專題2-2 函數(shù)性質(zhì)2：“廣義”奇偶性高考數(shù)學一輪復習題型歸納與變式演練（全國通用）（解析版）

1、 專題2-2 函數(shù)性質(zhì)2：“廣義”奇偶性目錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc24614 一、熱點題型歸納 HYPERLINK l _Toc6779 1 HYPERLINK l _Toc32129 【題型一】奇偶函數(shù)性質(zhì)1 HYPERLINK l _Toc19920 【題型二】“廣義奇函數(shù)”：點（a，b）中心對稱4 HYPERLINK l _Toc8815 【題型三】“廣義偶函數(shù)”：豎直對稱軸 PAGEREF _Toc8815 6 HYPERLINK l _Toc32473 【題型四】奇偶性與周期性 PAGEREF _Toc32473 9 HYPERLINK l _T

2、oc6650 【題型五】奇偶性與零點 PAGEREF _Toc6650 11 HYPERLINK l _Toc14828 【題型六】奇偶性與比大小 PAGEREF _Toc14828 14 HYPERLINK l _Toc16068 【題型七】奇偶性與導數(shù) PAGEREF _Toc16068 16 HYPERLINK l _Toc6181 【題型八】奇偶性與求參 PAGEREF _Toc6181 18 HYPERLINK l _Toc21110 【題型九】抽象函數(shù)與奇偶性 PAGEREF _Toc21110 21 HYPERLINK l _Toc5530 【題型十】中心對稱應用：倒序求和 PA

3、GEREF _Toc5530 23 HYPERLINK l _Toc26006 二、真題再現(xiàn) PAGEREF _Toc26006 25 HYPERLINK l _Toc6748 三、模擬檢測 PAGEREF _Toc6748 31【題型一】奇偶函數(shù)性質(zhì)【典例分析】 已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為A或B1或C或2D或1【答案】A根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，求出，結合函數(shù)的對稱性得出和都關于對稱，由有唯一零點，可知，即可求.【詳解】解：已知，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，得：，。+得：，由于關于對稱，則關于對稱，為偶函數(shù)，關于軸對稱，則關于對稱，由

4、于有唯一零點，則必有，即：，解得：或.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律奇偶性(1)奇偶函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)f(x)f(x) 關于y軸對稱對稱區(qū)間的單調(diào)性相反；奇函數(shù)f(x)f(x) 關于原點對稱對稱區(qū)間的單調(diào)性相同；奇函數(shù)在x0處有意義時，必有結論 f(0)0 ；(2)奇偶性的判定“奇奇”是奇 ，“偶偶”是 偶 ，“奇/奇”是 偶 ，“偶/偶”是 偶 ，“奇/偶”是 奇 ；奇(偶)函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運算，奇偶性不變；奇(偶)函數(shù)的絕對值運算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù)(2)常見奇函數(shù)f(x)eq f(ax1,ax1)f(x)logaeq f(xb,xb)f(x)g(x)g(x) f(x)loga(eq r

5、(,x21)x)f(x)sin x，f(x)tan x等等；【變式演練】1.若函數(shù)對任意的，總有恒成立，則的取值范圍是ABCD【答案】A【詳解】因為 ，所以函數(shù)為定義域 上奇函數(shù)，又因為所以函數(shù)為定義域 上減函數(shù)，因此不等式， 從而 ，選A.2.設函數(shù)，若，滿足不等式，則當時，的最大值為ABCD【答案】B【詳解】因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),又因為為單調(diào)減函數(shù),且所以為上減函數(shù),因此,因為,所以可行域為一個三角形及其內(nèi)部,其中,因此直線過點時取最大值,選B.3.已知函數(shù)，則在同一個坐標系下函數(shù)與的圖像不可能是（）ABCD【答案】D【分析】設，由奇偶性的定義及性質(zhì)可得是R上的奇函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，

