正定二次型性質(zhì)應(yīng)用

1、綱要錯(cuò)誤!不決義書簽。要點(diǎn)詞錯(cuò)誤!不決義書簽。Abstract錯(cuò)誤!不決義書簽。Keywords錯(cuò)誤!不決義書簽。序言錯(cuò)誤!不決義書簽。1預(yù)備知識(shí)錯(cuò)誤!不決義書簽。二次型定義錯(cuò)誤!不決義書簽。正定二次型定義錯(cuò)誤!不決義書簽。2正定二次型的性質(zhì)錯(cuò)誤!不決義書簽。3正定二次型的應(yīng)用7正定二次型在解決極值問題中的應(yīng)用7正定二次型在分塊矩陣中的應(yīng)用錯(cuò)誤!不決義書簽。正定二次型在解決多項(xiàng)式根的有關(guān)問題中的應(yīng)用9正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應(yīng)用10正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應(yīng)用錯(cuò)誤!不決義書簽。正定二次型在歐氏空間中的應(yīng)用（歐氏空間的內(nèi)積與正定矩陣）錯(cuò)誤!不決義書簽。正定二次型在

2、解線性方程組中的應(yīng)用.錯(cuò)誤!不決義書簽。正定二次型在物理力學(xué)識(shí)題中的應(yīng)用.錯(cuò)誤!不決義書簽。結(jié)束語.13參照文件.錯(cuò)誤!不決義書簽。正定二次型的性質(zhì)及應(yīng)用綱要：本文主要商討了正定二次型的性質(zhì)，聯(lián)合例題要點(diǎn)介紹了正定二次型的應(yīng)用，如研究極值問題方面、解決多項(xiàng)式的根和在物理方面的應(yīng)用等.要點(diǎn)詞：正定二次型；正定矩陣；合同；初等變換；分塊矩陣ThepropertiesandApplicationsofpositivedefiniteQuadraticFormsAbstract：Inthispaper，thepropertiesofpositivedefinitequadraticformisdisc

3、ussed.Bygivingexamples,wemainlyintroducetheapplicationsofpositivedefinitequadraticform,suchastheapplicationtoextremumquestions、studyingthepolynomialrootandapplicationsinphysicsetal.Keywords：positivedefinitequadraticform;positivedefinitematrix;congruence;elementarytransformation；partitionedmatrix.序言二

4、次型是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一，正定二次型是是實(shí)二次型中一類特別的二次型，據(jù)有特別的地位.正定二次型常常出此刻很多實(shí)質(zhì)應(yīng)用和理論研究中,且有很大的適用價(jià)值，它不單在幾何并且在數(shù)學(xué)的其他分支學(xué)科以及物理和工程技術(shù)也常常用到，正定矩陣是依賴正定二次型給出的，因此對(duì)正定矩陣的性質(zhì)的觀察，有助于更好地認(rèn)識(shí)正定二次型，本文在二次型的基礎(chǔ)上研究了正定二次型與正定矩陣的一些性質(zhì)及有關(guān)證明，并以例題的形式詳盡介紹了正定二次型的一些應(yīng)用.1預(yù)備知識(shí)二次型定P是一數(shù)域，一個(gè)系數(shù)在數(shù)域P中的x1,x2,.,xn的二次次多式fx1,x2,.,xna11x122a12x1x22a1nx1xna22x222a2nx2xn+

5、annxn2稱數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，或許在不致惹起混雜稱二次型.正定二次型的定定1二次型fx1,x2,.,xn稱正定的，假如于隨意一不全零的數(shù)c1,c2,cn都有fc1,c2,.,cn0.定2稱矩A稱正定的，假如二次型XAX正定.正定二次型的性質(zhì)性1二次型fx1,x2,.,xn=d1y12d2y22dnyn2是正定的當(dāng)且當(dāng)di0,i1,2,n.明必需性.因fx1,x2,.,xn=d1y12d2y22dnyn2是正定的，所以于隨意的一不全零的數(shù)c1,c2,cn都有fc1,c2,.,cn0.于是取一不全零的數(shù)：0,0,0,1,0,0（里第i個(gè)1，其他n1個(gè)0），有f(0,0,0,1,0,0)=

