初等量子力學(xué)表象的若干問(wèn)題

1、第四章思考題1如何用矩陣表示量子態(tài)與力學(xué)量，并說(shuō)明理由 解答: 矩陣表示一般用于本征值為分立譜的表象（相應(yīng)希爾伯特空間 的維數(shù)是可數(shù)的）。具體說(shuō)，如果力學(xué)量A的本征函數(shù)為p ,p，* ,12n相應(yīng)本征值為A , A，A。任意態(tài)矢屮可展開(kāi)為12n屮二Y a屮n nn態(tài)矢屮在A表象的表示為展開(kāi)系數(shù)a 組成的一列矩陣n（a ）1a2匕丿I2,n其意義是：在屮態(tài)中，力學(xué)量A取值A(chǔ)的幾率為|a I2,n函數(shù)的意義相類似。力學(xué)量用厄密矩陣表示(A11A21A12(A11A21A12A22A )InA2nA = (P , AP )ij i jI An1An2Ann 丿nn可見(jiàn)列矩陣與方陣維數(shù)與希爾伯特空間維

2、數(shù)相同。用矩陣表示力學(xué)量，理由如下：1）可以反映力學(xué)量作用一個(gè)量子態(tài)而得到另一個(gè)量子態(tài)的事頭。設(shè) p 頭。設(shè) p (x) = A 屮(x)，則(b )r aAA )r a )i11121n1bAA Aa2=21222 n2n、AnlAn2 A丿nna丿n簡(jiǎn)記為b二Aa ；2）矩陣乘法一般不滿足交換律，這恰好能滿足兩個(gè)力學(xué)量一般不對(duì)易的要求；(3)厄密矩陣的性質(zhì)能體現(xiàn)力學(xué)量算符的厄密性。2算符(力學(xué)量)在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?解答：力學(xué)量本征值是分立譜時(shí)，它在其自身表象中的表示是對(duì)角化 的，對(duì)角元素就是它的本征值1本征矢為單一元素列矩陣(1 00、1p1=:p2=:0丿0丿3已知

3、一維諧振子在坐標(biāo)表象的能量本征函數(shù)屮(x)，不用計(jì)算，直n接寫(xiě)出其在動(dòng)量表象的能量本征函數(shù)屮(p)。n解答：一維諧振子的哈密頓量為1 I1 1I1H =p2 + (a 2方x)2= m2 P 2方p)2 + X22m2其中 a = . m /力P二v1/可見(jiàn)，h對(duì)于x和p是對(duì)稱的，差別在于a和p不同，因而，p (p,p)和屮(a,x)的形式應(yīng)當(dāng)完n全一樣。已知 屮(a, x) = N e-a2x2/2H (ax)N = a /2nn!j兀i/2nnnn故有 p (P,p) = N e-P2p2/2H (Pp)N = P/2nn!元i/2nnnn4量子力學(xué)繪景中表象和繪景的含義有何不同？答：繪景

4、(picture )是指描述量子體系雖時(shí)間變化的公式。量子力學(xué) 中，波函數(shù)屮與力學(xué)量F都是不能只接測(cè)量的。能與實(shí)測(cè)比較的量 子力學(xué)量在屮態(tài)的平均值F， F二(屮,F屮)既與算符F有關(guān)又與波函 數(shù)屮有關(guān)。量子體系在運(yùn)動(dòng)中，F(xiàn)(t)的隨時(shí)變化是完全由于屮(t)或 F (t)還是兩者都依時(shí)變化？在理論上可有不同但等效的描繪方式。 即有不同的繪景：如常用的薛定諤繪景，海森伯繪景 量子力學(xué)體系中的量子態(tài)由希爾伯空間中一個(gè)矢量來(lái)描繪，量子力 學(xué)由作用于此空間上的厄米算符來(lái)表示。同一個(gè)態(tài)或力學(xué)量可以有 不同的表象(representation)表象是態(tài)和力學(xué)量的具體表示方法，是指在希爾伯空間中對(duì)坐 標(biāo)的選擇

5、。也就是對(duì)作為基矢的完備正交歸一本征矢系的選擇。選 用不同坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)用于采用不同的表象。顯然，每一繪景中，可取各種表象如位置表象，動(dòng)量表象等。 對(duì)一具體問(wèn)題，用什么繪景，又選用什么表象，由如何才便于 求解而定。在量子力學(xué)基礎(chǔ)教材中，通常使用的是薛定諤繪景中的位置表 象有時(shí)被簡(jiǎn)稱為薛定諤表象。繪景與表象是兩個(gè)不同的概念，在早期的國(guó)外量子力學(xué)教材中經(jīng)常 混用，近期的教材都已加以明確區(qū)分。5坐標(biāo)和動(dòng)量作為算符，在能量表象中有確定的表示式嗎？ 答：坐標(biāo)與動(dòng)量算符在能量表象中沒(méi)有確定的表示式，因?yàn)槟芰勘?象不是一種確定的表象。不同體系因其哈密頓量H不同，各有自己 的能量表象。它們的的矩陣元取決于能量的本

6、征函數(shù)，而能量本征 函數(shù)又由外勢(shì)場(chǎng)決定。6力學(xué)量的矩陣對(duì)角化含義是什么？答：如果力學(xué)量F的矩陣F是非對(duì)角矩陣，則說(shuō)明不是在其自身表 象中的表示,而是在某個(gè)其他表象G中的表示（表象G以力學(xué)量G的 本征矢為基矢）所謂將矩陣對(duì)角化，也就是將F轉(zhuǎn)換到起自身的表 象中來(lái)，這樣做的目的是求矩陣的本征值。7有人認(rèn)為：粒子數(shù)確定，能量也就確定。因此，能量表象與粒 子數(shù)表象是一回事？對(duì)不對(duì)？答：有的書(shū)將一維諧振子的能量表象成為粒子粒表象或占有數(shù)表 象。那不是因?yàn)椤傲Ｗ訑?shù)確定、能量也確定”，一維諧振子只有一個(gè) 粒子，談不上粒子數(shù)，所以有此稱呼是因?yàn)榻窈罂梢杂么吮硐笱芯?多光子系統(tǒng)。所謂粒子數(shù)是指那時(shí)的光子數(shù)。8狄

7、拉克符號(hào)中，引入了右矢| ，為什么又引入左矢，右矢和 左矢能夠相加嗎？解答：在量子力學(xué)中，態(tài)空間是具有內(nèi)積的矢量空間，類似于希爾伯 特空間波函數(shù)申和屮的內(nèi)積(Q，屮)叩dT，|申和|屮的內(nèi)積記為 ，)+ =九|屮如” 是F的本征矢，則 屮 | F = F n |的物理意義是什么？公式工| n. 方向的投影矢量，P | A=| n = A l n ； 且nnP 2 =| n nnnn是投影數(shù)值。公式工| n. 組成正交、歸n一、完備系，任意態(tài)矢均可按n 唯一展開(kāi)| A =工 A | n =工 | n ， 由 于 | A 為 任 意 態(tài) 矢 ， 故 得 到n工P二Y|nn|二1，此式可作為完全集的定義式，稱為封閉性關(guān)系。nnn10.若總哈密頓量H在H0表象中為非對(duì)角矩陣，物理上意味著什么？ 若H在H 0表象中為對(duì)角矩陣，又意味著什么？