反比例函數(shù)難題拓展(含答案)

1、一分耕耘一分耕耘 一分收獲反比例函數(shù)經(jīng)典專題知識(shí)點(diǎn)回顧由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結(jié)合起來進(jìn)行考察。這種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可以較好地將知識(shí)與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題的四種類型歸納如下：一、利用反比例函數(shù)中Ikl的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題ky=設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN,垂足分別為M、N,則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=IPMIxlPNI=lylxlxl=lxylky=-*xy=k

2、故S=lkl從而得結(jié)論1：過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值lkl對(duì)于下列三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱性以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的面積的結(jié)論為：比|結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面積S=結(jié)論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2lkl結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=lkl例題講解【例1】如右圖，已知p1oa1，ap2a1a2都是等腰直角三角形，點(diǎn)Pp24都在函數(shù)y=（xo）的圖象上，斜邊OA1A1A2都在x軸上.則點(diǎn)A2的坐TOC o 1-5 h zx1122標(biāo)為.上伊變式訓(xùn)練1、如例1圖，已知P1OA1，P2A1A2，P3A2A3-Pn

3、An1An都是等腰直角三角形，點(diǎn)匕、11212323nn-1n14K、Pq卩都在函數(shù)y=（x0）的圖象上，斜邊OA、AA、AA-AA都在x軸上則23nx11223n-1n點(diǎn)A10的坐標(biāo)為2、已知點(diǎn)A(0,2)和點(diǎn)B(10,-2),點(diǎn)P在函數(shù)y=的圖像上，如果APAB的面積為6,x氐o(4,0)解：過作尸1閃丄x軸于閃,易晌(2,0)是的中點(diǎn),可得F的坐標(biāo)為2),o(4,0)解：過作尸1閃丄x軸于閃,易晌(2,0)是的中點(diǎn),可得F的坐標(biāo)為2),F卩的鰭析式為:y=x,F卩川陽F2，斜F2的克達(dá)式一歡項(xiàng)至敎相等,將斜(4?0)代Ay=K+b；MF2的克達(dá)式是尸X-4、與尸扌(x0)聯(lián)立，解得F2(

4、2+22,-2+22).仿上，唸包呵0)-P3(22+23,吃返+2屈)，扎3帆屈，0).依此類推，點(diǎn)啊0的坐標(biāo)是(4頂，0).故普案為：包頂，0).k【例2】如右圖，已知點(diǎn)(1,3)在函數(shù)y=(x0)的圖像上，矩形ABCD的邊BC在x軸xk上,E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，函數(shù)y=(k0)的圖象又經(jīng)過A,E兩點(diǎn)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)x為m，解答下列各題求k的值求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)(用m表示)當(dāng)ZABD=45。時(shí)，求m的值112冷變式訓(xùn)練21、已知：如圖，矩形ABCD的邊BC在x軸上，E是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，反比例函數(shù)y=x（x0）的圖象經(jīng)過A,E兩點(diǎn)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m.（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)（用m表示）（2）是否存

5、在實(shí)數(shù)m,使四邊形ABCD為正方形，若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（1）討E作EF丄蠻于F,ABC中，EF為其中位線，由三角形中位線定理可得AB=2EF,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)靳,且點(diǎn)比在反比例函數(shù)尸纟（x0）上,故扎點(diǎn)坐標(biāo)為（丄，2m）；他）根據(jù)題意，假設(shè)存在，且點(diǎn)E的坐標(biāo)呂，m）,ITlVAB=BC=2mj中垂BF=m,21.EF=BF,m=-,VAB=BC=2mj中垂BF=m,21.EF=BF,m=-,mmDBc（m,1）是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)A、當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，將反比例函數(shù)y=-的圖象沿y軸翻折，得到反比例函數(shù)y=O2、如圖1,矩形ABCD的邊BC在x軸的正半軸上，點(diǎn)E

6、-k1k-1的圖象（如圖2）,求k1的值;x1（3）直線y=-x上有一長為富2動(dòng)線段MN，作MH、NP都平行y軸交在條件（2）下，第一k一象限內(nèi)的雙曲線y=于點(diǎn)H、P,問四邊形MHPN能否為平行四邊形（如圖3）?若能，請(qǐng)求x出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由.解：門)如囹，過點(diǎn)E作EF解：門)如囹，過點(diǎn)E作EF丄旣于F,則EW1.點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn),F為EC的中點(diǎn)，EF為BCD的中位線，CD=2EF=2.V四邊形虹口是拒形，AB=UD=2；由知,AB=CD=2.V四邊形肛口是正方形，.BC=AB=2,/.BF=FC=1.E(.rTi?1.J?-F(m?U),B(m-l?0),A5一1,2)、