6、然后分、和三種情況討論即可求解.【詳解】解：設，因為，所以是R上的奇函數(shù)，又時，在上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，且有唯一零點0，所以的圖像一定經(jīng)過原點，當時，與的圖像相同，不符合題意當時，是R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以與的圖像可能為選項C；當時，若，所以與的圖像可能為選項A或B.故選：D【題型二】“廣義奇函數(shù)”：點（a，b）中心對稱【典例分析】定義在上的函數(shù)若滿足：對任意、，都有；對任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若滿足不等式，當時，的取值范圍為ABCD【答案】C【分析】先結合題中條件得出函數(shù)為減函數(shù)且為奇函數(shù)，由，可得出

7、，化簡后得出，結合可求出，再由結合不等式的性質(zhì)得出的取值范圍.【詳解】由知此函數(shù)為減函數(shù).由函數(shù)是關于的“中心捺函數(shù)”，知曲線關于點對稱，故曲線關于原點對稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上遞減，于是得，.，.則當時，令m=x，y=n則：問題等價于點（x，y）滿足區(qū)域，如圖陰影部分，由線性規(guī)劃知識可知為（x，y）與（0，0）連線的斜率，由圖可得，故選C.【提分秘籍】基本規(guī)律對任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點稱為函數(shù)的中心.【變式演練】1.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當時，若函數(shù)，在區(qū)間上有10個零點，則的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】由得出函數(shù)的圖象關于點成中心對稱以及函數(shù)的周

8、期為，由函數(shù)為奇函數(shù)得出，并由周期性得出，然后作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，列舉前個交點的橫坐標，結合第個交點的橫坐標得出實數(shù)的取值范圍【詳解】由可知函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，且，所以，所以，函數(shù)的周期為，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：，則，于是得出，由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上從左到右個交點的橫坐標分別為、，第個交點的橫坐標為，因此，實數(shù)的取值范圍是，故選A2.已知函數(shù)是定義域為R的函數(shù)，對任意，均有，已知a，b為關于x的方程的兩個解，則關于t的不等式的解集為（）ABCD【答案】D【分析】由題可得函數(shù)關于點對稱，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，進而可得，利用函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳

9、解】由，得且函數(shù)關于點對稱由對任意，均有，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增又因為函數(shù)的定義域為R，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增因為a，b為關于x的方程的兩個解，所以，解得，且，即又，令，則，則由，得，所以綜上，t 的取值范圍是.故選：D3.已知函數(shù)圖像與函數(shù)圖像的交點為，則（）A20B15C10D5【答案】A【分析】分析函數(shù)，的性質(zhì)，再探求它們的圖象交點個數(shù)，利用性質(zhì)計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為，其圖象是4條曲線組成，在區(qū)間，上都單調(diào)遞減，當時，當或時，取一切實數(shù)，當時，即的圖象關于點對稱，函數(shù)定義域為R，在R上單調(diào)遞增，值域為，其圖象夾在二平行直線之間，的圖象關于點對稱，因此，函數(shù)的圖象與的圖象有4個交點，

10、即，它們關于點對稱，不妨令點與相互對稱，與相互對稱，則，所以.故選：A【題型三】“廣義偶函數(shù)”：豎直對稱軸【典例分析】已知函數(shù)在區(qū)間的值域為，則（ ）A2B4C6D8【答案】C【詳解】解： 在上為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，是將上述函數(shù)圖象向右平移2個單位，并向上平移3個單位得到，所以圖象關于對稱，則，故選.【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)對于定義域內(nèi)任意實數(shù)滿足，則函數(shù)關于直線對稱，特別地當時，函數(shù)關于直線對稱；【變式演練】1.已知函數(shù)，下面是關于此函數(shù)的有關命題，其中正確的有函數(shù)是周期函數(shù)；函數(shù)既有最大值又有最小值；函數(shù)的定義域為，且其圖象有對稱軸；對于任意的，（是函數(shù)的導函數(shù)）ABCD【答案】A【

