易錯(cuò)點(diǎn)10 立體幾何中的距離

1、 易錯(cuò)點(diǎn)10立體幾何中的距離易錯(cuò)點(diǎn)1：定義法求點(diǎn)到面的距離直接作出垂線(xiàn)段或利用線(xiàn)、面平行轉(zhuǎn)化后再作垂線(xiàn)段的方式求解距離，在作垂線(xiàn)段的過(guò)程中，我們先找到過(guò)點(diǎn)且與已知平面垂直的平面，然后在垂面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，從而得面的垂線(xiàn)。將垂線(xiàn)段納入某個(gè)三角形內(nèi)，通過(guò)解三角形求出此距離；易錯(cuò)點(diǎn)2：轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到面的距離將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線(xiàn)與平面的距離來(lái)求；用平行轉(zhuǎn)移法的前提是能找到一條過(guò)目標(biāo)點(diǎn)且與目標(biāo)平面平行的直線(xiàn)，即為目標(biāo)點(diǎn)設(shè)計(jì)一條逃跑的通道，且在這條通道上能找到一個(gè)好的點(diǎn)；比例轉(zhuǎn)移法，過(guò)目標(biāo)點(diǎn)的作（找）目標(biāo)平面的一條斜線(xiàn)段，使得線(xiàn)段的另一端到平面的距離與目標(biāo)點(diǎn)到平面的距離相等或成比例。易錯(cuò)點(diǎn)3：

2、等體積法求點(diǎn)到面的距離利用等積法、將此距離看作某個(gè)三棱錐的高，利用體積相等求出此距離；易錯(cuò)點(diǎn)4：向量法求點(diǎn)到面的距離先建立空間直角坐標(biāo)系，相關(guān)點(diǎn)用坐標(biāo)表示之，求出目標(biāo)平面的法向量，再找一條過(guò)目標(biāo)點(diǎn)的斜線(xiàn)段，由內(nèi)積公式求出它和法向量所成的角，最后終得距離；利用向量、點(diǎn)A，平面，滿(mǎn)足，則點(diǎn)A到平面的距離（是平面的法向量）。 01定義法求點(diǎn)到平面的距離例1（2020年全國(guó)2卷）已知ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為（）A. B. C. 1D. 【警示】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【解析】設(shè)

3、球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，解得：，球心到平面的距離.故選：C.【叮囑】直接作出垂線(xiàn)段或利用線(xiàn)、面平行轉(zhuǎn)化后再作垂線(xiàn)段的方式求解距離，在作垂線(xiàn)段的過(guò)程中，我們先找到過(guò)點(diǎn)且與已知平面垂直的平面，然后在垂面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，從而得面的垂線(xiàn)。將垂線(xiàn)段納入某個(gè)三角形內(nèi)，通過(guò)解三角形求出此距離；1.（2019全國(guó)1文19）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離【解析】（1）連結(jié).因?yàn)镸，E分別為的中點(diǎn)，所以，且

4、.又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以.由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN平面.（2）過(guò)C作C1E的垂線(xiàn)，垂足為H.由已知可得，所以DE平面，故DECH.從而CH平面，故CH的長(zhǎng)即為C到平面的距離，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.從而點(diǎn)C到平面的距離為.2在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD平面平面ABC，平面ECB平面ABC，ACD，ECB，ACB都是等邊三角形.（1）證明：DE/平面ABC.（2）已知AC-4，求四棱錐C-ABED的高.【解析】（1）由題意知，ACD，EBC都是等邊三角形，取AC的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)G，連接DF，F(xiàn)G，EG，則DFAC，EGB

5、C，又平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABC=AC，DF平面ABC，同理EG平面ABC，DF/EG，又因?yàn)锳CD，EBC，ACB都是等邊三角形，DF=EG，四邊形DFGE是平行四邊形，DE/FG，DE平面ABC，F(xiàn)G平面ABC，DE/平面ABC.（2）分別取M，N為DE，AB的中點(diǎn)，連接CM，MN，CN，CD=CE，AC=CB，CM=ED，CNAB，由（1）可知DE=2，且ED/AB，所以CM/AB，又CMCN=C，AB平面CMN.過(guò)點(diǎn)C作CHMN，交MN于點(diǎn)H，ABCH.又ANMN=N，CH平面ABED，故CH為四棱錐C-ABED的高，其中，在CMN中，可得，四棱錐C-ABED的高為.

