《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件

1、隨機(jī)事件與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社012022/9/27隨機(jī)事件與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件目錄/Contents1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算一、隨機(jī)試驗(yàn)二、樣本空間三、隨機(jī)事件四、隨機(jī)事件間的關(guān)系和運(yùn)算目錄/Contents1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算一、隨機(jī)試驗(yàn)二、一、隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別試驗(yàn)中呈現(xiàn)不確定的結(jié)果, 而在大量重復(fù)試驗(yàn)中結(jié)果呈現(xiàn)某種規(guī)律

2、性的現(xiàn)象.這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科.為了研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性, 就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察, 這個(gè)過程叫做試驗(yàn).概率論所討論的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn), 它具有以下三個(gè)特點(diǎn):在相同的條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行;01OPTION02OPTION03OPTION每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè), 但是試驗(yàn)之前可以明確;每次試驗(yàn)將要發(fā)生什么樣的結(jié)果是事先無法預(yù)知的.一、隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)現(xiàn)象在個(gè)別試驗(yàn)中呈現(xiàn)不確定的結(jié)果, 而一、隨機(jī)試驗(yàn)例1拋擲一枚均勻的硬幣，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； 隨機(jī)試驗(yàn)的例子42拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；某快餐店一天內(nèi)接到的訂單量；航班起飛延誤

3、的時(shí)間；一支正常交易的A股股票每天的漲跌幅。一、隨機(jī)試驗(yàn)例1拋擲一枚均勻的硬幣，有可能正面朝上，也有可能二、樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間, 記為 , 也即樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)的一切可能結(jié)果組成的集合, 集合中的元素就是樣本點(diǎn).樣本空間可以是有限集, 可數(shù)集, 一個(gè)區(qū)間（或若干區(qū)間的并集）.一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，記為二、樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間, 記為 這些在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的一類結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件. 從集合的角度: 一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集稱為一個(gè)隨機(jī)事件. 用大寫字母 等來表示隨機(jī)事件.三、隨機(jī)事件同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)

4、系 & 人民郵電出版社這些在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的一類結(jié)果稱為隨機(jī)事件僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件.三、隨機(jī)事件在事件的定義中，注意以下幾個(gè)概念：每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件稱為必然事件. 包含所有的樣本點(diǎn), 因此每次試驗(yàn)中必有 中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn), 故 是必然事件.每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件.空集 中不包含任何樣本點(diǎn), 因此是不可能事件.01OPTION任一隨機(jī)事件A是樣本空間 的一個(gè)子集。02OPTION03OPTION當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果 屬于該子集時(shí)，就說事件A發(fā)生了。相反地，如果試驗(yàn)結(jié)果 不屬于該子集，就說事件A沒有發(fā)生。04OPTION05OPTION同濟(jì)大學(xué)

5、數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件.三、隨機(jī)事件在事件的定三、隨機(jī)事件例 2拋擲一枚均勻的骰子的樣本空間為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、隨機(jī)事件例 2拋擲一枚均勻的骰子的樣本空間為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)（1）事件的包含1、隨機(jī)事件之間的關(guān)系四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算 若事件 的發(fā)生必然導(dǎo)致事件 的發(fā)生, 則稱事件 包含在事件 中.記作 .同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社（1）事件的包含1、隨機(jī)事件之間的關(guān)系四、隨機(jī)事件之間的關(guān)系記作 .1、隨機(jī)事件之間的關(guān)系（2）事件的相等 若事件 的發(fā)生必然導(dǎo)致事件 的發(fā)生, 且事件 的發(fā)生必然導(dǎo)致事件 的發(fā)生, 則稱事件 與事

6、件 相等。 如果事件 與 不可能同時(shí)發(fā)生，即沒有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件 與 互不相容（互斥）.（3）互不相容事件同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社記作 .1、隨機(jī)事件之間的關(guān)系（2）事件2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算（1）事件的并 事件 或 至少有一個(gè)發(fā)生時(shí), 稱事件 與事件 的并事件發(fā)生, 記為 .（2）事件的交（積）事件 及事件 同時(shí)發(fā)生時(shí), 稱事件 與事件 的交事件發(fā)生, 記為 .事件的并事件的交同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算（1）事件的并 2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算（3）事件的差（4）對(duì)立事件 事件 發(fā)生且事件 不發(fā)生, 稱事件 與事件 的差事件發(fā)生, 記為 . 事件 稱

7、為事件 的對(duì)立事件（逆、余）, 記為 .同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算（3）事件的差（4）對(duì)立事件 2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算123同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社2、隨機(jī)事件之間的運(yùn)算123同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版3、事件的運(yùn)算性質(zhì)交換律結(jié)合律分配律對(duì)偶律同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社3、事件的運(yùn)算性質(zhì)交換律結(jié)合律分配律對(duì)偶律同濟(jì)大學(xué)數(shù)3、事件的運(yùn)算性質(zhì)例 3用事件 的運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件，則：1234567同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社3、事件的運(yùn)算性質(zhì)例 3用事件 目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其