11、詳解】函數(shù)定義域為，當或時，又，時，且均為變號零點.又因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關于直線對稱，函數(shù)圖像如下圖，故正確.2.定義域為R的函數(shù)滿足：對任意，都有；函數(shù)的圖象關于y軸對稱.若實數(shù)s，t滿足，則當時，的取值范圍為（）ABCD【答案】A【分析】現(xiàn)根據(jù)題目對函數(shù)性質(zhì)的描述得出函數(shù)是關于軸對稱，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而得到，去絕對值得到不等式組，利用線性規(guī)劃求解即可.【詳解】由題，由條件結合單調(diào)性定義可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由條件可知，函數(shù)向左平移2個單位關于y軸對稱則說明關于軸對稱；所以是關于軸對稱，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的函數(shù)；若實數(shù)s，t滿足，結合圖像，則說明橫坐標距離越近，函數(shù)值

12、就越?。凰钥傻藐P于實數(shù)s，t的不等式，兩邊平方得所以得：或；令,畫出不等式組可行域：聯(lián)立方程組得點；，令，由此的范圍可看作點A與B，C兩點連線斜率的范圍，即，所以。所以故選：A3.已知函數(shù)，則使得不等式成立的t的取值范圍為（）ABCD【答案】D【分析】判斷函數(shù)的圖象的對稱軸以及函數(shù)的單調(diào)性，由此列出相應的不等式，解得答案.【詳解】函數(shù)的圖象 關于直線對稱，函數(shù) 的圖象也關于直線對稱，故函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù) 單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故由不等式成立可得： ，整理得： 且 ，故 且，故選：D【題型四】奇偶性與周期性【典例分析】定義在上的奇函數(shù)滿足，當時

13、，.若在區(qū)間上，存在個不同的整數(shù)，滿足，則的最小值為A15B16C17D18【答案】D【詳解】定義在上的奇函數(shù)滿足，得 即 則 的周期為8函數(shù)的圖形如下：比如，當不同整數(shù) 分別為-1，1，2，5，7時， 取最小值， ，至少需要二又四分一個周期，則b-a的最小值為18，故選D【提分秘籍】基本規(guī)律若 可知函數(shù)的周期，關于對稱中心與對稱軸構造周期的經(jīng)驗結論1.若函數(shù)有兩個對稱中心（a，0）與（b，0），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函數(shù)有兩條對稱軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函數(shù)有一個對稱中心（a，0）與一條對稱軸x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=4

14、|a-b|?！咀兪窖菥殹?.黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學家波恩哈德黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用，其定義為：，若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意x都有，當時，則（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及周期性結合黎曼函數(shù)的解析式即可求解.【詳解】由，可得的周期為4，又是定義在R上的偶函數(shù)，則，則.故選：D.2.已知函數(shù)對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意的，當時，都有，則下列結論正確的是（）ABCD【答案】C【分析】分析奇偶性，分析周期性，由分析單調(diào)性，結合題意選出答案.【詳解】因為的圖象關于直線對稱，所以向左平移一個單位關于直線對稱，所以關于直線（軸）對

15、稱，所以是偶函數(shù)，所以，又因為，令得：，所以，所以，所以。所以周期為4，當時，都有，所以，所以在單調(diào)遞增，所以草圖如下：由圖像可得：且。所以。所以選項C。.故選: C.3.若函數(shù)滿足對都有，且為R上的奇函數(shù)，當時，則集合中的元素個數(shù)為（）A11B12C13D14【答案】C【分析】根據(jù)已知可推出函數(shù)周期性，單調(diào)性以及函數(shù)值情況，由此可作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題解決.【詳解】由為R上的奇函數(shù),，又 ，由為周期為2的周期函數(shù),而又，當時當時,又當時，單調(diào)遞增，且故可作出函數(shù) 的大致圖象如圖：而集合A中的元素個數(shù)為函數(shù)與圖象交點的個數(shù)，由以上分析結合函數(shù)性質(zhì)可知，3為集合A中的一個