6、di0,i1,2,n.充分性然.性2n元二次型fx1,x2,.,xn是正定的充要條件是它的正性指數(shù)等于n.明二次型fx1,x2,.,xn非退化性替成準(zhǔn)型d1y12d2y22dnyn2.（1）上邊的表示，fx1,x2,.,xn正定當(dāng)且當(dāng)（1）是正定的，而我知道，二次型(4)是正定的當(dāng)且僅當(dāng)di0,i1,2,n，即正慣性指數(shù)為n.性質(zhì)3正定二次型fx1,x2,.,xn的規(guī)范形為y12y22yn2，正定二次型的規(guī)范性矩陣為單位矩陣E，所以一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同.性質(zhì)4實(shí)二次型.fx1,x2,.,xn=XAX，正定的必需條件為A0證明有實(shí)二次型知A是一正定矩陣，由于A與單位矩陣

7、合同，所以有可逆矩陣C使ACECCC.兩邊取隊(duì)列式，就有ACC2C0.性質(zhì)5實(shí)二次型fx1,x2,.,xn=XAX為正定的充分必需條件是A的特點(diǎn)值都是正數(shù).性質(zhì)6若A是正定矩陣，則A1也是正定矩陣.證明假如A正定，則由性質(zhì)2知A0，因此A可逆，且其存在可逆矩陣T,使ATT，將等式兩邊取逆有AT1T1，令C(T1)，于是A1CCCEC，所以A1也是正定矩陣.性質(zhì)7若A是正定矩陣，則對(duì)隨意的實(shí)數(shù)k，kA也是正定矩陣.證明由于A正定，所以對(duì)隨意n維實(shí)向量X0，都有XAX0，若k0，則X(kA)Xk(XAX)0，故kA為正定矩陣.性質(zhì)8若A是正定矩陣，則A的陪伴矩陣A*也是正定矩陣.證明由于A正定，因

8、此A0，且有性質(zhì)四知A1也正定，而A*=AA1，又由性質(zhì)5知A*為正定矩陣性質(zhì)9正定矩陣只好與正定矩陣合同.證明若A正定，則A與單位矩陣E合同，若B也正定，則B也與E合同，即A、B都與單位矩陣E合同，故A、B合同.反之，若A、B合同，且A正定，即A與單位矩陣E合同，所以B也與E合同，故B也為正定的.綜上，結(jié)論建立.性質(zhì)10若A、B為正定矩陣，則AB也為正定矩陣.證明由于A、B為正定矩陣，故XAX，XBX為正定二次型，于是X(AB)X=XAXXBX也必為正定二次型，故AB為正定矩陣.性質(zhì)11若A是正定矩陣，則對(duì)隨意的正數(shù)k，Ak也是正定矩陣.證明由于A正定，那么當(dāng)k2m時(shí)，AkAmAm(Am)A

9、m，Am為實(shí)可逆矩陣，所以Ak正定；當(dāng)k2m1時(shí)，Ak(Am)AAm，因此Ak與A合同，有性質(zhì)7知Ak為正定矩陣.所以不論哪一種狀況，Ak都正定.性質(zhì)12實(shí)二次型nnfx1,x2,.,xnaijxixj=XAX，i1j1矩陣A的主對(duì)角線上的元素都大于零.x1證明由于A是正定矩陣，于是對(duì)任何Xx20，xn恒有fx1,x2,.,xn=XAXnnaijxixj0，i1j1此中aij(i,j1,2,n)為A的元素，令00XI1（i行）i1,2,n,00那么XiAXiaii0,i1,2,n,證畢.性質(zhì)13實(shí)二次型nnf(x1,x2,xn)aijxixj=XAXi1j1是正定的充分必需條件為矩陣A的次序主

10、子式全大于零.證明先證必需性.設(shè)二次型nnf(x1,x2,xn)aijxixji1j1是正定的.關(guān)于每個(gè)k，1kn，令nnfk(x1,xk)aijxixji1j1我們來證fk是一個(gè)k元的正定二次型.關(guān)于隨意一組不全為零的實(shí)數(shù)c1,ck，有nnfk(c1,ck)aijcicjf(c1,ck,0,0)0i1j1所以fk(x1,xk)是正定的.由性質(zhì)4，fk的矩陣隊(duì)列式a11a1k0,k1,nak1akk.這就證了然矩陣A的次序主子式大于零.再證充分性.對(duì)n作數(shù)學(xué)概括法.當(dāng)n1時(shí)，f(x1)a11x12，由條件a110明顯有f(x)是正定的.1假定充分性的判斷關(guān)于n1元二次型已經(jīng)建立，此刻來證n元的

