i=1則其平衡條件是3.2.4)6W = f.-6r = 03.2.4)ii或6W = (F 6x + F 6y + F 6z)= 0(3.2.5)ix i iy i iz ii

7、=1反之，也可證明，如果平衡位置是約束所允許的位置，則當3.2.4)式對任意6 r.都 成立時，系統(tǒng)在該位置必保持平衡.由此可知，受有理想約束力的力學體系平衡的充要條件 是此力學體系的諸多主動力在任意虛位移中所作的元功之和等于零.這個關(guān)系是1717年伯 努利首先發(fā)現(xiàn)的，叫做虛功原理，也叫虛位移原理.（三）拉格朗日方程1、基本形式的拉格朗日方程令s為慣性參考系，s為相對于S系的既平動又轉(zhuǎn)動的非慣性參考系，并且確定s系 原點的位矢和其轉(zhuǎn)動角速度為已知函數(shù)。在n個質(zhì)點組成幷受到k個理想完整約束的力學 體系中，其自由度s=3n-k,選qi, q2,qs為廣義坐標，則第i個質(zhì)點對s系的位矢仍可表 示成r

8、二r（qq2,，qs； t），對其用非慣性系中的動力學方程得3.3.1)3.3.2)ma . = F + R + F i3.3.1)3.3.2)i iiima.+ F + R + F = 0i iiii式中Fi為第i個質(zhì)點所受主動力的矢量和，為第i個質(zhì)點所受約束力的矢量和，而慣 性力F： = mila0 + oxr. +x6xr.）+ 2xV（a0為原點相對s系原點的加速度，v為質(zhì)點i相對s系的角速度）.若用5 r.乘式（3.3.2），并對i求和，在理想約束條件下，則得3.3.3)3.3.4)另（F. m.r.）5 r. = 03.3.3)3.3.4) TOC o 1-5 h z lI IIE

9、C rd r HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 亠dq +dt1d q aC t=1如果把實位移dr.改為虛位移5如果把實位移dr.改為虛位移5乙，再經(jīng)過微商計算得二 crz_Cq a丿P =工a dti=1m rii=1I3.3.5)3.3.6)3.3.7)dt 3.3.6)3.3.7)dt dqa)少=Q (aMaa=1,2,s)上式右方含有求和號的兩項，恰為體系動能T =1為m2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 2 ii=1對（ia及q偏微商，可把（3.3.5

10、）改寫為d C TC T HYPERLINK l bookmark6 o Current Document P =a dt CqCq丄a丄a由于5 q a是相互獨立的，所以這就是基本形式的拉格朗日方程.它們是廣義坐標qa以時間t作自變量的s個二階常微 分方程.2、保守系的拉格朗日方程 對保守力來講，基本形式的拉格朗日方程(3.3.8) d(a2、保守系的拉格朗日方程 對保守力來講，基本形式的拉格朗日方程(3.3.8) d(ar) arav(dt (aq還能再加簡化.aqa二 1,2,s)3.3.9)因為勢能v中一般不包含廣義速度qa，令L = T - V代表體系的動能與勢能之差，則(3.3.1

11、0)ai _ ar6LavaqL = T - V代表體系的動能與勢能之差，則(3.3.10)ai _ ar6Lavaqa aq J aq 嘰嘰而基本形式的拉格朗日方程則變?yōu)閐 ( aL、dt laqa3.3.11)這就是保守力系的拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)，簡稱拉氏函數(shù).3、循環(huán)積分與能量積分(1)循環(huán)積分在討論質(zhì)點在有心力場中運動時有時直接叫做拉格朗日方程或拉式方程式中L叫做如設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m，則動能1 ( )T = mv 2 + r 20 2 丿2k 2m而平方反比引力的勢能伙_，故r(.點)k2mL_T V _ mr2 + r20 2丿+r一般地講，如果拉氏函數(shù)L中不顯含某一類坐標幺，則因

12、賽二0，故由式(3.3.11)iaqid ( ai ar-土 二 0, 即 二二 b；=常數(shù) dt I aq；丿aLaqi3.3.12)在此情形下，幺常稱為循環(huán)坐標對于任一循環(huán)坐標，都有一對應(yīng)的積分，叫做循環(huán)積分.L 中不含某一廣義坐標,并不意味著也不包含廣義速度乞2)能量積分如果力學體系是穩(wěn)定的，則r. _ r. (q 1, q 2,，qs)( _ 1,2,，n)，因而葺? _ 0,于是動能T將僅為廣義速度的二次其次函數(shù)，所以3.3.13)q = 2T dqa3.3.13)a=1%此外，因為T和V都不是時間t的顯函數(shù)，故1(1(2T )一 dT dt dtdVdt由式孚=一dV，并積分，就得

13、到dt dt3.3.14)這就是力學體系的能量積分.（四）哈密頓正則方程與哈密頓原理1、哈密頓正則方程要使拉氏函數(shù)L中的一種獨立變量由q = 1,2,s）變?yōu)?花二1,2,s），其中dTdLPadTdLPa則應(yīng)引入函數(shù) H 使3.4.1)3.4.2)dH =dL + 工 Gadqa + 皿卩)dL =HO 3.4.1)3.4.2)dH =dL + 工 Gadqa + 皿卩)dL =HO . + Padqa)+|dta =13.4.3)所以dH=工(p dq + qdp)L-dta =13.4.4)因為經(jīng)過變換后H已是p,q,t的函數(shù)，故dH = ya=1dqa +OHOpadPa +丿OHdt