16、元素，且y=f（x）與在（1，3），（3，5），.，（23，25）中各有一個交點，集合中的元素個數(shù)為13故選：C【題型五】奇偶性與零點【典例分析】設函數(shù)為定義域為R的奇函數(shù)，且，當 時，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為A6B7C13D14【答案】A【詳解】由題意，函數(shù)，則，可得，即函數(shù)的周期為4，且的圖象關于直線對稱在區(qū)間上的零點，即方程的零點，分別畫與的函數(shù)圖象，兩個函數(shù)的圖象都關于直線對稱，方程的零點關于直線對稱，由圖象可知交點個數(shù)為6個，可得所有零點的和為6，故選A【提分秘籍】基本規(guī)律利用函數(shù)性質(zhì)，推導出中心對稱，軸對稱等等函數(shù)圖像特征性質(zhì),因而函數(shù)的零點也可以對稱性來研究計算。【變式演練

17、】1.定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，.則函數(shù)的所有零點之和為（）A7B14C21D28【答案】B【分析】根據(jù)分析得到是周期為4的周期函數(shù)，且關于點對稱，函數(shù)的所有零點之和即為函數(shù)與的圖像的交點的橫坐標之和，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合求出答案.【詳解】依題意，是奇函數(shù).又由知，的圖像關于對稱.，所以是周期為4的周期函數(shù).，所以關于點對稱.由于從而函數(shù)的所有零點之和即為函數(shù)與的圖像的交點的橫坐標之和.而函數(shù)的圖像也關于點對稱.畫出，的圖象如圖所示.由圖可知，共有7個交點，所以函數(shù)所有零點和為.故選：B2.已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當時，已知，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（）A4個B5個C3個或4個D4個或5

18、個【答案】D【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)和關系式轉(zhuǎn)化求出的關系式并利用單調(diào)性畫出簡圖，再利用數(shù)形結合思想根據(jù)的取值范圍求出零點個數(shù).【詳解】因為，所以的周期為2，又因為為奇函數(shù)，令，得，又，所以，當時，由單調(diào)遞減得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，得，作出函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知當過點時，此時在上只有3個零點.當經(jīng)過點時，此時有5個零點.當時，有4個零點.當經(jīng)過點時，此時有5個零點.當時，有4個零點.當經(jīng)過點時，此時在上只有3個零點.當時，有4個零點.所以當時，函數(shù)在上有4個或5個零點.故選：D3.設是定義在R上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當時，若在區(qū)間內(nèi)關于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（

19、）ABCD【答案】D【分析】把方程恰有3個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化成在區(qū)間內(nèi)函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，數(shù)形結合去解決即可.【詳解】由題意可得，函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)根據(jù)，畫出內(nèi)的圖象如圖所示關于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則在區(qū)間內(nèi)函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個交點，則，解得故選：D【題型六】奇偶性與比大小【典例分析】已知定義在上的函數(shù)滿足函數(shù)的圖象關于直線對稱，且當 成立（是函數(shù)的導數(shù)），若，則的大小關系是ABCD【答案】A【詳解】令，則當，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，即為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，因此當，即為上單調(diào)遞減函數(shù)，因為，而，所以，選A.【提分秘籍】基本規(guī)律1.對于抽象函

20、數(shù)，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質(zhì)來“去除f（）外衣”比較大小。2.有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導等，尋找函數(shù)單調(diào)性對稱性，以用于比較大小【變式演練】1.已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，則a，b，c的大小關系是（）ABCD【答案】B【分析】構造函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義得函數(shù)是奇函數(shù)，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結合，再利用單調(diào)性比較大小得結論.【詳解】因為函數(shù)滿足，且在上是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，令，則是奇函數(shù)，且在上是連續(xù)函數(shù)，則，因為當時，成立，即，所以在上單調(diào)遞減，又因為在上是連續(xù)函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則，因為，所以，所以，故選：B.2.已知函數(shù)，若不相等的

21、實數(shù)，成等比數(shù)列，則、的大小關系為（）ABCD【答案】D【分析】本題利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性求得函數(shù)的值域，然后利用均值不等式判斷與的大小關系從而進行判斷【詳解】，均為偶函數(shù)，故函數(shù)為偶函數(shù)，令，故單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，在恒成立，故在函數(shù)遞增，且，故函數(shù)在遞減，在遞增，且函數(shù)恒成立，成等比數(shù)列，當，均為正數(shù)時，由均值不等式有：，當，均為負數(shù)時，由均值不等式有：，由有：，又，互不相等，故，故，故選：D3.已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，且當，成立，若，則（）ABCD【答案】D【分析】先得到為偶函數(shù)，再構造函數(shù)，利用題目條件判斷單調(diào)性，進而得出大小關系.【詳解】函數(shù)的圖像關于直線對稱，可知函數(shù)的圖