11、情況.令a11a1,n1a1nA1aan1,1an1,n1，an1,n，于是矩陣A能夠分塊寫成A1aAann.a既然A的次序主子式全大于零，自然A1的次序主子式也全大于零.由概括法假定，A1是正定矩陣，換句話說，有可逆的n1級(jí)矩陣G使GA1GEn1,這里En1代表n1級(jí)單位矩陣.令C1G00,1于是G0A1aG0En1GaC1AC101aann01.aGann再令C2En1Ga，01有En10En1GaEn1GaEn10.C2C1AC1C2aG1aGann010annaGGa令CC1C2，annaGGaa，就有1CAC.a兩邊取隊(duì)列式，2a.CA有條件，A0，所以a0.明顯1111.1111a

12、a1a這就是說，矩陣A與單位矩陣合同，因之，A是正定矩陣，或許說，二次型fk(x1,xk)是正定的.依據(jù)概括法原理，充分性得證.正定二次型的應(yīng)用正定二次型在解決極值問題中的應(yīng)用定理1設(shè)n元實(shí)函數(shù)fx1,x2,.,xn在點(diǎn)p0的一個(gè)鄰域中連續(xù)，且有足夠高階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)fx1,x2,.,xn在點(diǎn)p0近旁有性質(zhì)：若XAX正定，則p0為極小點(diǎn)；若XAX負(fù)定，則p0為極大點(diǎn)；若XAX不定，則p0非極大或極小點(diǎn)；其他情況時(shí)，fx1,x2,.,xn在p0性質(zhì)有待研究余項(xiàng)R的性質(zhì)來確立.特別當(dāng)fx1,x2,.,xn是二次函數(shù)時(shí)，R=0只需XAX半正（負(fù)）定，則p0為極小（大）點(diǎn).例1求函數(shù)zxyln(

13、x2y2)的極值.解222x2y222xy2zxyln(xy)x2y2,，zyxln(xy)x2y2.解方程組zx0zy，易得0 x0，xx12e，（符號(hào)隨意搭配），1，y1y01y2ezxx2xy(x23y2)，zyy2xy2(3x2y2)，(x2y2)2(x2y2)2zxyzyxln(x2y2)2(x4y4).(x2y2)2于是Azxxzxy，經(jīng)計(jì)算得Azyxzyy20A(1,1)A(1,1)0負(fù)定；A22222A(02(1,1)1,1)2正定；22220A(0,02不定.故，在(1,0)1)20(1,0),(0,1)，z不取極值；在(1,1),(1,1)點(diǎn)，z取極小值，2e2e2e2ez

14、極小-1；在(1,1),(1,1)點(diǎn)，z取極大值，z極大1.2e2e2e2e2e2e正定二次型在分塊矩陣中的應(yīng)用.例2設(shè)A，B分別是mn階正定矩陣，試判斷分塊矩陣CA0能否0B為正定矩陣.解可證C是正定矩陣.由于A，B都是實(shí)對(duì)稱矩陣，進(jìn)而C也是實(shí)對(duì)稱矩陣且隨意的XRmn,X0，令XCX(X1,X2)A0X1X1AX1X2BX2，Xx1，0BX2x2此中，X1Rm，X2Rn，且起碼有一個(gè)是非零向量，于是XCX(X1,X2)A0X1X1AX1X2BX20.0BX2故C是正定矩陣.正定二次型在解決多項(xiàng)式根的有關(guān)問題中的應(yīng)用例3設(shè)n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的根為x1,x2,xn，令S0S1Sn1Skx1