8、性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件公理1 非負(fù)性 公理2 規(guī)范性1.2 概率的定義及其性質(zhì) 給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 為相應(yīng)的樣本空間, 對(duì)每一個(gè)事件 , 規(guī)定一個(gè)實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng), 且滿足如下公理：有公理3 可列可加性 即對(duì)任意一列兩兩互不相容事件則稱 為事件 的概率.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社公理1 非負(fù)性 公理2 規(guī)范性1.2 概率的定 由概率的三條公理，可以推導(dǎo)出概率的一些性質(zhì).性質(zhì)1 性質(zhì)2 有限可加性1.2 概率的定義及其性質(zhì) 設(shè) 為兩兩互不相容事件, 則有 性質(zhì)4 若 則性質(zhì)3 對(duì)任意事件 有

9、同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 由概率的三條公理，可以推導(dǎo)出概率的一些性質(zhì).性質(zhì)1 性質(zhì)5 設(shè) 為任意兩個(gè)事件, 則 性質(zhì)6 設(shè) 為任意兩個(gè)事件, 則 1.2 概率的定義及其性質(zhì)性質(zhì)7 稱為加法公式, 該公式可以推廣到多個(gè)事件上. 三個(gè)事件的加法公式為:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社性質(zhì)5 設(shè) 為任意兩個(gè)事件, 則 則， 至少發(fā)生一個(gè)的概率是多少？1.2 概率的定義及其性質(zhì)例 4已知三個(gè)隨機(jī)事件 滿足同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社則， 至少發(fā)生一個(gè)的概率是目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率

10、公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件目錄/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、幾何概型隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小常用區(qū)間 中的數(shù)值加以刻劃. 這個(gè)數(shù)值稱為概率, 記為 規(guī)定:目錄/Contents1.3等可能概型一、古典概型二、幾何概一、古典概型古典概型的基本思路:隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)；每次試驗(yàn)中各個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.AB記 為樣本點(diǎn)總數(shù), 為事件 所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，則事件 的概率為一、古典概型古典概型的基本思路:隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)解 而總?cè)》〝?shù)（即樣本點(diǎn)總數(shù)）為一、古典概型例 4（抽獎(jiǎng)問題） 某公司年會(huì)抽獎(jiǎng),

11、 共有 張獎(jiǎng)券, 其中只有一張有獎(jiǎng). 每位員工可抽取一張.求第 位員工中獎(jiǎng)的概率（ ）.不放回情形中，第 個(gè)員工抽到有獎(jiǎng)券意味著前 個(gè)員工均沒有抽到, 相應(yīng)的取法個(gè)數(shù)為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社解 而總?cè)》〝?shù)（即樣本點(diǎn)總數(shù)）為一、古典概型例 4（抽獎(jiǎng)問題這個(gè)結(jié)果和次序無關(guān).因此, 所求概率為一、古典概型同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社這個(gè)結(jié)果和次序無關(guān).因此, 所求概率為一、古典概型同濟(jì)大學(xué)二、幾何概型 是古典概型的推廣, 保留每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的等可能性，樣本空間放寬為無窮不可列個(gè)樣本點(diǎn)，一般地，設(shè)樣本空間 是某個(gè)區(qū)域 （直線、平面或空間）.則事件 的概率為這里 分別表示長度、面積或體

12、積.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、幾何概型 是古典概型的推廣, 保留每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生二、幾何概型例 5碰面問題 甲、乙兩人約定在中午的12時(shí)到13時(shí)在學(xué)?？Х任菖雒?，并約定先到者等候另一人10分鐘，過時(shí)即可離去.求兩人能碰面的概率.解 設(shè)甲到達(dá)咖啡屋的時(shí)間為 ,乙到達(dá)時(shí)間為 ，則 ,兩人能碰面的事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)橛覉D中帶形區(qū)域所求概率為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、幾何概型例 5碰面問題 甲、乙兩人約定在中午目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.11

13、.21.31.41.5隨機(jī)事件目錄/Contents1.4條件概率與事件的相互獨(dú)立性一、條件概率二、事件的相互獨(dú)立性目錄/Contents1.4條件概率與事件的相互獨(dú)立性一、條一、條件概率定義1給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 是它的樣本空間, 任意兩個(gè)事件 , 其中 , 稱為已知事件 發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的條件概率.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、條件概率定義1給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 是它的樣本空 條件概率也滿足概率的公理化定義的三條基本性質(zhì), 即:（1）公理1 非負(fù)性（2）公理2規(guī)范性（3）公理3 對(duì)可列無限個(gè)兩兩不相容事件可列可加性一、條件概率同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 條件概率也滿足概率

14、的公理化定義的三條基本性質(zhì), 即相仿可以得到如下性質(zhì):以及等類似七條性質(zhì).一、條件概率同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社相仿可以得到如下性質(zhì):以及等類似七條性質(zhì).一、條件概率同濟(jì)大變形后有 由條件概率公式: 當(dāng) （或 ）時(shí),有或或上式稱為概率的乘法公式.一、條件概率 乘法公式可推廣到多個(gè)事件上去, 例如,三個(gè)事件的乘法公式為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社變形后有 由條件概率公式: 當(dāng) 注意：相互獨(dú)立與互不相容有何區(qū)別?二、事件的相互獨(dú)立性稱兩個(gè)事件 是相互獨(dú)立的, 如果 上式等價(jià)于 獨(dú)立性的直觀意義是一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率.獨(dú)立性往往蘊(yùn)含在事物的內(nèi)部. 當(dāng) 時(shí).同濟(jì)大學(xué)數(shù)