22、像關于直線對稱，即為偶函數(shù)，構造，當，故在上單調(diào)遞減，且易知為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，由，所以.故選：D.【題型七】奇偶性與導數(shù)【典例分析】已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】構造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式轉(zhuǎn)化為，即，再利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】，令，則，可得是奇函數(shù)，又，又利用基本不等式知當且僅當，即時等號成立；當且僅當，即時等號成立；故，可得是單調(diào)增函數(shù)，由得，即，即對恒成立.當時顯然成立；當時，需，得，綜上可得，故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律解函數(shù)不等式：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為的模型；（2）判斷的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

23、將“”脫掉，得到具體的不等式組來求解，但注意奇偶函數(shù)的區(qū)別【變式演練】1.已知偶函數(shù)的定義域為R，導函數(shù)為，若對任意，都有恒成立，則下列結論正確的是（）ABCD【答案】C【分析】令，結合條件可判斷出在上單調(diào)遞增，且函數(shù)為偶函數(shù)，進而可得.【詳解】令，則，則A錯誤；令，則，當時，由，則在上單調(diào)遞增，又因為偶函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故B錯誤；，故C正確；由題意，不妨假設(c為常數(shù))符合題意，此時，故D錯誤.故選：C.2.已知可導函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)當時，則不等式的解集為（）ABCD【答案】D【分析】構造函數(shù)，并依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去求解不等式的解集.【詳解】當時，則則函數(shù)在上單調(diào)遞

24、增，又可導函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則是上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，由，可得，則，則時，不等式可化為又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則有，解之得故選：D3.已知定義在R上的可導函數(shù)，對，都有，當時，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】令，由已知得在區(qū)間單調(diào)遞減， 為偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，由此可將不等式等價轉(zhuǎn)化為，求解即可.【詳解】解：令，則當時，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，又，所以為偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，又，即，所以，即，得或，故選：C.【題型八】奇偶性與求參【典例分析】定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，若關于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個，則實數(shù)m的取值范圍為（）ABCD【答案】C【分析

25、】根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)數(shù)形結合解題即可.【詳解】因為定義在R上的偶函數(shù)滿足，所以，從而函數(shù)的周期為4，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)的示意圖，關于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個，從而滿足 ，解得實數(shù)m的取值范圍為.故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律利用奇偶性和單調(diào)性，解決恒成立或者存在型求參常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；【變式演練】1.設是定義在上的偶函數(shù)，且，當時，若在區(qū)間內(nèi)關于的方程（且）有且只有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】求得函數(shù)是周期函數(shù)，且周期，依題意，只需使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上有5個交點

26、即可.在同一坐標系中分別作出與的圖象，數(shù)形結合可得結果.【詳解】因為是上的偶函數(shù)，所以，對，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期.，依題意，只需使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上有5個交點即可.在同一坐標系中分別作出與的圖象，由圖可知，實數(shù)滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B.2.已知定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，且對于任意的都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】A【分析】先由函數(shù)的性質(zhì)分析出函數(shù)在上單調(diào)遞減，然后將轉(zhuǎn)化為，得，參變分離得對任意的恒成立，再用換元法求的最大值，得到的范圍.【詳解】解：由定義在上的奇函數(shù)在上是減函數(shù)，得在上是減函數(shù)所以所以，即對任意的恒成立記，則所以因為，當且僅當