6、02轉(zhuǎn)移點(diǎn)法求點(diǎn)距離例2（2016年全國(guó)III卷）如圖，四棱錐中，底面，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明平面；（）求四面體的體積【警示】由得，到的距離與A到BC的距離相等?！窘馕觥浚ǎ┯梢阎?，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，. 又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平? （）因?yàn)槠矫?，為的中點(diǎn)，所以到平面的距離為取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，.由得到的距離為，故.所以四面體的體積. 【叮囑】轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到面的距離：將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線(xiàn)與平面的距離來(lái)求；用平行轉(zhuǎn)移法的前提是能找到一條過(guò)目標(biāo)點(diǎn)且與目標(biāo)平面平行的直線(xiàn)，即為目標(biāo)點(diǎn)設(shè)計(jì)一條逃跑的通道，且在這條通道上能找到一個(gè)

7、好的點(diǎn)；比例轉(zhuǎn)移法，過(guò)目標(biāo)點(diǎn)的作（找）目標(biāo)平面的一條斜線(xiàn)段，使得線(xiàn)段的另一端到平面的距離與目標(biāo)點(diǎn)到平面的距離相等或成比例。1如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段D1E上，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為.【解析】點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P，顯然點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為PC的長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)PCDE時(shí)，PC的長(zhǎng)度最小，此時(shí)PC.故答案為2如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，ADAB，AB/CD，為PC的中點(diǎn).（1）求證：BE平面PCD；（2）求直線(xiàn)AB到平面PC

8、D的距離.【解析】（1）如下圖，取PD的中點(diǎn)F，連接AF、EF.又E為PC的中點(diǎn)，則EF是PCD的中位線(xiàn)，所以EF/CD且.又AB/CD且，所以EF/AB且EF=AB.所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以BE/AF.因?yàn)锳D=AP，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，所以AFPD.因?yàn)锳DAB，AB/CD，所以ADCD.因?yàn)镻A平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又，所以CD平面PAD.平面PAD，所以CDAF.又，所以AF平面PCD.又BE/AF，所以BE平面PCD；（2）因?yàn)锳B/CD，CD平面PCD，平面PCD，所以AB/平面PCD.所以直線(xiàn)AB到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離.由（1

9、）得AF平面PCD，則AF等于點(diǎn)A到平面PCD的距離.因?yàn)?，所?故點(diǎn)A到平面PCD的距離為，即直線(xiàn)AB到平面PCD的距離為. 03等體積法求距離例3如圖，四邊形為正方形，平面，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)（）證明：平面；（）求點(diǎn)到平面的距離【警示】（）略（）利用等積法可得：，代入棱錐體積公式可得點(diǎn)到平面的距離【解析】（）略（）解：由（）知平面，所以點(diǎn)到平面的距離與到平面的距離是相等的，故轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為利用等體積法：，即，【叮囑】利用等積法、將此距離看作某個(gè)三棱錐的高，利用體積相等求出此距離,此法是最重要的方法，目前大多數(shù)高考題都是用此法來(lái)求點(diǎn)面距；用等體積法求點(diǎn)到平面的距離主要是一個(gè)轉(zhuǎn)換

10、的思想，即要將所要求的垂線(xiàn)段置于一個(gè)四面體中，其中四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為所給點(diǎn)，另外三點(diǎn)位于所給點(diǎn)射影平面上，這里不妨將射影平面上的三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱(chēng)為底面三角形。先用簡(jiǎn)單的方法求出四面體的體積，然后計(jì)算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式V=13S1正三棱柱的所有定點(diǎn)均在表面積為的球的球面上，則到平面的距離為（）A1BCD【解析】等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.由于球的表面積為，故半徑，所以側(cè)棱長(zhǎng).在三角形中，而，所以三角形的面積為.設(shè)到平面的距離為，由得，解得.故選：B2如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【解析】（1）證明：，是中點(diǎn)，由已知得，

11、又，平面，平面，平面，平面.（2）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在中，則，平面，即點(diǎn)到平面的距離為. 04向量法求距離例4（2014新課標(biāo)2）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)（）略（）設(shè)二面角為60，=1，=，求三棱錐的體積【警示】此題可用向量法來(lái)求，先建立空間直角坐標(biāo)系，相關(guān)點(diǎn)用坐標(biāo)表示之，求出目標(biāo)平面的法向量，再找一條過(guò)目標(biāo)點(diǎn)的斜線(xiàn)段，由內(nèi)積公式求出它和法向量所成的角，最后終得距離?！窘馕觥浚ǎ┞裕ǎ┮?yàn)镻A平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則。設(shè)為平面ACE的法向量，則即，可取又為