15、kx2kxnk，SS1S2Sn.Sn1SnS2n2111證明易證STT,這里T.x1n1x2n1xnn1必需性設(shè)x1,x2,xn是n個(gè)互異實(shí)根，由于T是范德蒙隊(duì)列式，所以T0，即T是非奇怪的.又由于STTTET,所以S與E合同，即S正定.充分性設(shè)S是正定的，所以T0，那么xi互異.若x1,x2,xn中有非實(shí)數(shù)，比如x1，那么x1的共軛數(shù)x1也是f(x)的根不如設(shè)x2x1.由于T是非奇怪的.所以線性方程組a0 x1a1x1n1an11a0 x1a1x1n1an11（2）a0 xja1xnj1an10j3,n有獨(dú)一解a(a0,a1,an1)0.由于S是正定的，所以，作為二次型的fYSY是正定的,由

16、（2）式有1faSaaTTa(1,1,0,0)12.0這與f是正定即S是正定的矛盾，所以x1,x2,xn中不可以有非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)，所以f(x)的n個(gè)根為互異的實(shí)根.正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應(yīng)用例4利用直角坐標(biāo)變換化簡以下二次曲面方程.3x22y22z22xy8x6y2z30310此中X(x,y,z),B(4,3,1),A120.002作平移代換,XYa,a(a1,a2,a3)，則有(Ya)A(Ya)2B(Ya)30即YAYYAaaAYaAa2BY2Ba30令aAa2Ba3又由于YAaaAY,AA所以YAY2(AaB)Y0適入選用a，使AaB，由秩A秩A3知：AaB（線性方程組）

17、有獨(dú)一解：a1a21,a31.2由A,a,B可得-9，又由于A是可逆實(shí)對(duì)稱陣，所以存在正交陣T使得21TAT2，3此中12，255，35522為A的特點(diǎn)根.作正交線形替代YTZ,Z(Z1,Z2,Z3),則AY22Z222Z2552552Y1Z123Z312Z2Z3.2即，原方程能夠化簡為2552552.2Z1Z2Z322正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應(yīng)用盡人皆知線形方程組a11x1a12x2a1sxsb10a21x1a22x2a2sxsb20可能無解an1x1an2x2ansxsbn0n即隨意一組x1,x2,.,xs都可能使y(ai1x1ai2x2aisxsbi)不等于零，我i1們想法

18、找x10,x20,.,xs0使y最小，這樣x10,x20,.,xs0稱為方程組的最小解，這類問題就叫最小二乘法問題.若記A為上述線性方程組的系數(shù)矩陣，B(b1,b2bn)T，于是使得y值最小的X必定是方程組XAX=XB的解，而其系數(shù)矩陣AA是一個(gè)正定矩陣，它的慣性指數(shù)等于n，所以這個(gè)線性方程組是有解的，這個(gè)解就是最小二乘解.正定二次型在歐氏空間中的應(yīng)用（歐氏空間的內(nèi)積與正定矩陣）定理設(shè)V是R上的歐氏空間，那么V的內(nèi)積與n階正定矩陣是一一對(duì)應(yīng)的.正定二次型在解線性方程組中的應(yīng)用.例5（1）用矩陣給出平面上n個(gè)點(diǎn)Pi(xi,yi)共線的充分必需條件（2）設(shè)A是n階滿秩矩陣，試證，X(AA)X是一個(gè)

19、正定二次型，這里Xx1,x2,.,xn.解（1）設(shè)直線ykxb，n個(gè)點(diǎn)共線是指線性方程組（把k,b當(dāng)作未知量）kx1by1kx2by2kxnbyn有解，所以n個(gè)點(diǎn)Pi(xi,yi)共線所以方程組有解1x111x1y1秩秩.1xn1xnyn（2）設(shè)A是n階滿秩矩陣，令YAX,此中Y(y1,y2,yn)，則X(A)1Y是非退化現(xiàn)行替代，且X(AA)XYYy12y22yn2，由此能夠看出，此二次型的正慣性指數(shù)與秩都等于n，所以X(AA)X是正定二次型.正定二次型在物理力學(xué)識(shí)題中的應(yīng)用.由于在物理力學(xué)識(shí)題中常常需要同時(shí)將兩個(gè)二次型轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型來實(shí)現(xiàn)，這事應(yīng)用中很重要的一個(gè)問題.命題設(shè)A是n階正定矩陣，B是n階實(shí)對(duì)矩陣，則存在n階可逆矩陣S，使得SASE,SBS,此中為對(duì)角陣.證明由于A是正定矩陣，所以存在n階可逆矩陣S1，使得S1AS1E，令BS