27、時取等號所以當?shù)淖畲笾禐樗?故選A.3.已知偶函數(shù)的定義域為，對，且當時，若函數(shù)在上恰有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】本題首先可令，求出以及函數(shù)的周期為2，然后根據(jù)題意得出的圖像與有6個不同的交點，最后畫出函數(shù)和函數(shù)的圖像，結合圖像并計算即可得出結果.【詳解】令，則，即，故，即函數(shù)的周期為2，因為恰有6個零點，當時，所以，的圖像與有6個不同的交點，因為和均為偶函數(shù)且，所以的圖像與在上有三個不同的交點，畫出函數(shù)和的圖像如下圖所示，由圖可知：則，即，解得，故選：B【題型九】抽象函數(shù)與奇偶性【典例分析】已知函數(shù)的定義域為，值域為， 函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）若，則；（2）

28、若，則.下列結論正確是（）函數(shù)可能是奇函數(shù)；函數(shù)可能是周期函數(shù)；存在，使得；對任意，都有.ABCD【答案】B【分析】利用函數(shù)奇偶性、周期性的定義以及函數(shù)所滿足的兩個性質(zhì)對逐一分析可解.【詳解】解：對：若為奇函數(shù)，則.令，由（2）知，而與（1）矛盾，所以錯誤.對：若為周期函數(shù)，則(其中為非零常數(shù))，當（比如）值域時，令，則（1）成立；（2）也成立，故正確.對：由可知，存在，使為任意非零常數(shù)，所以可使，故正確.對：令，則由（1）知，從而，所以，所以正確.故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律涉及到抽象型題，一般要用到奇偶性和對稱性，周期性，單調(diào)性，對學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力要求較高，試

29、題綜合度高，沒有固定的方法，較難【變式演練】1已知f（x）是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f（1）1，當a，b1，1，且a+b0時，（a+b）（f（a）+f（b）0成立，若f（x）m22tm+1對任意的t1，1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A（，2）0（2，+）B（，2）（2，+）C（2，2）D（2，0）（0，2）【答案】B先利用函數(shù)的奇偶性將已知不等式化為：時，根據(jù)增函數(shù)的定義推得函數(shù)在上是增函數(shù)，從而求得最大值為，然后將已知不等式先對恒成立，再對恒成立，就可以求出的范圍【詳解】解：因為f（x）是定義在1，1上的奇函數(shù)，當a，b1，1，且a+b0時，（a+b）（f（a）+f（b）0成立，所以將

30、換為，可得，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以f（x）m22tm+1對任意的t1，1恒成立，等價于，即對任意的t1，1恒成立，令，則，即，解得或，故選：B2.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則_.【答案】10【分析】由已知得到函數(shù)是關于點對稱，函數(shù)經(jīng)過化簡也關于對稱，由此可知兩個函數(shù)的交點就關于對稱，根據(jù)點的對稱性，就可以得到的值.【詳解】因為函數(shù)滿足，即滿足，所以是關于點對稱，函數(shù)關于點對稱，所以函數(shù)與圖像的交點也關于點對稱，故交點成對出現(xiàn)，且每一對點都關于對稱，故.故答案為：10.【題型十】中心對稱應用：倒序求和【典例分析】已知函數(shù)為定義域R上的奇函數(shù)，且在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)，數(shù)列

31、為等差數(shù)列，且公差不為0，若，則A45B15C10D0【答案】A【分析】設，則可得，結合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，再利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，分類討論的值與的關系，即可計算得出【詳解】因為函數(shù)為定義域R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象點關于對稱設，由可得，即而，故因為函數(shù)的圖象可看成奇函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，所以，函數(shù)在上遞增，且關于點對稱，即因為，若，則，若，則，即，同理可得，與題意矛盾，不符舍去；若，同上可得，與題意矛盾，不符舍去故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律倒序求和的數(shù)學思想是中心對稱?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù)，若，其中，則的最小值為ABCD【答案】A通過函數(shù)解析式可推得，再利用倒序相加法求得，

