結(jié)構(gòu)力學(xué)第九章 薄壁桿件扭轉(zhuǎn)

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)第九章 薄壁桿件扭轉(zhuǎn)第1頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二91 概述 薄壁桿件是指橫截面上壁的厚度較薄的桿件，其三個(gè)尺度通常滿足如下關(guān)系： 式中，t壁厚；b截面的最大寬度；l桿長(zhǎng)。 薄壁截面視其壁厚中心線是否封閉而分為開(kāi)口薄壁截面（圖9-1a,b,c）和閉口薄壁截面（圖9-1d,e,f）兩類。閉口截面又分為單閉室(圖9-1d,e)和多閉室（圖9-1f）兩種。圖9-1(a)(b)(c)(d)(e)(f)（9-1）第2頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二91 概述 除薄壁圓管外，薄壁桿件通常是非圓截面桿件。材料力學(xué)中已經(jīng)指出，非圓截面桿件在扭轉(zhuǎn)

2、變形后，桿件的截面已不再保持為平面，而是變?yōu)榍?，這種現(xiàn)象稱為翹曲。 薄壁桿件扭轉(zhuǎn)分為自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)兩種。 如果一根等截面桿件僅在兩端受到扭矩作用，并不受任何約束，扭轉(zhuǎn)時(shí)可以自由變形，則這種扭轉(zhuǎn)就稱為自由扭轉(zhuǎn)。非圓截面薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面雖將發(fā)生翹曲，但由于扭轉(zhuǎn)不受阻礙，所以各橫截面的翹曲程度都相同。因此，桿件上平行于桿軸的直線在變形后長(zhǎng)度不變且仍為直線；桿件各橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力而只有扭轉(zhuǎn)引起的剪應(yīng)力。第3頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二91 概述第4頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二91 概述第5頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20

3、日，18點(diǎn)59分，星期二91 概述第6頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二91 概述第7頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二91 概述 如果薄壁桿件受到扭矩作用，由于存在支座或其他約束，扭轉(zhuǎn)時(shí)不能自由變形，則這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，各橫截面的翹曲程度是不相同的，這將引起相鄰兩截面間縱向纖維的長(zhǎng)度改變，于是橫截面上除了有扭轉(zhuǎn)而引起的剪應(yīng)力之外，還有因翹曲而產(chǎn)生的正應(yīng)力。由于翹曲正應(yīng)力在橫截面上分布不均勻，就會(huì)導(dǎo)致薄壁桿件發(fā)生彎曲，并伴隨產(chǎn)生彎曲剪應(yīng)力。這樣，薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，截面上就存在二次剪應(yīng)力。二次剪應(yīng)力又將在截面上形成一個(gè)附加

4、扭矩，稱之為二次扭矩，于是桿件截面上的扭矩就等于自由扭轉(zhuǎn)扭矩與二次扭矩之和。由此可見(jiàn)，薄壁桿件約束扭轉(zhuǎn)是比較復(fù)雜的。第8頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二91 概述 薄壁桿件在實(shí)際工程上應(yīng)用非常廣泛。如橋梁工程和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，船體骨架一般有薄壁桿件組成；整個(gè)船體梁也是一根薄壁桿件。第9頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二第10頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二第11頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自有扭轉(zhuǎn) 1.開(kāi)口薄壁桿件的自有扭轉(zhuǎn) 開(kāi)口薄壁桿

5、件的截面可以看作由若干狹長(zhǎng)矩形截面所組成。利用狹長(zhǎng)矩形截面的桿件自有扭轉(zhuǎn)時(shí)的計(jì)算公式和如下兩個(gè)假定可導(dǎo)出薄壁桿件自有扭轉(zhuǎn)的計(jì)算公式。這兩個(gè)假定是：（1）假定開(kāi)口薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，截面在其本身平面內(nèi)形狀不變，即在邊形過(guò)程中，截面在其本身平面內(nèi)的投影只作剛性平面運(yùn)動(dòng)。此即為剛周邊假定；（2）假定薄壁桿件中面上無(wú)剪切變形。第12頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自有扭轉(zhuǎn) 開(kāi)口薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的扭率計(jì)算公式如下： 式中，桿件的扭率（單位長(zhǎng)度上的扭角）；Ms扭矩；G剪切模量；It截面扭轉(zhuǎn)慣性矩（扭轉(zhuǎn)常數(shù)）。 式中，hi、ti截面上第i個(gè)狹長(zhǎng)矩形的高度（長(zhǎng)邊）和