7、丁點(diǎn)從E在反比例函數(shù)尸號(hào)的圏象上，/.k=2(m-1)=mXl,解得m=點(diǎn)乩E在反比例函數(shù)尸|的圖象上.V將反比例函數(shù)尸纟的圖象沿湍翻折，得到反比例函數(shù)尸空的圏象，/ki=-2；四邊形冊晡總為平行四邊形.理由如下：過點(diǎn)H作HG丄HM于G,則ZMGN=90.丁勲、晦直y=-x上，ZMNG=45,.MG=NG,又640.MG二HG二1設(shè)M(aj-a)?則N(a+1j_a_l)MH.NP都平行蝸，且點(diǎn)H、F都在收曲線7=|的圖象上，MH/NF,當(dāng)旺HF時(shí)，四邊眈HPH為平行四邊形,-IO此時(shí)-+a=-+a+l5整理得討+a-2刃，解得E，a=-2(舍去).點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-1).故四邊開制皿哺總為

8、平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(B-1)【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(1,O),B(O,1),矩形OMPN的相鄰兩邊OM,ON分別在x,y軸的正半軸上，O為原點(diǎn)，線段AB與矩形OMPN的兩邊MP,NP的交點(diǎn)分別為E,F,AOFsBOE(頂點(diǎn)依次對(duì)應(yīng))求ZFOE；求證：矩形OPMN的頂點(diǎn)P必在某個(gè)反比例函數(shù)圖像上，并寫出該函數(shù)的解析式。冷變式訓(xùn)練如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+l分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(a，b)是1反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PM丄x軸于點(diǎn)M,PN丄y軸于2x點(diǎn)N，PM，PN分別交直線AB于E，F(xiàn),有下列結(jié)論：AF=BE；圖中的等腰直

9、角三角形有4解：VP(a,b),.0M=a!點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a,F的縱坐標(biāo)為b,殳E和F都在直y=-x+l上，點(diǎn)E(a,1-a),點(diǎn)F(1-b,b),即0肛a,EM=l-a)ON=b,NF=l-l.FE=FM-EM=b-(1-a)=a+b-l,FF=FlT-NF=a-(1-b)二a+bT,SAEOF=S拒形MONP-AEM0沁FNC1吒AEPF，=ab_-a(l-a)l_b)(a+b_l)=|(a+b-1),選項(xiàng)正確；EE=ja2+(l-l+a)2=aJ=,(l-l+b)2+b2=|2b!耽與AF不一定相等，選項(xiàng)錯(cuò)誤；T直線尸r+1分別交x軸軸于虹B兩點(diǎn)，令滬0,求出7=1，即B(0,1)；令y

10、=Ch求出滬1,即比(1,0),V0A=0B=l!且ZADB=90,即ADE為等腰直角三角形，VZBNF=90,ZNBF=45,為等腰直甬三角形，同理4FEF和AAEM都為等腰直角三角形，則圏中等腰三角形有4個(gè)，選項(xiàng)正確；AAOB為等腰直角三角形，ZFA0=ZEB0=45,丁點(diǎn)F(a?b)是曲線尸圭上一點(diǎn)，.2ab=l,即AfBE=,(2a,(2b=2ab=l,y-.-OAOBl,.AF=OA；麗-旋.AAOFcoABEO,ZAFO=ZBOE?又ZBOE=ZBOF+ZFOE!且ZAJOF=ZOBF+ZBOEZFOE=ZOBEJyZ0BE=45,則ZF0E=45,選項(xiàng)正確，綜上，正確選項(xiàng)的序號(hào)有

11、：W.故普案為：.【例4】已知：如右圖，已知反比例函數(shù)y=2-和一次函數(shù)y=2x-l，其中一次函數(shù)的圖像經(jīng)2x過(a,b),(a+1,b+k).求反比例函數(shù)的解析式；如圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；利用(2)的結(jié)果，請(qǐng)問：在x軸上是否存在點(diǎn)P,使AAOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由.冷變式訓(xùn)練k已知反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=2x-l,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(a,b),(a+k,b+k+2)2X兩點(diǎn).求反比例函數(shù)的解析式；求反比例函數(shù)與一次函數(shù)兩個(gè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：k根據(jù)函數(shù)圖象，求不等式2x-l的解集；2X在(2)的條件下，x軸上是否存在點(diǎn)P,使AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：(1)次函數(shù)的圖象經(jīng)過(a,b)；(a+k,b+k2)兩點(diǎn),/.b=2a-l,2a+2k