32、得到的值，然后對分類討論利用基本不等式求最值即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，令則所以所以，所以，其中，則.當時當且僅當 即 時等號成立；當時 ，當且僅當 即 時等號成立；因為，所以的最小值為.故選：A.2.設函數(shù)是的導數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（ ）A2021BC2022D【答案】B【分析】通過條件，先確定函數(shù)圖象的對稱中心點，進而根據(jù)對稱性求出函數(shù)值的和.【詳解】由，可得，令，得，又，所以對稱中心為，所以，.所以故選：B.3.已知函數(shù)滿足，與函數(shù)圖象的交點為，則=A0BCD【答案】B【分析】由題意知函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象都關于直線對稱，

33、可知它們的交點也關于直線對稱，于此可得出的值【詳解】設，由于，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，且函數(shù)的圖象也關于直線對稱，所以，函數(shù)與函數(shù)的交點也關于直線對稱，所以，令，則，所以，因此，故選B.二 1已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，則該函數(shù)在上的圖像大致是ABCD【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的知識確定正確選項.【詳解】當時，所以在上遞減，是偶函數(shù)，所以在上遞增.注意到，所以B選項符合.故選：B2已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有成立，則函數(shù)一定是（）A奇函數(shù)B偶函數(shù)C增函數(shù)D減函數(shù)【答案】C【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.【詳解】對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有成立，等價于

34、對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有.所以函數(shù)一定是增函數(shù).故選：C3已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，那么的值是（）ABC1D3【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，當時，.故選：A.4函數(shù)的圖像大致為（）ABCD【答案】B【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當時，排除D，即可得解.【詳解】設，則函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除AC；當時， ，所以，排除D.故選：B.5已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）ABCD【答案】B【分析】推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)

35、為奇函數(shù)，則，所以，所以，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.6設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，若，則（）ABCD【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案【詳解】因為是奇函數(shù)，所以；因為是偶函數(shù)，所以令，由得：，由得：，因為，所以，令，由得：，所以思路一：從定義入手所以思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期所以故選：D7設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（）ABCD【答案】C【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，

36、而，故.故選：C.8已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則ABCD【答案】D【分析】由，得到函數(shù)的周期是8，然后利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系進行判斷大小.【詳解】因為滿足，所以，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則.由是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，得.因為在區(qū)間上是增函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即.9定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)記為，則可能為A0B1C3D5【答案】D【詳解】定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個正周期，則可能為5，選D10若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)

37、=0，則滿足的x的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應自變量不等式，最后求并集得結果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，所以當時，當時，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.11設函數(shù)，則f(x)（）A是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增B是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當時，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當時，利用復合函數(shù)單調(diào)性可判

38、斷出單調(diào)遞減，從而得到結果.【詳解】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當時，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.12已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù), 且在區(qū)間單調(diào)遞增. 若實數(shù)a滿足, 則a的取值范圍是ABCD【答案】C【詳解】試題分析：函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，等價為），即函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增，）等價為即，解得,故選項為C13若定義在上的函數(shù)滿足：對任意有則下列說法一定正確的是A為奇函數(shù)B為偶函數(shù)C為奇函數(shù)D為偶函數(shù)【答案】C【詳解】

39、x1=x2=0，則，令x1=x，x2=-x，則，所以，即，為奇函數(shù)，故選C.三1.已知正方形的四個頂點都在函數(shù)圖象上，且函數(shù)圖象上的點都滿足，則這樣的正方形最多有（）A1個B2個C3個D4個【答案】B【分析】設，得到，根據(jù)的奇偶性，得到，得到，設對角線所在的直線為，聯(lián)立方程組求得，結合，得到，令，求得的值，即可求解.【詳解】設函數(shù)，則函數(shù)是上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，可得，所以，所以，即，其對稱中心為原點，所以正方形的中心為原點，設正方形的對角線所在的直線為，由，整理得，所以，同理可得，由，可得，即，令，則，所以或，所以這樣的正方形最多有2個故選：B.2.已知是定義域為R的偶函數(shù)，f(5.5)