6、厚度（短邊）。若截面的壁厚中心線是一根曲線，則 式中，si壁厚中心線的總長(zhǎng)（9-2）（9-3）（9-4）第13頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自有扭轉(zhuǎn) 式中，s截面上的扭矩剪應(yīng)力（圖9-2）；t壁厚。 式（9-5）表明，截面上最大剪應(yīng)力將發(fā)生在壁厚最大處的表面上。（9-5）(圖9-2)第14頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 可以認(rèn)為，閉口薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的剪應(yīng)力沿壁厚是均勻分布的。記 2.單閉室薄壁桿件的自有扭轉(zhuǎn) 稱q為剪流?，F(xiàn)在來(lái)確定q沿截面的變化規(guī)律。圖9-3b所示的為一個(gè)變厚度單元，由于自

7、由扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上無(wú)正應(yīng)力，即軸向力為零，所以有：（9-6）(圖9-3)第15頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)或上式說(shuō)明剪流q沿截面為常數(shù)。據(jù)此，最大剪應(yīng)力將發(fā)生在壁厚最小處，這與開(kāi)口薄壁桿件不同。 下面討論如何計(jì)算剪流q。如圖9-3a所示，剪流q在微元ds上引起的力為qds,它繞o點(diǎn)的力矩為： ds所對(duì)的扇形面積為：（9-7）第16頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 沿整個(gè)截面積分可得總扭矩為： 式中A閉口截面壁厚中心線所圍的總面積。從而沿截面的剪流為： 再來(lái)推導(dǎo)扭率和扭矩常數(shù)計(jì)算公式。若從薄壁桿件

8、中取出長(zhǎng)度為dx的微段，其受扭矩Ms作用產(chǎn)生的扭角為d,則扭矩所做的功為：（9-8）第17頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 微段扭轉(zhuǎn)變性能為： 由dW=dV，可得扭率： 比較式（9-9）與式（9-2），得單閉室截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)計(jì)算公式：（9-9）第18頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 式（9-9）中Ms用2qA代換，可得 上式稱為環(huán)流方程式。 3.多閉室薄壁桿件的自有扭轉(zhuǎn) 對(duì)于具有n個(gè)閉室的薄壁截面（圖9-4），設(shè)在扭矩Ms作用下各閉室的剪流為qi（i=1、2、3、）,并規(guī)定這些剪流沿反時(shí)針?lè)较驗(yàn)?/p>

9、正，那么任意兩相鄰室公共壁上的剪流為該兩室剪流之差。（9-10）（9-11）第19頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 由式(9-8)，可得每一閉室上的扭矩：acdbq1q2q3qnq4 式中，i=1、2、3、,（9-12）(圖9-4)第20頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 這些扭矩之和應(yīng)等于整個(gè)截面上的扭矩Ms，即 式中，Ai第i個(gè)閉室壁厚中心線所圍的面積。僅由式(9-12)不能確定剪流qi（i=1、2、3、n),還必須利用變形協(xié)調(diào)條件才能確定剪流 qi。 剛周邊假定對(duì)多閉室薄壁橫截面仍然使用。據(jù)

10、此，各閉室具有相同的扭率，且等于桿件的扭率。對(duì)于圖9-4所示的每一閉室，應(yīng)用環(huán)流方程式(9-11)，例如對(duì)于第2室，有第21頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 或?qū)懗?上式寫成通用形式為： 式中，i=1,2,3,n；繞第i室的周線積分沿第i與第k室的公共壁積分（9-13）第22頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 令 式中，i=1,2,3,n；式(9-15)是關(guān)于未知數(shù)的n元一次方程組，當(dāng)薄壁截面的形狀、尺寸以及材料已定時(shí)， 的所有系數(shù)以及方程式等號(hào)右邊的常數(shù)項(xiàng)均為已知。因此，由式（9-15）可解出

11、（i=1、2、3、）,代入式（9-14），得 第i室的扭轉(zhuǎn)常數(shù),式（9-13）可寫為：（9-14）（9-15）第23頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 比較式(9-16)和式（9-2），即得多閉室薄壁截面得扭轉(zhuǎn)常數(shù)計(jì)算公式 將上式代入（9-12），可得桿件得扭率 將上式代入式(9-16) 得（9-16）（9-17）第24頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 再將上式代入（9-14），最終得出各室剪流的計(jì)算公式： 式中，i=1,2,3,n。81210101610800300400600三閉室截面如圖所示，兩端受扭矩求扭轉(zhuǎn)慣性矩及剪流（9-18）(圖9-5)第25頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)59分，星期二92 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 作業(yè)2、3、5第26頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，