15、學(xué)系 & 人民郵電出版社注意：相互獨(dú)立與互不相容有何區(qū)別?二、事件的相互獨(dú)立性稱兩個(gè)不難計(jì)算可見二、事件的相互獨(dú)立性例 6拋擲兩枚均勻硬幣2次, 則: 事件 與 是獨(dú)立的.解即事件 與 是獨(dú)立的.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社不難計(jì)算可見二、事件的相互獨(dú)立性例 6拋擲兩枚均勻硬幣2次,也相互獨(dú)立. 即有相應(yīng)可列出其它等式.定義2 若事件 獨(dú)立，則二、事件的相互獨(dú)立性同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社也相互獨(dú)立. 即有相應(yīng)可列出其它等式.定義2 若事件 三個(gè)等式都成立.定義3 稱事件組 是兩兩獨(dú)立的, 如果有二、事件的相互獨(dú)立性同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三個(gè)等式都成立.定義3 稱事件

16、組 四個(gè)等式都成立.二、事件的相互獨(dú)立性定義4 稱事件組 是相互獨(dú)立的, 如果有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四個(gè)等式都成立.二、事件的相互獨(dú)立性定義4 稱事件組 二、事件的相互獨(dú)立性獨(dú)立性的定義可推廣到 個(gè)事件上去. 特別地, 當(dāng)事件 相互獨(dú)立時(shí), 有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、事件的相互獨(dú)立性獨(dú)立性的定義可推廣到 個(gè)事件上去. 一個(gè)產(chǎn)品或一個(gè)元件、一個(gè)系統(tǒng)的可靠性可以用可靠度來刻劃. 所謂可靠度指的是產(chǎn)品能正常工作的概率. 以下討論中, 假定一個(gè)系統(tǒng)中的各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的.二、事件的相互獨(dú)立性例 7系統(tǒng)可靠性問題同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 一個(gè)產(chǎn)品或一個(gè)

17、元件、一個(gè)系統(tǒng)的可靠性可以用可靠度來刻 兩個(gè)基本模型:（1）串聯(lián)系統(tǒng)二、事件的相互獨(dú)立性元件的可靠度為 , 則系統(tǒng)的可靠度為設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由 個(gè)元件串聯(lián)而成, 第 個(gè)（2）并聯(lián)系統(tǒng) 設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由 個(gè)元件并聯(lián)而成, 第 個(gè)元件的可靠度為 , 則系統(tǒng)的可靠度為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 兩個(gè)基本模型:（1）串聯(lián)系統(tǒng)二、事件的相互獨(dú)立性元件目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其性質(zhì)等可能概型條件概率與事件的相互獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式目錄/Contents1.11.21.31.41.5隨機(jī)事件全概率公式與貝葉斯公式 設(shè) 為隨機(jī)試驗(yàn), 為相應(yīng)的樣本空

18、間, 為事件組, 若滿足（1）（2）則稱該事件組為完備事件組.完備事件組同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社全概率公式與貝葉斯公式 設(shè) 為隨機(jī)試驗(yàn), 定理1 全概率公式全概率公式與貝葉斯公式同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社定理1 全概率公式全概率公式與貝葉斯公式同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 &定理2 貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式當(dāng) 時(shí),貝葉斯公式是已知“結(jié)果”，推斷該“結(jié)果”由某“原因”發(fā)生的概率。原因A1原因A2原因An結(jié)果B 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社定理2 貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式當(dāng) 求（1）取到白球的概率；（2）已知取到的是白球，則這個(gè)白球?qū)儆诘诙€(gè)箱子的的概率。全概率公式與貝葉

19、斯公式例 8有三只箱子：第一個(gè)箱子中有四個(gè)黑球和一個(gè)白球；第二個(gè)箱子中有三個(gè)黑球和三個(gè)白球；第三個(gè)箱子中有三個(gè)黑球和五個(gè)白球。任取一箱, 再從中任取一個(gè)球.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社求（1）取到白球的概率；（2）已知取到的是白球，則這個(gè)白球?qū)偾矣秩怕使脚c貝葉斯公式解以 分別表示取到的是第 個(gè)箱子， 表示取到的是白球, 則事件組 構(gòu)成一個(gè)完備事件組. 所以, 由全概率公式得再由貝葉斯公式得同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社且又全概率公式與貝葉斯公式解以 全概率公式與貝葉斯公式例 9 某種疾病的患病率為0.1%，某項(xiàng)血液醫(yī)學(xué)檢查的誤診率為1%，即非患者中有1%的人驗(yàn)血結(jié)果為陽性. 患者

20、中有1%的人驗(yàn)血結(jié)果為陰性。 現(xiàn)知某人驗(yàn)血結(jié)果是陽性,求他確實(shí)患有該種疾病的概率. 以 表示驗(yàn)血結(jié)果為陽性, 表示該人患此疾病解因此所求概率為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社全概率公式與貝葉斯公式例 9 某種疾病的患病率為0.總結(jié)/summary兩個(gè)概念：隨機(jī)事件與概率基本理論：隨機(jī)事件的性質(zhì)與運(yùn)算 隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性與乘法公式幾類概率模型：等可能概型（包括古典概型、幾何概率） 條件概率 全概率公式；貝葉斯公式總結(jié)/summary兩個(gè)概念：隨機(jī)事件與概率謝謝觀賞概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社謝謝觀賞概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出隨機(jī)變量及其分布概率論與數(shù)