14、dt(3.4.5)H(P，q,L + 工 paqaa=1a =1我們現(xiàn)在仍把L認為是q，q及t的函數(shù)，故比較（3.4.4）及（3.4.5）兩式，并因為dPa、dqa及dt都是獨立的，故得OHqa =OpaOqa =OpaOH=1,2，,s)3.4.6)Oqa方程式（3.4.6）即為哈密頓正則方程，簡稱正則方程，而式（3.4.1）為哈密頓函數(shù).2、哈密頓原理 哈密頓原理是一種變分運算，力學變分原理有微分形式和積分形式.虛功原理是力學變 分原理的微分形式，而哈密頓原理是力學變分原理的積分形式.設(shè)n個質(zhì)點所形成的力學體系受有k個幾何約束，則這力學體系的自由度是s二3n - k. 因此，如果能把s個廣

15、義坐標q = 1,2,s）作為時間t的函數(shù)加以確定，也就確定了這力學體系的運動因運動方程是s個二階微分方程，固有2 s個微分常數(shù)，用c1, c2,C2s表Cx = 1,2,s )示可以認為Cx = 1,2,s )(3.4.7)把拉格朗日方程（3.1.11）中的各項乘以5 q a，對a求和，然后沿著一條可能的運動軌道對 t 積分，得ft 2 工11 a=1 i d ft 2 工11 a=1 i d ( dL dt(dqa 丿d ( dL ) dt (dq5 qa dt = 0-8q,上aa 丿dL5q因哈密頓用的是等時變分，這里用對易關(guān)系（若 5t = 0，則5( dt 丿3.4.8)3.4.9

16、)=dt(5q把式3.4.9）代入式（3.4.8）得工 5 qa工 5 qa 12 _ft 2 工昱 5qa + a=111 t1 a=12么dLdqa5qa dt = 0丿3.4.10)因 L = lQ, q2,qs； q, q2,qs； t),而5qaIt = t1 =5qa|t = t2 = 0，故式(3.4.10)簡化為ft25Ldt = 0（3.4.11）t1又因51 = 0，故式（3.4.11）積分號內(nèi)的5可移至積分號外，即5 ft2Ldt = 0（3.4.12）t1這就是在保守力系作用下的哈密頓原理的數(shù)學表達式哈密頓稱f12Ldt為作用函數(shù)，當它表t1示為端點時間和位置的函數(shù)時，

17、也叫主函數(shù).四、分析力學的不同表示形式 分析力學的基本理論體系可以分為微分形式和積分形式兩種表示,它們是可以互相推證 的等價形式.（一）微分形式由基本形式的拉個拉格朗日方程力T(4.1.1)=Q(a = 1,2,s)(4.1.1)敗 a它們是廣義坐標q a以時間t作自變量的s個二階常微分方程，T為系統(tǒng)的動能，如果體系是保守力系,則上式還可以進一步簡化為QLC 二 1,2,s)(4.1.2)式中拉氏函數(shù)L = T-V ,表示體系的動能與勢能之差，它是力學體系的一個特性函數(shù)， 表征著約束、運動狀態(tài)、相互作用等性質(zhì).(4.1.1)、(QLC 二 1,2,s)(4.1.2)式中拉氏函數(shù)L = T-V

18、,表示體系的動能與勢能之差，它是力學體系的一個特性函數(shù)， 表征著約束、運動狀態(tài)、相互作用等性質(zhì).(4.1.1)、(4.2.2)式是分析力學微分形式的基本 表達形式.在上述基礎(chǔ)上，拉普拉斯修改了拉氏函數(shù)的表示方法，并證明勢函數(shù)V總能滿足微分方 程V 2V二竺+竺+竺 dx 2dy 2dz24.1.3)1831年，泊松給出了一個更一般的形式(4.1.4)(二)積分形式分析力學的積分形式是從最小作用原理發(fā)展起來的變分原理，是一種通過變分法求泛函 極值的方法.1657 年，費馬從反射光線沿需時最少的路徑行走的現(xiàn)象得到啟示，相信自然是“簡單而 又經(jīng)濟地行動的”，確言了最小時間原理，并將這一原理用變分的形

19、式表示為B ds畀=0(4.2.1)Av在這一理論的基礎(chǔ)上，1744年，法國物理學家莫泊丟提出了適用于各種物理現(xiàn)象的“最 小作用量原理”，他指出:體系實際發(fā)生的真正運動是使某一個作用量取最小值的運動，1755 年，拉格朗日把這種方法稱為變分方法，并把作用量定義為運動量的空間積分，對于單個質(zhì) 點，這個作用等于J pmv - drp0(4.2.2)也可表示為mv 2 dt =2Tdtt 0t 0利用拉氏函數(shù)L = T V，把作用量寫為1L (q , q 2,，q s, t )dt t04.2.3)4.2.4)稱為哈密頓作用量，在確定的初態(tài)和終態(tài)之間的所有可能的運動中，真實運動的作用函數(shù)具有極值6

20、Ldt = 0t04.2.5)這就是哈密頓原理的數(shù)學表達式,也是分析力學積分形式的基礎(chǔ)表示.由于L = T- V ,所以所以4.2.6)此外,利用廣義坐標qi及其與它相共軛的廣義動量P二字定義哈密頓函數(shù)如aH(p4.2.6)此外,利用廣義坐標qi及其與它相共軛的廣義動量P二字定義哈密頓函數(shù)如aH(p, q, t)= L + E paqaa=14.2.7)則而所以dH =-dL + 工(Padqa + 皿卩)a=1dL 二工(p血 + Padq)+ H dta=1dH二工(-p血+久仇)-Hdta=14.2.8)4.2.9)4.2.10)f i Ldt = f iTdt - ft Wdtt0t0t0因為經(jīng)過變換后H已是p,q,t的函數(shù)，故a=1(dH 1dHda=1(dH 1dHdqa+d- a