12、平面DAE的法向量，由題設(shè)，即，解得因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐的高為三棱錐的體積【叮囑】向量法求點(diǎn)到面的距離先建立空間直角坐標(biāo)系，相關(guān)點(diǎn)用坐標(biāo)表示之，求出目標(biāo)平面的法向量，再找一條過(guò)目標(biāo)點(diǎn)的斜線(xiàn)段，由內(nèi)積公式求出它和法向量所成的角，最后終得距離；利用向量、點(diǎn)A，平面，滿(mǎn)足，則點(diǎn)A到平面的距離（是平面的法向量）1.如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（）求BF的長(zhǎng)；（）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.【解析】（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4

13、，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設(shè)F（0，0，z）.AEC1F為平行四邊形，（II）設(shè)為面AEC1F的法向量，的夾角為a，則C到平面AEC1F的距離為2(2018天津改編)如圖，且，且，且，平面，若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且直線(xiàn)與平面所成的角為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)【解析】依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，設(shè)線(xiàn)段的長(zhǎng)為()，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得易知，為平面的一個(gè)法向量，故，由題意，可得，解得所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為1.(2019全國(guó)III文8）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則ABM=EN，且

14、直線(xiàn)BM、EN是相交直線(xiàn)BBMEN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)CBM=EN，且直線(xiàn)BM、EN是異面直線(xiàn)DBMEN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)【解析】如圖所示，聯(lián)結(jié)，.因?yàn)辄c(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以平面，平面，因?yàn)槭侵羞吷系闹芯€(xiàn)，是中邊上的中線(xiàn)，直線(xiàn)，是相交直線(xiàn)，設(shè)，則，所以，所以故選B2如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).直線(xiàn)與平面的距離為（）【解析】如圖所示：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，因?yàn)榈酌鍭BCD，所以，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以，所以平面，又平面，所以平面平面，平面平面，所以點(diǎn)A到FD的距離，即為點(diǎn)A到平面的距離，因?yàn)?，平面，平面，?/p>

15、以平面，所以點(diǎn)A到平面的距離，即為直線(xiàn)AB到平面的距離，在中，所以點(diǎn)A到FD的距離為.故直線(xiàn)與平面的距離為.故選：B3在長(zhǎng)方體中，M，N分別為，AB的中點(diǎn)，則MN與平面的距離為（）A4BC2D【解析】如圖，,又平面，平面.MN與平面的距離為N到面的距離.又N到平面的距離為.MN與平面的距離為2.故選：C4（2018全國(guó)卷）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離【解析】(1)因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且連結(jié)因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且，由知，由，知平?2)作，垂足為又由(1)可得，所以平面故的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離由題設(shè)可知，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為5（

16、2015新課標(biāo)1）如圖四邊形為菱形，為與交點(diǎn)，平面（）證明：平面平面；（）若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積【解析】（）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫?，所以，故平面又平面，所以平面平面（）設(shè)=，在菱形中，由=120，可得=，=因?yàn)?，所以在中，可得由平面，知為直角三角形，可得由已知得，三棱錐的體積故從而可得所以的面積為3，的面積與的面積均為故三棱錐的側(cè)面積為6在三棱柱中，為的中點(diǎn).（1）證明：/平面；（2）若，點(diǎn)在平面的射影在上，且側(cè)面的面積為，求三棱錐的體積.【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接.則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以/，且平面，平面，則/平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)

17、，連接.因?yàn)辄c(diǎn)在平面的射影在上，且，所以平面，平面，則.設(shè)，在中，由，可得.則 .所以三棱錐的體積為.7如圖，平行四邊形ABCD所在平面與平面ABE垂直，且AB2，EAEB3，DAB60，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)（1）證明：CE平面BDF；（2）求三棱錐D-BCF的體積【解析】（1）證明：連接，設(shè)，四邊形為平行四邊形，則為的中點(diǎn)在中，為的中點(diǎn)，又平面，平面，平面（2）平面平面，平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作垂直于，平面，又是中點(diǎn)，8如圖，已知為等邊三角形，D，E分別為AC，AB邊的中點(diǎn)，把沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，平面平面，若.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求直線(xiàn)到平面的距離.【解析】（1）如圖所示，設(shè)的中

18、點(diǎn)為O，的中點(diǎn)為F，連接，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，所以即為直線(xiàn)與平面所成的角.因?yàn)?，則，所以.在中，所以.在中，所以.（2）解法一：因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為，邊的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?由（1）知，平面，又，所以以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，所以.因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)O到平面的距離為d，則.因?yàn)辄c(diǎn)O在直線(xiàn)上，所以直線(xiàn)到平面的距離等于.解法二：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為，邊的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，平面，所?又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?因?yàn)槠矫嫫矫?，作交于點(diǎn)G，則平面.在中，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)O在直線(xiàn)上，所以直