21、理統(tǒng)計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社02隨機(jī)變量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分目錄/Contents2.1隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定義二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、離散型隨機(jī)變量及其分布律四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)目錄/Contents2.1隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定 許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)密切聯(lián)系, 也有些隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果從表面上看并不與實(shí)數(shù)相聯(lián)系. 下面我們通過幾個(gè)例子來引入隨機(jī)變量

22、的概念.一、隨機(jī)變量的定義例 1 拋擲一顆均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) X的取值樣本空間=正面朝上, 反面朝上,樣本空間不是一個(gè)數(shù)集. 但是我們可以人為地把試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來.令同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)密切聯(lián)系, 也有些隨稱為是（一維）隨機(jī)變量. 引進(jìn)隨機(jī)變量后, 隨機(jī)事件及其概率可以通過隨機(jī)變量來表達(dá).一、隨機(jī)變量的定義定義1 在隨機(jī)試驗(yàn)E中, 是相應(yīng)的樣本空間, 如果對(duì) 中的每一個(gè)樣本點(diǎn) , 有唯一一個(gè)實(shí)數(shù) 與它對(duì)應(yīng), 那么就把這個(gè)定義域?yàn)?的單值實(shí)值函數(shù) 隨機(jī)變量一般用大寫字母 表示.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社稱為是（一維）隨機(jī)變量. 引進(jìn)隨機(jī)變

23、量后, 隨機(jī)事件隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量的定義如果一個(gè)隨機(jī)變量僅可能取有限或可列個(gè)值，則稱其為離散型隨機(jī)變量、AB如果一個(gè)隨機(jī)變量的取值充滿了數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間（或某幾個(gè)區(qū)間的并），則稱其為連續(xù)型隨機(jī)變量。同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量的定義如果一一、隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的直觀解釋 隨機(jī)變量X是樣本點(diǎn)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的自變量是樣本點(diǎn)，可以是數(shù)，也可以不是數(shù)，定義域是樣本空間，而因變量必須是實(shí)數(shù)。這個(gè)函數(shù)可以讓不同的樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的實(shí)數(shù)，也可以讓多個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)。同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、隨機(jī)變量的定

24、義隨機(jī)變量的直觀解釋 隨機(jī)變量X二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2 稱函數(shù)為隨機(jī)變量 的分布函數(shù).給定一個(gè)隨機(jī)變量 , 對(duì)任意實(shí)數(shù) 對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù), 有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2 稱函數(shù)為隨機(jī)變量 的例1 設(shè)一盒子中裝有10個(gè)球，其中5個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字1,3個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字2，2個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字3。二、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 從中任取一球, 記隨機(jī)變量 為“取得的球上標(biāo)有的數(shù)字”（1）寫出 的分布函數(shù) ;（2）作出分布函數(shù) 的圖像.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社例1 設(shè)一盒子中裝有10個(gè)球，其中5個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字1,二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)容易得到 可取1,2,3，由

25、古典概型的計(jì)算方法，對(duì)應(yīng)的概率值分別為0.5,0.3,0.2。解由分布函數(shù)定義知若 則 為不可能事件, 故所以若 則同理, 當(dāng) 時(shí), 有當(dāng) 時(shí), 有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)容易得到 可取1,2,3，由古綜上, 隨機(jī)變量的分布函數(shù)為二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社綜上, 隨機(jī)變量的分布函數(shù)為二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)同濟(jì)大學(xué)分布函數(shù)的性質(zhì)二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè) 是隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，則有42分布函數(shù)單調(diào)不減;對(duì)任意的 , 分布函數(shù)右連續(xù); 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社分布函數(shù)的性質(zhì)二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè) （1）非負(fù)性三、離散型隨機(jī)變

26、量及其分布律定義3 設(shè) 且其中 滿足:（2）規(guī)范性那么稱表達(dá)式 為隨機(jī)變量 的分布律或概率函數(shù).同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社（1）非負(fù)性三、離散型隨機(jī)變量及其分布律定義3 設(shè) 換句話說，如果一個(gè)隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)值或可列無限個(gè)值, 那么稱這個(gè)隨機(jī)變量為（一維）離散型隨機(jī)變量. 一維離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為：三、離散型隨機(jī)變量及其分布律同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 換句話說，如果一個(gè)隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)值或可三、離散型隨機(jī)變量及其分布律設(shè)隨機(jī)變量 的分布律如下：例 2（1）求解（2） 的分布函數(shù) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、離散型隨機(jī)變量及其分布律設(shè)隨機(jī)變量

27、的分布律如下四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)那么稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù).給定一個(gè)連續(xù)型的隨機(jī)變量 , 如果存在一個(gè)定義域?yàn)?的非負(fù)實(shí)值函數(shù) , 使得 的分布函數(shù) 可以表示為定義4 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)那么稱 為連四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 概率密度函數(shù)滿足下面兩個(gè)條件:對(duì)照一下離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)所滿足的兩個(gè)條件,注意到1212 這兩個(gè)條件同樣刻劃了密度函數(shù)的特征性質(zhì), 即如果有實(shí)值函數(shù)具備這兩條性質(zhì), 那么它必定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 概率密度函數(shù)滿足