40、2，g(x)(x1).若g(x1)是偶函數(shù)，則()A3B2C2D3【答案】D【分析】根據(jù)g(x1)得到g(x)關于x1對稱，得到，結合g(x)(x1)和f(x)為偶函數(shù)即可得f(x)周期為4，故可求出f(2.5)2，則即可求值【詳解】為偶函數(shù)，則關于對稱，即，即，即，關于對稱，又f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，即f(x4)f(x)，周期為，.故選：D.3.已知函數(shù)，其中，則（）A在上單調(diào)遞增B在上單調(diào)遞減C曲線是軸對稱圖形D曲線是中心對稱圖形【答案】C【分析】由解析式易得且定義域為且即可判斷C；對求導，并討論、研究在上的符號判斷A、B；根據(jù)是否為

41、定值判斷D.【詳解】由題設，定義域為且，所以關于對稱，C正確；又，當時，不妨假設，則，顯然，此時在上有遞減區(qū)間，A錯誤；當時，在上，即在上遞增，B錯誤；由，不可能為定值，故D錯誤.故選：C4.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，都有不等式成立，若，則a，b，c的大小關系是（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)條件構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行比較即可【詳解】當時不等式成立，在上是減函數(shù)則，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，則，在上是減函數(shù)，則，故選：A5.函數(shù)的大致圖象為（）ABCD【答案】A【分析】定義法可判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再判斷與3的大小關系，進而確

42、定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，排除CD；又，所以排除B；故選：A6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且為奇函數(shù).若，則曲線在點處的切線方程為（）ABCD【答案】D【分析】由題可得函數(shù)的周期為4，可求，利用可得，可求，即得切線方程.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，函數(shù)的周期為4，令可得即，由得，又，曲線在點處的切線方程為即.故選：D.7.偶函數(shù)滿足，當時，不等式在上有且只有200個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到的周期，利用導數(shù)可得的單調(diào)性，即可作出的圖象，根據(jù)周期性、對稱性可得在內(nèi)有4個整數(shù)解，分別討論、和三種情況下在一個周期內(nèi)有

43、整數(shù)解的個數(shù)，綜合分析，即可得答案.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，所以所以是周期函數(shù)，且周期為8，且關于對稱，又當時，則，令，解得，所以當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)，作出一個周期內(nèi)圖象，如圖所示：因為為偶函數(shù)，且不等式在上有且只有200個整數(shù)解，所以不等式在內(nèi)有100個整數(shù)解，因為周期為8，所以在內(nèi)有25個周期，所以在一個周期內(nèi)有4個整數(shù)解，（1）若，由，可得或，由圖象可得有7個整數(shù)解，無整數(shù)解，不符合題意；（2）若，則，由圖象可得，不滿足題意；（3）若，由，可得 或，由圖象可得在一個周期內(nèi)無整數(shù)解，不符合題意，所以在一個周期內(nèi)有4個整數(shù)解，因為在內(nèi)關于對稱，所以在內(nèi)有2個整數(shù)解，因為，所以在

44、的整數(shù)解為和，所以，解得.故選：C8.設函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，已知，且，則使得成立的的取值范圍是（）ABCD【答案】C【分析】構造函數(shù)，求導分析單調(diào)性，由得出以函數(shù)對稱性，推出的對稱性，根據(jù)對稱點關系即可求解原不等式【詳解】令因為得，所以 故在上單調(diào)遞減，又因為，所以函數(shù)關于對稱，因為，所以關于點對稱，則點關于的對稱點為也在函數(shù)圖象上，則故，而由不等式得所以，又在上單調(diào)遞減，故 故選：C9.已知函數(shù)f(x)滿足：對任意xR，f(x)=f(x)，f(2x)=f(2+x)，且在區(qū)間0，2上，f(x)=+cosx1，m=f()，n=f(7)，t=f(10)，則（）AmntBnmtCmtnDntm【答案】B【分析】根據(jù)題意探究得到的周期為8，將都化到上對應的函數(shù)值，進而用單調(diào)性可得結果.【詳解】f(x)=f(x)，f(2x)=f(2+x)，f(x)為奇函數(shù)，且關于x=2對稱.將x換成x+2，則f(2(x+2)=f(2+x+2)，即f(x)=f(x+4)=f(x)，將x換成x+4，則f(x+8)=f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期為8， f（7）=f(81)=f(1)=f（1），f(10)=f(8+2