28、下面兩四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的關(guān)系在幾何上的體現(xiàn):同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 分布函數(shù)和概率密度函數(shù)四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 設(shè) 是任意連續(xù)型隨機(jī)變量, 且 與 分別是它的分布函數(shù)與概率密度函數(shù), 則有:有連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì) 是連續(xù)函數(shù), 且在 的連續(xù)點(diǎn)處, 有1對(duì)任意常數(shù) , 2結(jié)合結(jié)論2可知: 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 設(shè) 是任四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)例 3設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為求解（1）（2） 的分布函數(shù) （1）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、連續(xù)型隨機(jī)

29、變量及其密度函數(shù)例 3設(shè)隨機(jī)變量 的概四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)解 (2)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)解 (2)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分目錄/Contents2.2常用的離散型隨機(jī)變量一、二項(xiàng)分布二、泊松分布三、超幾何分布四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布目錄/Contents2.2常用的離散型隨機(jī)變量一、二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)分布 在 重貝努利試驗(yàn)中, 若以 表示事件 在 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù).

30、分布律為則 的取值為 相應(yīng)的概率為: 設(shè)對(duì)一隨機(jī)試驗(yàn) E, 我們只關(guān)心某個(gè)事件 發(fā)生與否,此時(shí)試驗(yàn)的結(jié)果可以看成只有兩種: 發(fā)生或者 不發(fā)生。那么稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn).同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、二項(xiàng)分布 在 重貝努利試驗(yàn)中, 若以 其中 為事件 發(fā)生的概率. 則稱 服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布, 記成 在概率論中, 二項(xiàng)分布是一個(gè)重要的分布. 在許多獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 都具有二項(xiàng)分布的形式.一、二項(xiàng)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社其中 為事件 發(fā)生的概率. 則稱 服從參數(shù)一、二項(xiàng)分布 若二項(xiàng)分布 中取 ，相應(yīng)的分布律為 即隨機(jī)變量 的取值為 0, 1, 相應(yīng)的概率記為則又稱服從 分

31、布（或兩點(diǎn)分布）. 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、二項(xiàng)分布 若二項(xiàng)分布 設(shè) 表示在5次重復(fù)獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則一、二項(xiàng)分布例 4某人向同一目標(biāo)重復(fù)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。12同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社設(shè) 表示在5次重復(fù)獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則一、二項(xiàng)分二、泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為則稱 服從參數(shù)為 的泊松分布, 記為由無窮級(jí)數(shù)知識(shí)知:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為則稱二、泊松分布泊松分布也是一種常用的離散型分布，它常常與計(jì)數(shù)過程相聯(lián)系，例如

32、 某一時(shí)段內(nèi)某網(wǎng)站的點(diǎn)擊量；早高峰時(shí)間段內(nèi)駛?cè)敫呒艿缆返能囕v數(shù)；一本書上的印刷錯(cuò)誤數(shù)。01OPTION02OPTION03OPTION同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、泊松分布泊松分布也是一種常用的離散型分布，它常常與計(jì)數(shù)過二、泊松分布例 5解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、泊松分布例 5解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社已知一購物網(wǎng)站每周銷售的某款手表的數(shù)量X服從參數(shù)為6的泊松分布.問周初至少預(yù)備多少貨源才能保證該周不脫銷的概率不小于0.9.假定上周沒有庫存,且本周不再進(jìn)貨.二、泊松分布例 6解設(shè)該款手表每周的需求量為 ，則有 ；設(shè)至少需要進(jìn) 塊該款手表，才能滿足不脫銷的概率不小

33、于0.9，即要滿足同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社已知一購物網(wǎng)站每周銷售的某款手表的數(shù)量X服從參數(shù)為6的泊松分二、泊松分布定理（泊松定理） 在 重貝努利試驗(yàn)中，記 事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，當(dāng) 時(shí)，有 對(duì)于任意一個(gè)非負(fù)整數(shù) , 有泊松定理告訴我們: 滿足一定條件時(shí)，二項(xiàng)概率可以用泊松分布的概率值來近似.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、泊松分布定理（泊松定理） 在 重貝努利此時(shí)可近似看作參數(shù)為5的泊松分布, 二、泊松分布設(shè)某保險(xiǎn)公司的某人壽保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保，每個(gè)投保人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005，且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的，試求在未來一年中這1000個(gè)投保人中死

34、亡人數(shù)不超過10人的概率例 7解記 未來一年中這1000個(gè)投保人中死亡人數(shù)，則有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社此時(shí)可近似看作參數(shù)為5的泊松分布, 二、泊松分布設(shè)某保險(xiǎn)公三、超幾何分布則這 個(gè)產(chǎn)品中所含的次品 的分布律為設(shè)有 件產(chǎn)品, 其中 件次品. 現(xiàn)從中不放回任取 個(gè)產(chǎn)品,我們稱 服從參數(shù)為 的超幾何分布.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、超幾何分布則這 個(gè)產(chǎn)品中所含的次品 的分布律為三、超幾何分布記 , 可以證明，有同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、超幾何分布記 , 可以證明，四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量 的分布律為則稱 服從參數(shù)為 的幾何分布.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民

35、郵電出版社四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量 的分布律為則稱四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布幾何分布也是一種常用的離散型分布，例如01OPTION02OPTION03OPTION同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布幾何分布也是一種常用的離散型分布，例四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布例 8證明同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布例 8證明同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連

36、續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分目錄/Contents2.3常用的連續(xù)型隨機(jī)變量一、均勻分布二、指數(shù)分布三、正態(tài)分布目錄/Contents2.3常用的連續(xù)型隨機(jī)變量一、均勻分布密度函數(shù)圖形如右圖:其余一、均勻分布 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為則稱 服從區(qū)間 上的 均勻分布, 記作同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社密度函數(shù)圖形如右圖:其余一、均勻分布 設(shè)隨機(jī)變量 計(jì)算可得分布函數(shù)為：分布函數(shù)圖形如右所示:一、均勻分布 我們考察一下這個(gè)分布函數(shù), 若 , 則 這恰好是區(qū)間 和取值總區(qū)間的長度比, 只與區(qū)間長度d有關(guān)，與區(qū)間位置c無關(guān). 同濟(jì)

37、大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社計(jì)算可得分布函數(shù)為：分布函數(shù)圖形一、均勻分布 我們考察一、均勻分布例 9解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、均勻分布例 9解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、指數(shù)分布如果隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為其余則稱 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布, 其分布函數(shù)為記為指數(shù)分布的密度函數(shù)圖形如下:指數(shù)分布的分布函數(shù)圖形如下:二、指數(shù)分布如果隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為其余則稱 由定義易得服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算公式:設(shè) , 則證明例 10二、指數(shù)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社由定義易得服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量的概率計(jì)算公式:設(shè) 三、正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為則稱

38、 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布, 記為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機(jī)變量.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為則稱正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線圖形三、正態(tài)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線圖形三、正態(tài)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:密度函數(shù) 的圖形關(guān)于 對(duì)稱; 13當(dāng) 時(shí), ;2 在 處取得最大值 ;同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:密度函數(shù) 三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:4當(dāng) 較大時(shí)曲線比較平坦, 當(dāng) 較小時(shí)曲線比較陡峭.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系

39、& 人民郵電出版社三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:4當(dāng) 時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形三、正態(tài)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 三、正態(tài)分布關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下結(jié)果:特別地, 有 ; 當(dāng) 時(shí), 的值可以查概率函數(shù)值表得到, 且 13若 , 則特別地 當(dāng) 時(shí), 由密度函數(shù)對(duì)稱性可得 ,2同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、正態(tài)分布關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下結(jié)果:特別地, 有 查表并計(jì)算可得例 11設(shè)隨機(jī)變量 , 查表求下列概率值:解(2) 同樣地三、正態(tài)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 查表并計(jì)算可得例 11設(shè)隨機(jī)變量

40、 一般地, 有下列結(jié)論:三、正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量 , 則特別地 若 , 則同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一般地, 有下列結(jié)論:三、正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量 查表并計(jì)算可得 三、正態(tài)分布例 12設(shè) , 試求概率 解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社查表并計(jì)算可得 三、正態(tài)分布例 12設(shè) 三、正態(tài)分布例 13設(shè)隨機(jī)變量 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 , 為何值時(shí)才能滿足解由 , 查附錄4知同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、正態(tài)分布例 13設(shè)隨機(jī)變量 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 右圖為分位數(shù)的幾何意義 設(shè)對(duì)給定的 若 數(shù) 滿足稱 為隨機(jī)變量X的 分位數(shù)三、正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)概念:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版

41、社右圖為分位數(shù)的幾何意義 設(shè)對(duì)給定的 若 某學(xué)校規(guī)定劃分考生成績的等級(jí)方法如下：考試成績的實(shí)際考分在前10%的為A等，考分在前10%以后但在前50%的為B等，考分在前50%以后但在前85%的為C等，考分在后10%的為D等.某次期末考試中，設(shè)考生的成績X服從正態(tài)分布 ，經(jīng)計(jì)算可知 ， ，求這次期末考試等級(jí)劃分的具體分?jǐn)?shù)線。 例 14三、正態(tài)分布解由題意可知 , 則同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社某學(xué)校規(guī)定劃分考生成績的等級(jí)方法如下：考試成績的實(shí)際考分在前又又 綜述所求，可知，在此次考試中，分?jǐn)?shù)在88.384以上的，為等級(jí)A，分?jǐn)?shù)在73至88.384之間的，為等級(jí)B，分?jǐn)?shù)在57.616至73之間

42、的，為等級(jí)C，分?jǐn)?shù)在57.616以下的，為等級(jí)D。三、正態(tài)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社又又 綜述所求，可知，在此次考試中，分?jǐn)?shù)在88.目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分目錄/Contents2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)隨機(jī)變量 ，定義一個(gè)函數(shù) ,則 是隨機(jī)變量 的函數(shù)，也是一個(gè)隨機(jī)變量。問題：已知 的分布, 如何求 的分布.目錄/Contents2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)一、

43、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例 15設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為1求 的分布律;2求 的分布律。同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例 15設(shè)隨機(jī)變量 的分由此得到相應(yīng)的分布律:一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解(1) 隨機(jī)變量 的取值為 且(2) 隨機(jī)變量 的取值為 同理可得對(duì)應(yīng)的分布律為:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社由此得到相應(yīng)的分布律:一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解(1) 二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例 16解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、連

44、續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例 16解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布01OPTION02OPTION03OPTION同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布01OPTION02OPTION的分布函數(shù)與密度函數(shù)求解的一般步驟：二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1324同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社的分布函數(shù)與密度函數(shù)求解的一般步驟：二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例 17解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例 17解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布定理 1定理 2二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布定理

45、1定理 2二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例 18解二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例 18解總結(jié)/summary隨機(jī)變量分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量、分布律、二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布連續(xù)型隨機(jī)變量、密度函數(shù)、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布總結(jié)/summary隨機(jī)變量分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量、分布律、謝謝觀賞概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社謝謝觀賞概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出多維隨機(jī)變量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社03多維隨機(jī)變量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 &目錄/Contents3.13.23.33.43.

46、5多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布常用的多維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)目錄/Contents3.1多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一、多維隨機(jī)變量二、聯(lián)合分布函數(shù)三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其 聯(lián)合密度函數(shù)目錄/Contents3.1多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一、多維一、隨機(jī)試驗(yàn)定義1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、隨機(jī)試驗(yàn)定義1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、隨機(jī)試驗(yàn)例1解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、隨機(jī)試驗(yàn)例1解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、隨機(jī)試驗(yàn)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 &

47、 人民郵電出版社一、隨機(jī)試驗(yàn)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、隨機(jī)試驗(yàn)定義2同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社一、隨機(jī)試驗(yàn)定義2同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社為隨機(jī)向量 的（聯(lián)合）分布函數(shù).設(shè) 為二維隨機(jī)變量, 對(duì)任意的 稱二、聯(lián)合分布函數(shù) 由定義可知, 對(duì)平面上任一點(diǎn) , 定義3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社為隨機(jī)向量 的（聯(lián)合）分布函數(shù).設(shè) 為隨機(jī)變量 的(聯(lián)合)分布函數(shù).定義4 設(shè) 為 維隨機(jī)變量, 對(duì)任意的 稱二、聯(lián)合分布函數(shù)定義4同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社為隨機(jī)變量 的(聯(lián)合聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)固定 時(shí)， 是變量 的單調(diào)非減函數(shù); 當(dāng)固定 時(shí)， 是變量 的單調(diào)非

48、減函數(shù); 二、聯(lián)合分布函數(shù)定理 1123同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)固定 時(shí)， 對(duì)任意的 , 有矩形公式當(dāng)固定 時(shí)， 是變量 的右連續(xù)函數(shù);當(dāng)固定 時(shí)， 是變量 的右連續(xù)函數(shù);二、聯(lián)合分布函數(shù)45如圖所示:聯(lián)合分布函數(shù)的矩形公式同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社對(duì)任意的 設(shè)二維隨機(jī)變量 僅可能取有限個(gè)值，則稱 為二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)二維隨機(jī)變量 為二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布律.其中三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律定義 5定義 6同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社設(shè)二維隨機(jī)變量 僅可能取有限個(gè)值，則稱 二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布律的表格法表示.三、二維離散型隨機(jī)變量

49、及其聯(lián)合分布律同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布律的表格法表示.三三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律例2解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律例2解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 &(2)三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社(2)三、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布律同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 &聯(lián)合概率密度函數(shù)兩個(gè)常見的二維連續(xù)型分布邊緣概率密度函數(shù)四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社聯(lián)合概率密度函數(shù)兩個(gè)常見的二維連續(xù)型分布邊緣概率密度函數(shù)四、則稱 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱 為二維連續(xù)型隨機(jī)變

50、量 的聯(lián)合（概率）密度函數(shù).設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù) 為 ,如果存在二元非負(fù)實(shí)值函數(shù) , 使得對(duì)任意的 有定義7 四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)則稱 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱 四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)定義8 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)定義8 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè) 為二維連續(xù)非負(fù)性規(guī)范性型隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)，則四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)（聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)）定理 2同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社設(shè) 為二維連續(xù)非負(fù)性規(guī)范性型隨機(jī)（二維連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)） 為連續(xù)函數(shù), 在 的連續(xù)點(diǎn)處有任意一條平面曲線 ,

51、 有 ;對(duì) 平面上任意一區(qū)域 , 有四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)定理 3123同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社（二維連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)） 為連設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)為常數(shù) 四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)例3其余01OPTION02OPTION03OPTION求聯(lián)合分布函數(shù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)為常數(shù)(1) 由密度函數(shù)性質(zhì)所以 .(2) 由已知得四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù)解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社(1) 由密度函數(shù)性質(zhì)所以 .(2四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù) (3) 如右圖所示:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系

52、 & 人民郵電出版社四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合密度函數(shù) (3) 如右圖所目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布常用的多維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)目錄/Contents3.2常用的多維隨機(jī)變量一、二維均勻分布二、二維正態(tài)分布目錄/Contents3.2常用的多維隨機(jī)變量一、二維均勻分設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量 服從區(qū)域 上的二維均勻分布.其中 是平面 上的某個(gè)區(qū)域, 為區(qū)域 的面積, 一、二維均勻分布定義 1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社設(shè)二維隨機(jī)變量

53、 的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變?cè)O(shè) 服從區(qū)域 上的均勻分布, (1)因區(qū)域 的面積為 1, 故由定義得聯(lián)合密度函數(shù)為:計(jì)算概率 一、二維均勻分布例1解1寫出 的聯(lián)合密度函數(shù) 2同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社設(shè) 服從區(qū)域 上的均勻分布, (2) 所求概率為 一、二維均勻分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社(2) 所求概率為 一、二維均勻分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人定義 2如果 的聯(lián)合密度函數(shù)為并記為則稱 服從參數(shù)為 的二維正態(tài)分布,其中二、二維正態(tài)分布同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社定義 2如果 的聯(lián)合密度函數(shù)為并記為目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布

54、常用的多維隨機(jī)變量邊緣分布條件分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents3.13.23.33.43.5多維隨機(jī)目錄/Contents3.3邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性目錄/Contents3.3邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)二、二維稱設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)為為隨機(jī)變量 的邊緣分布函數(shù); 為隨機(jī)變量 的邊緣分布函數(shù).一、邊緣分布函數(shù)定義1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社稱設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)為為設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)為 分別計(jì)算 邊緣分布函數(shù).一、邊緣分布函數(shù)例1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系

55、& 人民郵電出版社設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)為 在第一節(jié)例4中已得 的聯(lián)合分布函數(shù)，一、邊緣分布函數(shù)解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社在第一節(jié)例4中已得 的聯(lián)合分布函數(shù)，一、在第一節(jié)例4中已得 的聯(lián)合分布函數(shù)，故 與 的邊緣分布函數(shù)分別為一、邊緣分布函數(shù)解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社在第一節(jié)例4中已得 的聯(lián)合分布函數(shù)，故 定義 2，稱概率設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布律為為隨機(jī)變量 的邊緣分布律，記為 ，并有二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社定義 2，稱概率設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 的聯(lián)在第一節(jié)例3中計(jì)算 與 的邊緣分布律。直接在 聯(lián)合分布律表格中計(jì)

56、算行和、列和得二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律例2解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社在第一節(jié)例3中計(jì)算 與 的邊緣分布律。直接在 所以 的邊緣分布律為 所以 的邊緣分布律為二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 所以 的邊緣分布律為 所以 的邊緣分布律則隨機(jī)變量 的邊緣密度函數(shù)為類似地，隨機(jī)變量 的邊緣密度函數(shù)為 設(shè)二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合密度函數(shù)為三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)定義 3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社則隨機(jī)變量 的邊緣密度函數(shù)為類似地，隨機(jī)變量 試求第一節(jié)例3中隨機(jī)變量 的邊緣密度函數(shù).首先確定 的值域 ,當(dāng) 時(shí) 所以 的邊緣密度函數(shù)為:

57、三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)例3解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社試求第一節(jié)例3中隨機(jī)變量 的邊緣密度函數(shù).首先然后，確定 的值域 ,當(dāng) 時(shí) 所以 的邊緣密度函數(shù)為:三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社然后，確定 的值域 設(shè) , 則, 由邊緣密度函數(shù)的定義得三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)定理 1所以 ，同理 . 證明同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社設(shè) 已知 , 求的密度函數(shù) . 由定理1知 ，又由正態(tài)分布的線性變換仍是正態(tài)分布知 三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)例4解所以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社已知 都有 設(shè) 為二維隨機(jī)變量，若

58、對(duì)任意的 與 相互獨(dú)立.四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性成立，則稱隨機(jī)變量定義 4同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社 都有 的一切公共連續(xù)點(diǎn)上都有相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意的 設(shè) 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，那么， 與相互獨(dú)立的充分必要條件是在四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定理 2設(shè) 為二維離散型隨機(jī)變量，那么， 與都有 成立.定理 3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社的一切公共連續(xù)點(diǎn)上都有相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意的 四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性例5同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性例5同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版（1）由二維離散型隨機(jī)變量邊緣分布律定義得所以 與 的邊緣分布律分

59、別為四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社（1）由二維離散型隨機(jī)變量邊緣分布律定義得所以 與 在第一節(jié)例 4 中， 是否相互獨(dú)立？為什么？不相互獨(dú)立. 的聯(lián)合密度函數(shù)及邊緣密度函數(shù)如下四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性例6解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社在第一節(jié)例 4 中， 是否相互獨(dú)立？為什在它們的公共連續(xù)點(diǎn) 處 , 因此 不相互獨(dú)立.四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社在它們的公共連續(xù)點(diǎn) 處 , 因設(shè) , 那么 與 相互獨(dú)立的充分必要條件是充分條件 當(dāng) 時(shí)所以，對(duì)任意 ，都有因此 相互獨(dú)立.四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定理 4證明同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵

60、電出版社設(shè) 所以必要條件 當(dāng) 相互獨(dú)立時(shí), 對(duì)任意的 都有 特別地，當(dāng) 時(shí)四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 該等式也成立, 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社所以必要條件 當(dāng) 相互獨(dú)立時(shí), 對(duì)任四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性對(duì)多維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義如下： 定義 5 的一切公共連續(xù)點(diǎn)上成立。都有那么就稱隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量有設(shè) 為 維隨機(jī)變量 ，若對(duì)任意的相互獨(dú)立。同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 & 人民郵電出版社四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性對(duì)多維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義如下： 定對(duì)多維隨機(jī)變量獨(dú)立性的定義如下： 四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性，都有相互獨(dú)立的充要條件是在當(dāng) 為離散型隨機(jī)變量 時(shí)，隨機(jī)變量當(dāng) 為連續(xù)型隨機(jī)變量 時(shí)，隨